धनात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर,एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $a * b = \frac{2ab}{5}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $2 * x = 3^{-1}$ है,तो $x = $

मान लीजिए कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। $N$ में $^*$ के लिए तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।

$R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ जहाँ $a * b = \frac{a}{b+1}$ है,वह है:

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्वि-आधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्वि-आधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $R$ पर,$*$ को $a * b = ab^2$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $0$ इस संक्रिया के लिए तत्समक है और समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq 0$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $6-a$ अवयव $a$ का प्रतिलोम है।

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित कीजिए कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Z^+$ पर,$a ^* b = 2^{ab}$ परिभाषित है।