KCET 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
કારણ કે $2x+3y-6=0$ એ નાભિસ્થ જીવા છે,તે નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
નાભિના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(ae) + 3(0) - 6 = 0$
$2ae = 6$
$ae = 3$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$a \times \frac{5}{4} = 3$
$a = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
$2a = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^{2}-8x+17$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
$f(x) = (x^{2}-8x+16) + 1$
$f(x) = (x-4)^{2} + 1$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $(x-4)^{2} \ge 0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $(x-4)^{2} = 0$ થાય,એટલે કે $x = 4$ પર.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 1 = 1$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$T_{2} = 24$ અને $T_{5} = 3$.
$G$.$P$. માં,$n^{\text{th}}$ પદ $T_{n} = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$ar = 24$ $(1)$ અને $ar^{4} = 3$ $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{ar^{4}}{ar} = \frac{3}{24}$ $\Rightarrow r^{3} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$a \times \frac{1}{2} = 24 \Rightarrow a = 48$.
$G$.$P$. ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ છે.
$n = 6$ માટે,$S_{6} = \frac{48(1-(1/2)^{6})}{1-1/2} = \frac{48(1-1/64)}{1/2} = 96 \times \frac{63}{64} = \frac{3 \times 63}{2} = \frac{189}{2}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. આપણે $S > 5$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
$S \leq 5$ હોય તેની સંભાવના ગણવી સરળ છે.
$S \leq 5$ હોય તેવા પરિણામો:
$S=2: (1,1)$
$S=3: (1,2), (2,1)$
$S=4: (1,3), (2,2), (3,1)$
$S=5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
$S \leq 5$ હોય તેવા કુલ પરિણામો $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ છે.
તેથી,$S > 5$ હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $36 - 10 = 26$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(S > 5) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $ \sim[(\sim p) \wedge q] $.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$ \sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B) $:
$ \sim[(\sim p) \wedge q] = \sim(\sim p) \vee (\sim q) $.
કારણ કે $ \sim(\sim p) = p $,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$ p \vee (\sim q) $.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $ A $ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$\sin x + \sin y = \frac{1}{2} \quad (1)$
$\cos x + \cos y = 1 \quad (2)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \quad (3)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \quad (4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $(4)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1/2}{1}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
ડબલ એંગલ સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\tan(x+y) = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$

(B) લાલ લખોટાની કુલ સંખ્યા $6$ છે $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$.
સફેદ લખોટાની કુલ સંખ્યા $4$ છે $(12, 13, 14, 15)$.
બોક્સમાં કુલ લખોટાની સંખ્યા $6 + 4 = 10$ છે.
આપણે એવો લખોટો શોધવાનો છે જે સફેદ હોય અને એકી નંબરનો હોય.
સફેદ લખોટાઓ ${12, 13, 14, 15}$ છે.
તેમાંથી,એકી નંબર ધરાવતા લખોટા $13$ અને $15$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(C) આપેલ છે કે $Z = \frac{(\sqrt{3} + i)^{3}(3i + 4)^{2}}{(8 + 6i)^{2}}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|Z| = \frac{|\sqrt{3} + i|^{3} |3i + 4|^{2}}{|8 + 6i|^{2}}$ મળે.
દરેક સંકર સંખ્યાનો માનાંક ગણતા:
$|\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$|3i + 4| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$|8 + 6i| = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
આ કિંમતોને $|Z|$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|Z| = \frac{2^{3} \times 5^{2}}{10^{2}} = \frac{8 \times 25}{100} = \frac{200}{100} = 2$.
આમ,$|Z| = 2$ થાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-ax+b^{2}=0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2}+Bx+C=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -B/A$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = C/A$ થાય છે.
અહીં,$A=1$,$B=-a$,અને $C=b^{2}$ છે.
તેથી,$\alpha+\beta = -(-a)/1 = a$ અને $\alpha\beta = b^{2}/1 = b^{2}$ મળે છે.
આપણે $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\alpha^{2}+\beta^{2} = (a)^{2}-2(b^{2}) = a^{2}-2b^{2}$ મળે છે.

