KCET 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
चूंकि $2x+3y-6=0$ एक नाभीय जीवा है,यह नाभि $(ae, 0)$ से होकर गुजरती है।
नाभि के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(ae) + 3(0) - 6 = 0$
$2ae = 6$
$ae = 3$
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ दी गई है,इसलिए:
$a \times \frac{5}{4} = 3$
$a = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है।
$2a = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$.

(A) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^{2}-8x+17$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग कर सकते हैं:
$f(x) = (x^{2}-8x+16) + 1$
$f(x) = (x-4)^{2} + 1$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x-4)^{2} \ge 0$ होता है,इसलिए न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $(x-4)^{2} = 0$ हो,जो $x = 4$ पर होता है।
अतः,न्यूनतम मान $0 + 1 = 1$ है।

(A) दिया गया है कि,$T_{2} = 24$ और $T_{5} = 3$.
$G$.$P$. में,$n^{\text{th}}$ पद $T_{n} = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$ar = 24$ $(1)$ और $ar^{4} = 3$ $(2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{ar^{4}}{ar} = \frac{3}{24}$ $\Rightarrow r^{3} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,$a \times \frac{1}{2} = 24 \Rightarrow a = 48$.
$G$.$P$. के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ होता है।
$n = 6$ के लिए,$S_{6} = \frac{48(1-(1/2)^{6})}{1-1/2} = \frac{48(1-1/64)}{1/2} = 96 \times \frac{63}{64} = \frac{3 \times 63}{2} = \frac{189}{2}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $S$ दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग है। हमें $S > 5$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$S \leq 5$ होने की प्रायिकता की गणना करना आसान है।
$S \leq 5$ वाले परिणाम हैं:
$S=2: (1,1)$
$S=3: (1,2), (2,1)$
$S=4: (1,3), (2,2), (3,1)$
$S=5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
$S \leq 5$ वाले कुल परिणामों की संख्या $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ है।
अतः,$S > 5$ वाले परिणामों की संख्या $36 - 10 = 26$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(S > 5) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $ \sim[(\sim p) \wedge q] $.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,जो कहता है कि $ \sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B) $:
$ \sim[(\sim p) \wedge q] = \sim(\sim p) \vee (\sim q) $.
चूंकि $ \sim(\sim p) = p $,इसलिए अभिव्यक्ति सरल होकर प्राप्त होती है:
$ p \vee (\sim q) $.
अतः,सही विकल्प $ A $ है.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin x + \sin y = \frac{1}{2} \quad (1)$
$\cos x + \cos y = 1 \quad (2)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \quad (3)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ को $(4)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1/2}{1}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
डबल एंगल सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\tan(x+y) = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$

