यदि x, y, z in mathbb{R} है,तो सारणिक left|be | vedclass

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Question

(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ क

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(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ के रूप के किसी भी पद के लिए,परिणाम $4(n^x)(n^{-x}) = 4(n^0) = 4$ होता है। स्तंभ संक्रिया $C_1 ightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार बनता है: $C_1 = \begin{bmatrix} (5^x + 5^{-x})^2 - (5^x - 5^{-x})^2 \ (6^x + 6^{-x})^2 - (6^x - 6^{-x})^2 \ (7^x + 7^{-x})^2 - (7^x - 7^{-x})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 4 \ 4 \end{bmatrix}$. अब सारणिक $\left|\begin{array}{ccc} 4 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \ 4 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \ 4 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}ight|$ है। चूंकि पहले स्तंभ में समान अवयव $(4)$ हैं,हम सारणिक से $4$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \ 1 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \ 1 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}ight|$. चूंकि स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $4 	imes 0 = 0$ है।

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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & ab & ac \\ ba & -b^{2} & bc \\ ca & cb & -c^{2}\end{array}\right|=4a^{2}b^{2}c^{2}$

यदि $a=1+2+4+\cdots$ $n$ पदों तक,$b=1+3+9+\cdots$ $n$ पदों तक और $c=1+5+25+\cdots$ $n$ पदों तक है,तो $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}a & 2b & 4c \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n\end{array}\right|=$

यदि $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$,(जहाँ $x \neq y \neq z$ और $x, y, z \in \mathbb{R} - \{0\}$),तो $\Delta = $ . . . . . . .

$\left| {\begin{array}{ccc} a + b & b + c & c + a \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right| = K \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right|$,तो $K = $

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