(A) છાયાંકિત ત્રિકોણાકાર પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0, 14)$,$B(5, 0)$ અને $C(19, 14)$ છે.
$1$. $A(0, 14)$ અને $B(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{14} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $14x + 5y = 70$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપરની તરફ હોવાથી,અસમતા $14x + 5y \geq 70$ મળે છે.
$2$. $A(0, 14)$ અને $C(19, 14)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = 14$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચેની તરફ હોવાથી,અસમતા $y \leq 14$ મળે છે.
$3$. $B(5, 0)$ અને $C(19, 14)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{14 - 0}{19 - 5} = 1$ છે. બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$y - 0 = 1(x - 5)$ એટલે કે $x - y = 5$ મળે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુ હોવાથી,અસમતા $x - y \leq 5$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $14x + 5y \geq 70$,$y \leq 14$ અને $x - y \leq 5$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $ \left(\frac{10}{x}+\frac{x}{10}\right)^{10} $ છે.
અહીં,ઘાત $ n = 10 $ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,વિસ્તરણમાં પદોની કુલ સંખ્યા $ n + 1 = 11 $ છે.
મધ્યમ પદ $ \left(\frac{n}{2} + 1\right) $-મું પદ છે,એટલે કે $ \left(\frac{10}{2} + 1\right) = 6 $-ઠું પદ.
$ (a+b)^n $ ના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $ T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$ 6 $-ઠા પદ માટે,$ r = 5 $ લેતા.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{10-5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \times 1 = {}^{10}C_{5} $.

(B) આપેલ પદ: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\tan \left(89^{\circ}\right)$
કારણ કે $\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta$,તેથી $\tan \left(89^{\circ}\right)=\tan \left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)=\cot \left(1^{\circ}\right)$
તેથી,પદ આ મુજબ થશે: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\cot \left(1^{\circ}\right)$
$= \frac{\sin \left(1^{\circ}\right)}{\cos \left(1^{\circ}\right)}+\frac{\cos \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{\sin^2 \left(1^{\circ}\right)+\cos^2 \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{1}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2}{2 \sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
નિત્યસમ $\sin \left(2\theta\right)=2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2}{\sin \left(2^{\circ}\right)}$

(D) પગલું $ 1 $: આપેલી માહિતીનો મધ્યક $ \bar{x} $ શોધો.
$ \bar{x} = \frac{3 + 10 + 10 + 4 + 7 + 10 + 5}{7} = \frac{49}{7} = 7 $.
પગલું $ 2 $: મધ્યકથી નિરપેક્ષ વિચલનો $ |x_i - \bar{x}| $ શોધો.
$ |3 - 7| = 4 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |4 - 7| = 3 $
$ |7 - 7| = 0 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |5 - 7| = 2 $
પગલું $ 3 $: આ નિરપેક્ષ વિચલનોનો મધ્યક શોધો.
$ \text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{4 + 3 + 3 + 3 + 0 + 3 + 2}{7} = \frac{18}{7} \approx 2.57 $.

(C) આપેલ રેખા $3x+y=3$ છે.
તેને $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$y=-3x+3$ મળે છે.
આમ,આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$-3 \times m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1/3$.
$(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y-y_1) = m(x-x_1)$ છે.
$(x_1, y_1) = (2,2)$ અને $m = 1/3$ મૂકતા:
$y-2 = 1/3(x-2)$
$y-2 = x/3 - 2/3$
$y = x/3 - 2/3 + 2$
$y = x/3 + 4/3$.
$y$-અંતઃખંડ એ $x=0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત છે,જે $4/3$ છે.

(A) આપણે $1! + 2! + 3! + \dots + 11!$ ના સરવાળાને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે કોઈપણ $n \ge 4$ માટે,$n!$ માં $4 \times 3 = 12$ અવયવો હોય છે.
તેથી,તમામ $n \ge 4$ માટે $n!$ એ $12$ વડે વિભાજ્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4!, 5!, 6!, \dots, 11!$ બધા $12$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી તેમને $12$ વડે ભાગતા શેષ $0$ મળે છે.
સરવાળો $S \equiv 1! + 2! + 3! + 0 + \dots + 0 \pmod{12}$ થાય છે.
$S \equiv 1 + 2 + 6 \pmod{12}$.
$S \equiv 9 \pmod{12}$.
આમ,શેષ $9$ છે.