(B) लाल कंचों की कुल संख्या $6$ है $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$।
सफेद कंचों की कुल संख्या $4$ है $(12, 13, 14, 15)$।
बॉक्स में कंचों की कुल संख्या $6 + 4 = 10$ है।
हमें एक ऐसा कंचा चाहिए जो सफेद हो और विषम संख्या वाला हो।
सफेद कंचे ${12, 13, 14, 15}$ हैं।
इनमें से,विषम संख्या वाले कंचे $13$ और $15$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(C) दिया गया है $Z = \frac{(\sqrt{3} + i)^{3}(3i + 4)^{2}}{(8 + 6i)^{2}}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|Z| = \frac{|\sqrt{3} + i|^{3} |3i + 4|^{2}}{|8 + 6i|^{2}}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक सम्मिश्र संख्या का मापांक ज्ञात करने पर:
$|\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$|3i + 4| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$|8 + 6i| = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
इन मानों को $|Z|$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|Z| = \frac{2^{3} \times 5^{2}}{10^{2}} = \frac{8 \times 25}{100} = \frac{200}{100} = 2$.
अतः,$|Z| = 2$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-ax+b^{2}=0$ है।
द्विघात समीकरण $Ax^{2}+Bx+C=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -B/A$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = C/A$ होता है।
यहाँ,$A=1$,$B=-a$,और $C=b^{2}$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta = -(-a)/1 = a$ और $\alpha\beta = b^{2}/1 = b^{2}$ प्राप्त होता है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर,हमें $\alpha^{2}+\beta^{2} = (a)^{2}-2(b^{2}) = a^{2}-2b^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) छायांकित त्रिभुजाकार क्षेत्र के शीर्ष $A(0, 14)$,$B(5, 0)$ और $C(19, 14)$ हैं।
$1$. $A(0, 14)$ और $B(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{14} = 1$ है,जो $14x + 5y = 70$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर स्थित है,इसलिए असमिका $14x + 5y \geq 70$ है।
$2$. $A(0, 14)$ और $C(19, 14)$ से गुजरने वाली रेखा $y = 14$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे स्थित है,इसलिए असमिका $y \leq 14$ है।
$3$. $B(5, 0)$ और $C(19, 14)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{14 - 0}{19 - 5} = 1$ है। बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करने पर,$y - 0 = 1(x - 5)$ अर्थात $x - y = 5$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर स्थित है,इसलिए असमिका $x - y \leq 5$ है।
अतः,सही विकल्प $14x + 5y \geq 70$,$y \leq 14$ और $x - y \leq 5$ है।

(B) दी गई व्यंजक $ \left(\frac{10}{x}+\frac{x}{10}\right)^{10} $ है।
यहाँ,घात $ n = 10 $ है,जो एक सम संख्या है।
इसलिए,विस्तार में पदों की कुल संख्या $ n + 1 = 11 $ है।
मध्य पद $ \left(\frac{n}{2} + 1\right) $-वाँ पद है,अर्थात $ \left(\frac{10}{2} + 1\right) = 6 $-ठाँ पद।
$ (a+b)^n $ के विस्तार का व्यापक पद $ T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r} $ द्वारा दिया जाता है।
$ 6 $-ठे पद के लिए,$ r = 5 $ लेने पर।
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{10-5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \times 1 = {}^{10}C_{5} $.

(B) दिया गया व्यंजक: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\tan \left(89^{\circ}\right)$
चूंकि $\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta$,इसलिए $\tan \left(89^{\circ}\right)=\tan \left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)=\cot \left(1^{\circ}\right)$
अतः,व्यंजक हो जाता है: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\cot \left(1^{\circ}\right)$
$= \frac{\sin \left(1^{\circ}\right)}{\cos \left(1^{\circ}\right)}+\frac{\cos \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{\sin^2 \left(1^{\circ}\right)+\cos^2 \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{1}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2}{2 \sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
सर्वसमिका $\sin \left(2\theta\right)=2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2}{\sin \left(2^{\circ}\right)}$

(D) चरण $ 1 $: दिए गए आंकड़ों का माध्य $ \bar{x} $ ज्ञात कीजिए।
$ \bar{x} = \frac{3 + 10 + 10 + 4 + 7 + 10 + 5}{7} = \frac{49}{7} = 7 $.
चरण $ 2 $: माध्य से निरपेक्ष विचलन $ |x_i - \bar{x}| $ ज्ञात कीजिए।
$ |3 - 7| = 4 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |4 - 7| = 3 $
$ |7 - 7| = 0 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |5 - 7| = 2 $
चरण $ 3 $: इन निरपेक्ष विचलनों का माध्य ज्ञात कीजिए।
$ \text{माध्य विचलन} = \frac{4 + 3 + 3 + 3 + 0 + 3 + 2}{7} = \frac{18}{7} \approx 2.57 $.

