$ A $ एक समुच्चय है जिसमें $ 6 $ भिन्न अवयव हैं। $ A $ से $ A $ तक के उन भिन्न फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए जो आच्छादक (bijection) नहीं हैं।

मान लीजिए $f, g$ और $h$ वास्तविक मान वाले फलन हैं जो $\mathbb{R}$ पर इस प्रकार परिभाषित हैं: $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x+1)}{x+1}, & x \neq -1 \\ 1, & x=-1 \end{cases}$ और $h(x) = 2[x] - f(x)$,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $\leq x$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)=x^2+2x+2$,$g(x)=-x^2+2x-1$ और $a, b$ क्रमशः $f(x)$ और $g(x)$ के चरम मान हैं। यदि $c$,$\frac{f}{g}(x)$ (जहाँ $x \neq 1$) का चरम मान है,तो $a+2b+5c+4=$

निम्नलिखित का मिलान करें:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4; x \neq 0$	$I$. न तो विषम और न ही सम फलन है
$B$. $\tan^{-1}(\log|x+\sqrt{x^2+1}|), x > 0$	$II$. सम फलन है
$C$. $3 < x < 5$ के लिए,$|x-2|+|x-3|+|x-5|$	$III$. विषम फलन है
$D$. $\sin 2x + \sin^2 x + \cos 3x, \forall x \in \mathbb{R}$	$IV$. तत्समक फलन है
	$V$. अचर फलन है

मान लीजिए $g(x) = 1 + x - [x]$ और $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$,जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो सभी $x$ के लिए,$f(g(x)) = $

यदि $a \neq \{-1, 1\}$ के लिए $f(a) = \log \left| \frac{1-a}{1+a} \right|$ है,तो $a$ के उन सभी मानों का समुच्चय,जिनके लिए $f\left( \frac{2a}{1+a^2} \right) > 0$ है,होगा