(C) આપેલ અસમતા $\frac{x^{2}+6x-7}{|x+4|} < 0$ છે.
અહીં $|x+4|$ એ $x \neq -4$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી આ પદ ત્યારે જ ઋણ થાય જ્યારે અંશ ઋણ હોય.
આથી,$x^{2}+6x-7 < 0$ અને $x \neq -4$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(x+7)(x-1) < 0$ મળે.
આ અસમતા $x \in (-7, 1)$ માટે સાચી છે.
છેદ શૂન્ય થાય તે બિંદુ $(x = -4)$ ને બાદ કરતા,ઉકેલ ગણ $(-7, -4) \cup (-4, 1)$ મળે છે.

(C) આપેલ ગણ $ A = \{-1, 1\} $ છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $ C $ માટે,સમીકરણ $ x^{2} = 1 $ છે.
$ x^{2} = 1 $ ને ઉકેલતા,આપણને $ x = \pm 1 $ મળે છે.
આમ,બીજનો ગણ $ \{-1, 1\} $ છે.
તેથી,ગુણધર્મની રીતે નિરૂપણ $ A = \{x : x \text{ એ સમીકરણ } x^{2} = 1 \text{ નું બીજ છે} \} $ થાય.

(D) આપણી પાસે છે,$(1-\omega+\omega^{2})(1+\omega-\omega^{2}) \quad \dots(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે,$1+\omega+\omega^{2}=0$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$1+\omega^{2} = -\omega$,તેથી $(1-\omega+\omega^{2}) = -\omega - \omega = -2\omega$.
$1+\omega = -\omega^{2}$,તેથી $(1+\omega-\omega^{2}) = -\omega^{2} - \omega^{2} = -2\omega^{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(-2\omega)(-2\omega^{2}) = 4\omega^{3}$.
કારણ કે $\omega^{3}=1$,તેથી અભિવ્યક્તિ $4(1) = 4$ થાય છે.

(C) આપેલ લક્ષ $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} $ છે.
$ x = 0 $ મૂકતા,આપણને $ \left(\frac{0}{0}\right) $ સ્વરૂપ મળે છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંશ અને છેદનું $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}{\frac{d}{dx}(x^{2})} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x} $.
પ્રમાણિત લક્ષ $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ \frac{1}{2} \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} $.
આમ,લક્ષની કિંમત $ \frac{1}{2} $ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}2 a & x_{1} & y_{1} \\ 2 b & x_{2} & y_{2} \\ 2 c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}$ છે.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા,$2 \left|\begin{array}{ccc} a & x_{1} & y_{1} \\ b & x_{2} & y_{2} \\ c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}$ મળે.
$abc$ વડે ભાગતા,$2 \left|\begin{array}{ccc} 1 & x_{1}/a & y_{1}/a \\ 1 & x_{2}/b & y_{2}/b \\ 1 & x_{3}/c & y_{3}/c \end{array}\right|=\frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\left|\begin{array}{ccc} 1 & x_{1}/a & y_{1}/a \\ 1 & x_{2}/b & y_{2}/b \\ 1 & x_{3}/c & y_{3}/c \end{array}\right|=\frac{1}{4}$ થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1/a & y_1/a & 1 \\ x_2/b & y_2/b & 1 \\ x_3/c & y_3/c & 1 \end{array} \right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\frac{1}{4}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
આપણને $|\vec{b}| = 5$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ આપેલ છે.
બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{4}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = [x]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો માટે અસતત હોય છે.
તે તમામ અપૂર્ણાંક કિંમતો માટે સતત હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી $4$,$-2$ અને $11$ પૂર્ણાંકો છે,જ્યારે $1.5$ એ અપૂર્ણાંક છે.
તેથી,$f(x)$ એ $x = 1.5$ પર સતત છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી $|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 7$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7$ મળે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ કિંમત મૂકતા:
$14 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{b}|^2 = 7$.
$14 - |\vec{b}|^2 = 7$.
$|\vec{b}|^2 = 7$.
તેથી,$|\vec{b}| = \sqrt{7}$.

(B) સદિશના દિકકોસાઇન $l = \frac{2}{3}$,$m = -\frac{1}{3}$,અને $n = \frac{2}{3}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{V}|$ માન અને $(l, m, n)$ દિકકોસાઇન ધરાવતો સદિશ $\vec{V} = |\vec{V}|(l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં સદિશનું માન $|\vec{V}| = 3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{V} = 3 \left( \frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} \right)$
$\vec{V} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.