(C) दी गई रेखा $3x+y=3$ है।
इसे $y=mx+c$ रूप में लिखने पर,$y=-3x+3$ प्राप्त होता है।
अतः,इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना होगा।
अतः,$-3 \times m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1/3$।
$(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y-y_1) = m(x-x_1)$ होता है।
$(x_1, y_1) = (2,2)$ और $m = 1/3$ रखने पर:
$y-2 = 1/3(x-2)$
$y-2 = x/3 - 2/3$
$y = x/3 - 2/3 + 2$
$y = x/3 + 4/3$।
$y$-अंतःखंड $x=0$ होने पर $y$ का मान है,जो $4/3$ है।

(A) हमें $1! + 2! + 3! + \dots + 11!$ के योग को $12$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि किसी भी $n \ge 4$ के लिए,$n!$ में $4 \times 3 = 12$ के गुणनखंड होते हैं।
इसलिए,सभी $n \ge 4$ के लिए $n!$,$12$ से विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि $4!, 5!, 6!, \dots, 11!$ सभी $12$ से विभाज्य हैं,इसलिए उन्हें $12$ से विभाजित करने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
योग $S \equiv 1! + 2! + 3! + 0 + \dots + 0 \pmod{12}$ हो जाता है।
$S \equiv 1 + 2 + 6 \pmod{12}$.
$S \equiv 9 \pmod{12}$.
अतः,शेषफल $9$ है।

(C) दी गई असमिका $\frac{x^{2}+6x-7}{|x+4|} < 0$ है।
चूंकि $|x+4|$ का मान $x \neq -4$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए यह व्यंजक केवल तभी ऋणात्मक होगा जब अंश ऋणात्मक हो।
अतः,$x^{2}+6x-7 < 0$ और $x \neq -4$ होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(x+7)(x-1) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in (-7, 1)$ के लिए सत्य है।
उस बिंदु $(x = -4)$ को हटाने पर जहाँ हर शून्य हो जाता है,हल समुच्चय $(-7, -4) \cup (-4, 1)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समुच्चय $ A = \{-1, 1\} $ है।
दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करने पर:
विकल्प $ C $ के लिए,समीकरण $ x^{2} = 1 $ है।
$ x^{2} = 1 $ को हल करने पर,हमें $ x = \pm 1 $ प्राप्त होता है।
अतः,मूलों का समुच्चय $ \{-1, 1\} $ है।
इसलिए,समुच्चय निर्माण रूप $ A = \{x : x \text{ समीकरण } x^{2} = 1 \text{ का एक मूल है} \} $ है।

(D) हमारे पास है,$(1-\omega+\omega^{2})(1+\omega-\omega^{2}) \quad \dots(1)$
हम जानते हैं कि,$1+\omega+\omega^{2}=0$.
इससे,हम लिख सकते हैं:
$1+\omega^{2} = -\omega$,इसलिए $(1-\omega+\omega^{2}) = -\omega - \omega = -2\omega$.
$1+\omega = -\omega^{2}$,इसलिए $(1+\omega-\omega^{2}) = -\omega^{2} - \omega^{2} = -2\omega^{2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2\omega)(-2\omega^{2}) = 4\omega^{3}$.
चूंकि $\omega^{3}=1$,इसलिए व्यंजक का मान $4(1) = 4$ होगा।

(C) दिया गया सीमा $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} $ है।
$ x = 0 $ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ \left(\frac{0}{0}\right) $ का अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}{\frac{d}{dx}(x^{2})} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x} $.
मानक सीमा $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ का उपयोग करने पर:
$ \frac{1}{2} \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} $.
अतः,सीमा का मान $ \frac{1}{2} $ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}2 a & x_{1} & y_{1} \\ 2 b & x_{2} & y_{2} \\ 2 c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}$ है।
प्रथम स्तंभ से $2$ कॉमन लेने पर,$2 \left|\begin{array}{ccc} a & x_{1} & y_{1} \\ b & x_{2} & y_{2} \\ c & x_{3} & y_{3}\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}$ प्राप्त होता है।
$abc$ से विभाजित करने पर,$2 \left|\begin{array}{ccc} 1 & x_{1}/a & y_{1}/a \\ 1 & x_{2}/b & y_{2}/b \\ 1 & x_{3}/c & y_{3}/c \end{array}\right|=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left|\begin{array}{ccc} 1 & x_{1}/a & y_{1}/a \\ 1 & x_{2}/b & y_{2}/b \\ 1 & x_{3}/c & y_{3}/c \end{array}\right|=\frac{1}{4}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1/a & y_1/a & 1 \\ x_2/b & y_2/b & 1 \\ x_3/c & y_3/c & 1 \end{array} \right|$ है।
सारणिक का मान $\frac{1}{4}$ होने के कारण,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ है।

