यदि $P(n): 2^{n} < n!$ है,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,है

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सी असमिका सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ है।

सिद्ध कीजिए कि $2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$,सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है।

यदि $P(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$,$n \in N$,है,तो $P(k) = k(k + 1) + 2 \implies P(k + 1) = (k + 1)(k + 2) + 2$ सभी $k \in N$ के लिए है। तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $P(n) = n(n + 1) + 2$ किसके लिए है?