(B) આપેલ ત્રિજ્યા '$a$' અને ચલ કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$
અહીં,'$h$' અને '$k$' એ બે સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(D) આપેલ ક્રિયા $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ છે.
પ્રથમ,$ (2 \oplus 3) $ ની ગણતરી કરો:
$ 2 \oplus 3 = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13 $.
હવે,આ પરિણામને $ (2 \oplus 3) \oplus 4 $ પદાવલિમાં મૂકો:
$ 13 \oplus 4 = 13^{2} + 4^{2} $.
$ 13^{2} + 4^{2} = 169 + 16 = 185 $.
આમ,અંતિમ પરિણામ $ 185 $ છે.

(C) આપેલ છે કે $x=a \cos^{3} \theta$ અને $y=a \sin^{3} \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^{2} \theta \sin \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^{2} \theta \cos \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^{2} \theta \cos \theta}{-3a \cos^{2} \theta \sin \theta} = -\tan \theta$.
છેલ્લે,$1 + (\frac{dy}{dx})^{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$1 + (-\tan \theta)^{2} = 1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
બંને બાજુ $\tan^{-1} x$ ઉમેરતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x$.
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan^{-1} x$.
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$x = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. તેથી $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ હોવાથી,$\cos \alpha = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \Pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \Pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 10 \text{ cm}^3 \text{s}^{-1}$ અને $r = 15 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $10 = 4 \Pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{10}{4 \Pi (225)} = \frac{10}{900 \Pi} = \frac{1}{90 \Pi} \text{ cm s}^{-1}$.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: x - 2y - z + 5 = 0$ અને $P_2: x + y + 3z = 6$ છે.
તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{N}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{N}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
છેદરેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{b}$ એ અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{b} = \vec{N}_1 \times \vec{N}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(3 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-2)) = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખા બિંદુ $(2, 3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{b} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{-5} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-1}{3}$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^{3}-3xy^{2}+2=0$ $(1)$ અને $3x^{2}y-y^{3}=2$ $(2)$ છે.
$(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3x^{2}-3(y^{2}+2xyy')=0 \Rightarrow x^{2}-y^{2}=2xyy' \Rightarrow y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$.
$(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3(2xy+x^{2}y')-3y^{2}y'=0 \Rightarrow 2xy+x^{2}y'-y^{2}y'=0 \Rightarrow y'(x^{2}-y^{2}) = -2xy \Rightarrow y' = -\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$.
હવે,$m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \cdot \left(-\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,વક્રો કાટખૂણે છેદે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવવા માટે $x$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$
અહીં,$P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$
વિકલ સમીકરણને $I$.$F$. $(x^2)$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = x^3$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{d}{dx}(y \cdot x^2) = x^3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y \cdot x^2 = \int x^3 dx$
$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$
$x^2$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{x^4 + 4C}{4x^2}$
$4C$ એ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,તેને $C$ તરીકે લખી શકાય:
$y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

(D) આપેલ વિધેય $y = f(x^2 + 2)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 2)$
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot (2x)$
હવે,$x = 1$ આગળ વિકલિતની કિંમત મેળવતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(1^2 + 2) \cdot (2 \cdot 1)$
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(3) \cdot 2$
આપેલ છે કે $f'(3) = 5$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 5 \cdot 2 = 10$

(A) આપેલ છે કે $y = \log \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$.
વિકલન માટે ચેઈન રૂલ અને ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{(-2x)(1+x^{2}) - (2x)(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{-2x - 2x^{3} - 2x + 2x^{3}}{1+x^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{-4x}{1+x^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(1-x^{2})(1+x^{2})}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{1-x^{4}}$

(A) આપેલ સંકલન $ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos 2x} $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ 1+\cos 2x = 2\cos^2 x $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx $.
અહીં $ f(x) = \sec^2 x $ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે $ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx $ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
તેથી,$ I = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx $.
સંકલન કરતા,$ [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1 $ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય: $g(x) = \frac{x^{200}}{200} + \frac{x^{199}}{199} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 5$.
$g'(x)$ શોધવા માટે,આપણે ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$g'(x) = \frac{200x^{199}}{200} + \frac{199x^{198}}{199} + \dots + \frac{2x}{2} + 1 + 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$g'(x) = x^{199} + x^{198} + \dots + x + 1$.
હવે,વિકલિતમાં $x = 0$ મૂકતા:
$g'(0) = 0^{199} + 0^{198} + \dots + 0 + 1$.
$g'(0) = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x+y+z=6 \quad (1)$
$x+2y+3z=10 \quad (2)$
$x+2y+az=b \quad (3)$
સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=B$ માં દર્શાવતા,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નીચે મુજબ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & a-1 & | & b-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & a-3 & | & b-10 \end{bmatrix}$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમાંક ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકના ક્રમાંક કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે છેલ્લી હાર અશક્ય સમીકરણ દર્શાવે,એટલે કે $0x + 0y + 0z = k$ જ્યાં $k \neq 0$.
તેથી,$a-3 = 0 \Rightarrow a=3$ અને $b-10 \neq 0 \Rightarrow b \neq 10$.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $|A^3| = 27$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|A^n| = |A|^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A|^3 = 27$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$|A| = 3$ મળે છે.
હવે,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\alpha \times \alpha) - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$.
આને $3$ સાથે સરખાવતા:
$\alpha^2 - 4 = 3$
$\alpha^2 = 7$
$\alpha = \pm \sqrt{7}$.