(C) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
हमें $|\vec{b}| = 5$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ दिया गया है।
दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$.
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{4}$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = [x]$ है।
हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ सभी पूर्णांक मानों पर असतत होता है।
यह सभी गैर-पूर्णांक मानों पर सतत होता है।
दिए गए विकल्पों में से $4$,$-2$ और $11$ पूर्णांक हैं,जबकि $1.5$ एक गैर-पूर्णांक है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 1.5$ पर सतत है।

(C) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$।
अतः $|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ है।
दिया गया है $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 7$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ का मान रखने पर:
$14 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{b}|^2 = 7$।
$14 - |\vec{b}|^2 = 7$।
$|\vec{b}|^2 = 7$।
अतः,$|\vec{b}| = \sqrt{7}$।

(B) सदिश की दिक्-कोज्याएँ $l = \frac{2}{3}$,$m = -\frac{1}{3}$,और $n = \frac{2}{3}$ दी गई हैं।
हम जानते हैं कि $|\vec{V}|$ परिमाण और $(l, m, n)$ दिक्-कोज्याओं वाला सदिश $\vec{V} = |\vec{V}|(l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ सदिश का परिमाण $|\vec{V}| = 3$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\vec{V} = 3 \left( \frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} \right)$
$\vec{V} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.

(B) दी गई त्रिज्या '$a$' और चर केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्त का मानक समीकरण है:
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$
यहाँ,'$h$' और '$k$' दो स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(D) दी गई संक्रिया $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ है।
सबसे पहले,$ (2 \oplus 3) $ की गणना करें:
$ 2 \oplus 3 = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13 $.
अब,इस परिणाम को व्यंजक $ (2 \oplus 3) \oplus 4 $ में प्रतिस्थापित करें:
$ 13 \oplus 4 = 13^{2} + 4^{2} $.
$ 13^{2} + 4^{2} = 169 + 16 = 185 $.
अतः,अंतिम परिणाम $ 185 $ है।

(C) दिया गया है कि $x=a \cos^{3} \theta$ और $y=a \sin^{3} \theta$ है।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^{2} \theta \sin \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^{2} \theta \cos \theta$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^{2} \theta \cos \theta}{-3a \cos^{2} \theta \sin \theta} = -\tan \theta$.
अंत में,$1 + (\frac{dy}{dx})^{2}$ का मान निकालें:
$1 + (-\tan \theta)^{2} = 1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
दोनों पक्षों में $\tan^{-1} x$ जोड़ने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x$.
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan^{-1} x$.
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है। तब $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ होगा।
चूंकि $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ है,इसलिए $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,मान $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \Pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \Pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 10 \text{ cm}^3 \text{s}^{-1}$ और $r = 15 \text{ cm}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $10 = 4 \Pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = \frac{10}{4 \Pi (225)} = \frac{10}{900 \Pi} = \frac{1}{90 \Pi} \text{ cm s}^{-1}$।

(B) दिए गए समतल $P_1: x - 2y - z + 5 = 0$ और $P_2: x + y + 3z = 6$ हैं।
इनके अभिलंब सदिश $\vec{N}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{N}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा की दिशा का सदिश $\vec{b}$ अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{b} = \vec{N}_1 \times \vec{N}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(3 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-2)) = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
रेखा बिंदु $(2, 3, 1)$ से गुजरती है और $\vec{b} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ के समांतर है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{-5} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-1}{3}$ है।

(B) दिए गए वक्र $x^{3}-3xy^{2}+2=0$ $(1)$ और $3x^{2}y-y^{3}=2$ $(2)$ हैं।
$(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3x^{2}-3(y^{2}+2xyy')=0 \Rightarrow x^{2}-y^{2}=2xyy' \Rightarrow y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$.
$(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3(2xy+x^{2}y')-3y^{2}y'=0 \Rightarrow 2xy+x^{2}y'-y^{2}y'=0 \Rightarrow y'(x^{2}-y^{2}) = -2xy \Rightarrow y' = -\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$.
अब,$m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \cdot \left(-\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$.
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,इसलिए वक्र समकोण पर काटते हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$
यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$
अवकल समीकरण को $I$.$F$. $(x^2)$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = x^3$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx}(y \cdot x^2) = x^3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y \cdot x^2 = \int x^3 dx$
$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$
$x^2$ से विभाजित करने पर:
$y = \frac{x^4 + 4C}{4x^2}$
चूंकि $4C$ एक स्वैच्छिक स्थिरांक है,इसे $C$ के रूप में लिखा जा सकता है:
$y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

(D) दिया गया फलन $y = f(x^2 + 2)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 2)$
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot (2x)$
अब,$x = 1$ पर अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(1^2 + 2) \cdot (2 \cdot 1)$
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(3) \cdot 2$
दिया गया है कि $f'(3) = 5$,अतः इस मान को रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 5 \cdot 2 = 10$

(A) दिया गया है $y = \log \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) और भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{(-2x)(1+x^{2}) - (2x)(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{-2x - 2x^{3} - 2x + 2x^{3}}{1+x^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{-4x}{1+x^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(1-x^{2})(1+x^{2})}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{1-x^{4}}$

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos 2x} $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ 1+\cos 2x = 2\cos^2 x $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx $.
चूंकि $ f(x) = \sec^2 x $ एक सम फलन है,हम गुणधर्म $ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx $ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$ I = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx $.
समाकलन करने पर,$ [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1 $ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन: $g(x) = \frac{x^{200}}{200} + \frac{x^{199}}{199} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 5$।
$g'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$g'(x) = \frac{200x^{199}}{200} + \frac{199x^{198}}{199} + \dots + \frac{2x}{2} + 1 + 0$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$g'(x) = x^{199} + x^{198} + \dots + x + 1$।
अब,अवकलज में $x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 0^{199} + 0^{198} + \dots + 0 + 1$।
$g'(0) = 1$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y+z=6 \quad (1)$
$x+2y+3z=10 \quad (2)$
$x+2y+az=b \quad (3)$
निकाय को आव्यूह रूप $AX=B$ में निरूपित करने पर,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & a-1 & | & b-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ से $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & a-3 & | & b-10 \end{bmatrix}$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि से कम होनी चाहिए। यह तब होता है जब अंतिम पंक्ति एक असंभव समीकरण को दर्शाती है,अर्थात $0x + 0y + 0z = k$ जहाँ $k \neq 0$.
अतः,$a-3 = 0 \Rightarrow a=3$ और $b-10 \neq 0 \Rightarrow b \neq 10$.

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है कि $|A^3| = 27$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करने पर,हमें $|A|^3 = 27$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = 3$ प्राप्त होता है।
अब,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\alpha \times \alpha) - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$.
इसे $3$ के बराबर रखने पर:
$\alpha^2 - 4 = 3$
$\alpha^2 = 7$
$\alpha = \pm \sqrt{7}$.

(D) दिया गया है कि $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ और $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $.
सारणिक $ P $ की गणना करने पर:
$ P = x(x) - (1)(1) = x^{2}-1 $.
सारणिक $ Q $ की गणना करने पर:
$ Q = x(x^{2}-1) - 1(x-1) + 1(1-x) $.
$ Q = x^{3} - x - x + 1 + 1 - x $.
$ Q = x^{3} - 3x + 2 $.
अब,$ Q $ का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \frac{d Q}{d x} = \frac{d}{d x}(x^{3} - 3x + 2) = 3x^{2} - 3 $.
$ 3 $ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$ \frac{d Q}{d x} = 3(x^{2} - 1) $.
चूंकि $ P = x^{2} - 1 $,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$ \frac{d Q}{d x} = 3P $.