(D) આપેલ છે કે $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ અને $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $.
નિશ્ચાયક $ P $ ની ગણતરી કરતા:
$ P = x(x) - (1)(1) = x^{2}-1 $.
નિશ્ચાયક $ Q $ ની ગણતરી કરતા:
$ Q = x(x^{2}-1) - 1(x-1) + 1(1-x) $.
$ Q = x^{3} - x - x + 1 + 1 - x $.
$ Q = x^{3} - 3x + 2 $.
હવે,$ Q $ નું $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \frac{d Q}{d x} = \frac{d}{d x}(x^{3} - 3x + 2) = 3x^{2} - 3 $.
$ 3 $ સામાન્ય લેતા:
$ \frac{d Q}{d x} = 3(x^{2} - 1) $.
કારણ કે $ P = x^{2} - 1 $,તેથી આપણને મળે છે:
$ \frac{d Q}{d x} = 3P $.

(C) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા સદિશ $\vec{v}$ ને $\vec{v} = m\vec{a} + n\vec{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ સદિશો મૂકતા: $\vec{v} = m(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + n(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (m+n)\hat{i} + (m-n)\hat{j} + (m+n)\hat{k}$.
$\vec{v}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{v} \cdot \vec{c} = (m+n)(1) + (m-n)(-1) + (m+n)(-1) = m+n - m+n - m-n = n-m$.
માનાંક $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{n-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies n-m = 1$,એટલે કે $n = m+1$.
$n = m+1$ ને $\vec{v}$ માં મૂકતા: $\vec{v} = (2m+1)\hat{i} - \hat{j} + (2m+1)\hat{k}$.
જો $m=1$ લઈએ,તો $\vec{v} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}$.
ડાબી બાજુના અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^{2}+2x+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)} + \frac{2x}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}+1}$.
આને $\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1$,$B=0$,અને $C=2$ મળે છે.
હવે,આપણે $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1}{A}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{B}\right)+\sec ^{-1} C$ ની કિંમત શોધીએ.
નોંધો કે $\cot^{-1}(\frac{1}{0})$ એ $\cot^{-1}(\infty) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\operatorname{cosec}^{-1}(1) + \cot^{-1}(\infty) + \sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$.

(C) આપેલા સમીકરણો છે:
$y = x^{3} \implies x = y^{1/3}$
$y = 8$
$x = 0$
વક્ર $x = y^{1/3}$,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y=8$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y=0$ થી $y=8$ સુધીના $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{8} x \, dy$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ \frac{y^{(1/3) + 1}}{(1/3) + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3})$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{3}{4} ((2^{3})^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^{4})$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{3}{4} \times 16 = 3 \times 4 = 12 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ સંકલન $ I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ 1+\cos x = 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) $ અને $ \sin x = 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1 + 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) + \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right) dx $
આપણે જાણીએ છીએ કે $ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) dx = e^{x} f(x) + C $.
અહીં,$ f(x) = \tan \left( \frac{x}{2} \right) $ લો. તો $ f'(x) = \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) $.
તેથી,$ I = e^{x} \tan \left( \frac{x}{2} \right) + C $.