(C) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में एक सदिश $\vec{v}$ को $\vec{v} = m\vec{a} + n\vec{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{v} = m(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + n(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (m+n)\hat{i} + (m-n)\hat{j} + (m+n)\hat{k}$.
$\vec{v}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{v} \cdot \vec{c} = (m+n)(1) + (m-n)(-1) + (m+n)(-1) = m+n - m+n - m-n = n-m$.
परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{n-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies n-m = 1$,अर्थात $n = m+1$.
$n = m+1$ को $\vec{v}$ में रखने पर: $\vec{v} = (2m+1)\hat{i} - \hat{j} + (2m+1)\hat{k}$.
यदि $m=1$ लिया जाए,तो $\vec{v} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है कि $\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}$.
बाईं ओर के अंश का विस्तार करने पर: $\frac{x^{2}+2x+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)} + \frac{2x}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}+1}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$ से करने पर,हमें $A=1$,$B=0$,और $C=2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1}{A}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{B}\right)+\sec ^{-1} C$ का मान ज्ञात करते हैं।
ध्यान दें कि $\cot^{-1}(\frac{1}{0})$ का मान $\cot^{-1}(\infty) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $\operatorname{cosec}^{-1}(1) + \cot^{-1}(\infty) + \sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y = x^{3} \implies x = y^{1/3}$
$y = 8$
$x = 0$
वक्र $x = y^{1/3}$,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y=8$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $y=0$ से $y=8$ तक $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{8} x \, dy$
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ \frac{y^{(1/3) + 1}}{(1/3) + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3})$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{3}{4} ((2^{3})^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^{4})$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{3}{4} \times 16 = 3 \times 4 = 12 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $ 1+\cos x = 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) $ और $ \sin x = 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1 + 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) + \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right) dx $
हम जानते हैं कि $ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) dx = e^{x} f(x) + C $.
यहाँ,$ f(x) = \tan \left( \frac{x}{2} \right) $ लें। तब $ f'(x) = \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) $.
अतः,$ I = e^{x} \tan \left( \frac{x}{2} \right) + C $.

(D) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है,जिसे $f(x) = \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
किसी फलन के प्रांत $R$ पर परिभाषित होने के लिए,$R$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है।
जब $x = 0$ होता है,तो व्यंजक $f(0) = \frac{1}{0}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में अपरिभाषित है।
चूंकि $0 \in R$ है और $f(0)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए फलन $f$ प्रांत $R$ पर सुपरिभाषित नहीं है।
अतः,$f$ परिभाषित नहीं है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum P(x) = 1$।
तालिका से दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.2 + k + k + 2k = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$0.2 + 4k = 1$
दोनों पक्षों से $0.2$ घटाने पर:
$4k = 1 - 0.2$
$4k = 0.8$
$4$ से विभाजित करने पर:
$k = \frac{0.8}{4} = 0.2$
अतः,$k$ का मान $0.2$ है।

(C) दिया गया आव्यूह $ A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $ है।
$ A^{2} $ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह $ A $ का स्वयं से गुणा करेंगे:
$ A^{2} = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $
आव्यूह गुणन करने पर:
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} (0 \times 0) + (1 \times 1) & (0 \times 1) + (1 \times 0) \\ (1 \times 0) + (0 \times 1) & (1 \times 1) + (0 \times 0) \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 0 + 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
यह $ 2 \times 2 $ क्रम का तत्समक आव्यूह $ I $ है।