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ વિધેય પ્રદેશ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$R$ ના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં પ્રતિબિંબ હોવું જરૂરી છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે પદ $f(0) = \frac{1}{0}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં અવ્યાખ્યાયિત છે.
કારણ કે $0 \in R$ છે અને $f(0)$ નું અસ્તિત્વ નથી,તેથી વિધેય $f$ એ પ્રદેશ $R$ પર સુવ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$f$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(x) = 1$.
કોષ્ટકમાંથી આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$0.2 + k + k + 2k = 1$
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા:
$0.2 + 4k = 1$
બંને બાજુથી $0.2$ બાદ કરતા:
$4k = 1 - 0.2$
$4k = 0.8$
$4$ વડે ભાગતા:
$k = \frac{0.8}{4} = 0.2$
આમ,$k$ ની કિંમત $0.2$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $ A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $ છે.
$ A^{2} $ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $ A $ નો તેની સાથે જ ગુણાકાર કરીશું:
$ A^{2} = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} (0 \times 0) + (1 \times 1) & (0 \times 1) + (1 \times 0) \\ (1 \times 0) + (0 \times 1) & (1 \times 1) + (0 \times 0) \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 0 + 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
આ $ 2 \times 2 $ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક $ I $ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x) = 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ છે.
આપણે તેને $f(x) = \sin^{-1} x + (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે,તેથી પદાવલિ $f(x) = \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2}$ બને છે.
$\sin^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $\frac{\pi}{2}$ ઉમેરતા,આપણને $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $0 \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \pi$ થાય છે.
આને $\alpha \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 0$ અને $\beta = \pi$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 5$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ ($L$.$H$.$L$.) એ જમણી બાજુના લક્ષ ($R$.$H$.$L$.) અને $x = 5$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x = 5$ આગળ વિધેયની કિંમત શોધો: $f(5) = 3(5) - 8 = 15 - 8 = 7$.
ત્યારબાદ,$x \to 5^-$ માટે $L$.$H$.$L$. શોધો: $\lim_{x \to 5^-} (3x - 8) = 3(5) - 8 = 7$.
પછી,$x \to 5^+$ માટે $R$.$H$.$L$. શોધો: $\lim_{x \to 5^+} (2k) = 2k$.
વિધેય સતત હોવાથી,$L$.$H$.$L$. = $R$.$H$.$L$. લેતા: $7 = 2k$.
$k$ માટે ઉકેલતા,આપણને $k = 7/2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = 2x^{2}$.
આપણે $\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4}$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4} = \frac{2(3.8)^{2} - 2(4)^{2}}{3.8 - 4}$.
અંશમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{2(3.8^{2} - 4^{2})}{3.8 - 4}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 3.8$ અને $b = 4$ છે:
$= \frac{2(3.8 - 4)(3.8 + 4)}{3.8 - 4}$.
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $(3.8 - 4)$ ને દૂર કરતા:
$= 2(3.8 + 4)$.
$= 2(7.8) = 15.6$.

(A) $(f + g)$ નો પ્રદેશ એ $f(x)$ અને $g(x)$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ છે.
$f(x) = \frac{1}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ માટે,આપેલ પ્રદેશ $-1 < x < 1$ છે.
$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$.
આ અસમતા $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ માટે સાચી છે.
$(f + g)$ નો પ્રદેશ એ $(-1, 1)$ અને $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ નો છેદગણ છે.
છેદગણ: $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.