(C) दिया गया व्यंजक $f(x) = 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ है।
हम इसे $f(x) = \sin^{-1} x + (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए व्यंजक $f(x) = \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$\sin^{-1} x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
असमानता के सभी भागों में $\frac{\pi}{2}$ जोड़ने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $0 \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \pi$ हो जाता है।
इसकी तुलना $\alpha \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \beta$ से करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = \pi$ प्राप्त होता है।

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x = 5$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा ($L$.$H$.$L$.) दाएँ पक्ष की सीमा ($R$.$H$.$L$.) और $x = 5$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$x = 5$ पर फलन का मान ज्ञात करें: $f(5) = 3(5) - 8 = 15 - 8 = 7$.
इसके बाद,$x \to 5^-$ के लिए $L$.$H$.$L$. ज्ञात करें: $\lim_{x \to 5^-} (3x - 8) = 3(5) - 8 = 7$.
फिर,$x \to 5^+$ के लिए $R$.$H$.$L$. ज्ञात करें: $\lim_{x \to 5^+} (2k) = 2k$.
चूँकि फलन सतत है,इसलिए $L$.$H$.$L$. = $R$.$H$.$L$. रखने पर: $7 = 2k$.
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k = 7/2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि,$f(x) = 2x^{2}$.
हमें व्यंजक $\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4}$ का मान ज्ञात करना है।
फलन में मान रखने पर:
$\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4} = \frac{2(3.8)^{2} - 2(4)^{2}}{3.8 - 4}$.
अंश से $2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{2(3.8^{2} - 4^{2})}{3.8 - 4}$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 3.8$ और $b = 4$ है:
$= \frac{2(3.8 - 4)(3.8 + 4)}{3.8 - 4}$.
अंश और हर से उभयनिष्ठ पद $(3.8 - 4)$ को काटने पर:
$= 2(3.8 + 4)$.
$= 2(7.8) = 15.6$.

(A) $(f + g)$ का प्रांत $f(x)$ और $g(x)$ के प्रांतों का प्रतिच्छेदन (intersection) है।
$f(x) = \frac{1}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ के लिए,दिया गया प्रांत $-1 < x < 1$ है।
$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ होना चाहिए।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ के लिए सत्य है।
$(f + g)$ का प्रांत $(-1, 1)$ और $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ का प्रतिच्छेदन है।
प्रतिच्छेदन: $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$।

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{dx}{x^{2}(x^{4}+1)^{3/4}} $ है।
कोष्ठक से $ x^{4} $ बाहर निकालने पर:
$ I = \int \frac{dx}{x^{2}[x^{4}(1 + \frac{1}{x^{4}})]^{3/4}} $.
व्यंजक को सरल करने पर:
$ I = \int \frac{dx}{x^{2} \cdot x^{3}(1 + x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{x^{-5}}{(1 + x^{-4})^{3/4}} dx $.
माना $ 1 + x^{-4} = t^{4} $.
दोनों पक्षों का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ -4x^{-5} dx = 4t^{3} dt $,जिसका अर्थ है $ x^{-5} dx = -t^{3} dt $.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$ I = \int \frac{-t^{3} dt}{t^{3}} = -\int dt = -t + C $.
$ t = (1 + x^{-4})^{1/4} $ वापस रखने पर:
$ I = -(1 + x^{-4})^{1/4} + C = -(\frac{x^{4}+1}{x^{4}})^{1/4} + C = -\frac{(1+x^{4})^{1/4}}{x} + C $.