(A) આપેલ સંકલન $ I = \int \frac{dx}{x^{2}(x^{4}+1)^{3/4}} $ છે.
કૌંસમાંથી $ x^{4} $ સામાન્ય લેતા:
$ I = \int \frac{dx}{x^{2}[x^{4}(1 + \frac{1}{x^{4}})]^{3/4}} $.
પદને સરળ બનાવતા:
$ I = \int \frac{dx}{x^{2} \cdot x^{3}(1 + x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{x^{-5}}{(1 + x^{-4})^{3/4}} dx $.
ધારો કે $ 1 + x^{-4} = t^{4} $.
બંને બાજુ $ x $ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$ -4x^{-5} dx = 4t^{3} dt $,જેનો અર્થ થાય છે $ x^{-5} dx = -t^{3} dt $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$ I = \int \frac{-t^{3} dt}{t^{3}} = -\int dt = -t + C $.
$ t = (1 + x^{-4})^{1/4} $ પાછું મૂકતા:
$ I = -(1 + x^{-4})^{1/4} + C = -(\frac{x^{4}+1}{x^{4}})^{1/4} + C = -\frac{(1+x^{4})^{1/4}}{x} + C $.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{1})$ મેળવવા માટે $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$y = x^{2} - x^{-2}$
$\frac{dy}{dx} = 2x - (-2)x^{-3} = 2x + \frac{2}{x^{3}}$.
હવે,બિંદુ $(-1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવીએ:
$m_{1} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-1, 0)} = 2(-1) + \frac{2}{(-1)^{3}} = -2 + \frac{2}{-1} = -2 - 2 = -4$.
અભિલંબનો ઢાળ $(m_{2})$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત હોય છે:
$m_{1} \times m_{2} = -1$
$-4 \times m_{2} = -1$
$m_{2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
આમ,વક્રના બિંદુ $(-1, 0)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $1/4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $x = ct$ અને $y = \frac{c}{t}$ છે.
આપણે $t = 2$ આગળ $\frac{dy}{dt}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $y = \frac{c}{t} = c \cdot t^{-1}$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = c \cdot (-1) \cdot t^{-2} = -\frac{c}{t^2}$.
$t = 2$ મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dt} \right|_{t=2} = -\frac{c}{(2)^2} = -\frac{c}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}$.
સૌ પ્રથમ,$x = 2$ ને વિધેયમાં મૂકીને $f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{2}{2^{2}+1} = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}$.
હવે,$f(2) = \frac{2}{5}$ ને ફરીથી વિધેયમાં મૂકીને $f(f(2))$ ની ગણતરી કરો:
$f(f(2)) = f\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{\frac{2}{5}}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+1}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 1 = \frac{4}{25} + 1 = \frac{4+25}{25} = \frac{29}{25}$.
તેથી,$f(f(2)) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{29}{25}} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{29} = \frac{2 \times 5}{29} = \frac{10}{29}$.

(B) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}\cos 15^{\circ} & \sin 15^{\circ} \\ \sin 75^{\circ} & \cos 75^{\circ}\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આપેલ શ્રેણિક માટે આ લાગુ પાડતા:
$\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} - \sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 15^{\circ}$ અને $B = 75^{\circ}$ છે:
$\cos(15^{\circ} + 75^{\circ}) = \cos(90^{\circ})$
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે,તેથી નિશ્ચાયકની કિંમત $0$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ આગળ ડગલું ભરવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.4$.
ધારો કે $q$ એ પાછળ ડગલું ભરવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 0.6$.
કુલ ડગલાં $n = 11$.
ધારો કે $x$ એ આગળ ભરેલા ડગલાંની સંખ્યા છે અને $y$ એ પાછળ ભરેલા ડગલાંની સંખ્યા છે.
આપણને મળે છે $x + y = 11$.
માણસ શરૂઆતના બિંદુથી એક ડગલું દૂર હોય તે માટે,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $x - y = 1$ અથવા $x - y = -1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $x - y = 1$. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x = 12 \implies x = 6$,તેથી $y = 5$.
આ કિસ્સા માટેની સંભાવના $^{11}C_{6} \times p^{6} \times q^{5} = ^{11}C_{6} \times (0.4)^{6} \times (0.6)^{5}$ છે.
કિસ્સો $2$: $x - y = -1$. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x = 10 \implies x = 5$,તેથી $y = 6$.
આ કિસ્સા માટેની સંભાવના $^{11}C_{5} \times p^{5} \times q^{6} = ^{11}C_{5} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{6}$ છે.
કારણ કે $^{11}C_{6} = ^{11}C_{5}$,કુલ સંભાવના $^{11}C_{6} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{5} \times (0.4 + 0.6) = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5} \times 1 = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5}$ થાય.

(B) સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 4z = 29$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{4} = \lambda$ થાય.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,આપણે તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ: $2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$.
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29 \Rightarrow 29\lambda = 29 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ની કિંમત બિંદુમાં મૂકતા,આપણને $(2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x$.
સંકલિતને સરળ બનાવતા,આપણને $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,તેથી સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) d x = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
$I = \log 2 [x]_{0}^{\pi / 4} - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(B) આપેલ સંકલન $ I = \int \frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x} d x $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ \sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int \frac{1 - \cos ^{2} x}{1 + \cos x} d x $.
કારણ કે $ 1 - \cos ^{2} x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) $,તેથી પદ આ મુજબ થશે:
$ I = \int \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} d x $.
સામાન્ય પદ $ (1 + \cos x) $ ને દૂર કરતા:
$ I = \int (1 - \cos x) d x $.
દરેક પદનું સંકલન કરતા આપણને મળે છે:
$ I = x - \sin x + C $.