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की प्रवणता $(m_{1})$ ज्ञात करने के लिए $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$y = x^{2} - x^{-2}$
$\frac{dy}{dx} = 2x - (-2)x^{-3} = 2x + \frac{2}{x^{3}}$.
अब,बिंदु $(-1, 0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करते हैं:
$m_{1} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-1, 0)} = 2(-1) + \frac{2}{(-1)^{3}} = -2 + \frac{2}{-1} = -2 - 2 = -4$.
अभिलंब की प्रवणता $(m_{2})$ स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{1} \times m_{2} = -1$
$-4 \times m_{2} = -1$
$m_{2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
अतः,वक्र के बिंदु $(-1, 0)$ पर अभिलंब की प्रवणता $1/4$ है।

(C) दिए गए समीकरण $x = ct$ और $y = \frac{c}{t}$ हैं।
हमें $t = 2$ पर $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $y = \frac{c}{t} = c \cdot t^{-1}$,इसलिए $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = c \cdot (-1) \cdot t^{-2} = -\frac{c}{t^2}$.
$t = 2$ रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dt} \right|_{t=2} = -\frac{c}{(2)^2} = -\frac{c}{4}$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}$ है।
सबसे पहले,$x = 2$ को फलन में प्रतिस्थापित करके $f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{2}{2^{2}+1} = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}$.
अब,$f(2) = \frac{2}{5}$ को वापस फलन में प्रतिस्थापित करके $f(f(2))$ की गणना करें:
$f(f(2)) = f\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{\frac{2}{5}}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+1}$.
हर का सरलीकरण करने पर:
$\left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 1 = \frac{4}{25} + 1 = \frac{4+25}{25} = \frac{29}{25}$.
अतः,$f(f(2)) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{29}{25}} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{29} = \frac{2 \times 5}{29} = \frac{10}{29}$.

(B) सारणिक $\left|\begin{array}{cc}\cos 15^{\circ} & \sin 15^{\circ} \\ \sin 75^{\circ} & \cos 75^{\circ}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
दिए गए आव्यूह पर इसे लागू करने पर:
$\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} - \sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 15^{\circ}$ और $B = 75^{\circ}$ है:
$\cos(15^{\circ} + 75^{\circ}) = \cos(90^{\circ})$
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) मान लीजिए $p$ आगे कदम बढ़ाने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.4$।
मान लीजिए $q$ पीछे कदम बढ़ाने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 0.6$।
कुल कदम $n = 11$।
मान लीजिए $x$ आगे के कदमों की संख्या है और $y$ पीछे के कदमों की संख्या है।
हमें मिलता है $x + y = 11$।
आदमी के शुरुआती बिंदु से एक कदम दूर होने के लिए,शुद्ध विस्थापन $x - y = 1$ या $x - y = -1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $x - y = 1$। समीकरणों को जोड़ने पर,$2x = 12 \implies x = 6$,इसलिए $y = 5$।
इस स्थिति के लिए प्रायिकता $^{11}C_{6} \times p^{6} \times q^{5} = ^{11}C_{6} \times (0.4)^{6} \times (0.6)^{5}$ है।
स्थिति $2$: $x - y = -1$। समीकरणों को जोड़ने पर,$2x = 10 \implies x = 5$,इसलिए $y = 6$।
इस स्थिति के लिए प्रायिकता $^{11}C_{5} \times p^{5} \times q^{6} = ^{11}C_{5} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{6}$ है।
चूंकि $^{11}C_{6} = ^{11}C_{5}$,कुल प्रायिकता $^{11}C_{6} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{5} \times (0.4 + 0.6) = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5} \times 1 = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5}$ है।

(B) समतल का समीकरण $2x - 3y + 4z = 29$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा का समीकरण $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{4} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ के रूप में होता है।
चूँकि यह बिंदु समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$.
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29 \Rightarrow 29\lambda = 29 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ का मान बिंदु में रखने पर,हमें $(2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x$ है।
समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) d x = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$।
गुणधर्म $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$।
$I = \log 2 [x]_{0}^{\pi / 4} - I$।
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$।
अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$।

(B) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x} d x $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ \sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int \frac{1 - \cos ^{2} x}{1 + \cos x} d x $.
चूंकि $ 1 - \cos ^{2} x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) $,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$ I = \int \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} d x $.
उभयनिष्ठ पद $ (1 + \cos x) $ को काटने पर:
$ I = \int (1 - \cos x) d x $.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$ I = x - \sin x + C $.