KCET 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પદાર્થનો પ્રવેગ તેના વેગ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \tan \theta$,જ્યાં $\theta$ એ રેખાએ સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પદાર્થ $A$ માટે,સમયની ધરી સાથેનો ખૂણો $25^{\circ}$ છે. તેથી,$a_A = \tan 25^{\circ}$.
પદાર્થ $B$ માટે,સમયની ધરી સાથેનો ખૂણો $50^{\circ}$ છે. તેથી,$a_B = \tan 50^{\circ}$.
તેથી,$A$ ના પ્રવેગ અને $B$ ના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_A}{a_B} = \frac{\tan 25^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$ થશે.

(B) આપેલ છે,દળ $m = 0.05 \,kg$.
જ્યારે પથ્થર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ (હવાનો અવરોધ અવગણતા) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય $F = m \times g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 9.8 \,m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$F = 0.05 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 0.49 \,N$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળની દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ એટલે કે શિરોલંબ નીચેની તરફ હોય છે.
તેથી,પરિણામી બળ $0.49 \,N$ શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.

(D) પાણી $0^{\circ} C$ અને $4^{\circ} C$ ની વચ્ચે અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
જ્યારે પાણીને $0^{\circ} C$ થી $4^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઘનતા વધે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું કદ ઘટે છે.
$4^{\circ} C$ તાપમાને,પાણી તેની મહત્તમ ઘનતા અને ન્યૂનતમ કદ પ્રાપ્ત કરે છે.
જ્યારે પાણીને $4^{\circ} C$ થી $10^{\circ} C$ સુધી વધુ ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સામાન્ય પ્રવાહીની જેમ વિસ્તરે છે અને તેનું કદ વધે છે.
તેથી,પાણીનું કદ પહેલા ઘટે છે અને પછી વધે છે.

(B) આપેલ છે: બીટ આવૃત્તિ $= 4 \,Hz$, ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $(f_B)$ $= 384 \,Hz$.
ફોર્ક $A$ ની સંભવિત આવૃત્તિઓ $(f_A)$ $f_B \pm 4$ છે, એટલે કે $388 \,Hz$ અથવા $380 \,Hz$.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગને ઘસવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું દળ ઘટે છે, જેનાથી તેની આવૃત્તિ વધે છે ($f_A$ વધે છે).
કિસ્સો $1$: જો $f_A = 380 \,Hz$ હોય, તો ઘસવાથી $f_A$ વધીને $384 \,Hz$ ની નજીક જશે, તેથી બીટ આવૃત્તિ $(|f_A - f_B|)$ ઘટશે.
કિસ્સો $2$: જો $f_A = 388 \,Hz$ હોય, તો ઘસવાથી $f_A$ વધીને $384 \,Hz$ થી દૂર જશે (દા.ત. $389 \,Hz$ સુધી), તેથી બીટ આવૃત્તિ $(|f_A - f_B|)$ વધશે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ વધે છે, તેથી ફોર્ક $A$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $388 \,Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે,તેથી $L = 2\pi R$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2\pi}$.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
$R = \frac{L}{2\pi}$ ને $I^{\prime}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $I^{\prime} = \frac{M}{2} \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{ML^2}{8\pi^2}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I}{I^{\prime}} = \frac{\frac{ML^2}{12}}{\frac{ML^2}{8\pi^2}} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ થાય છે.

(B) દળ એ દ્રવ્યનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થાન જેવી બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખતું નથી.
તે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યના જથ્થાનું માપ છે.
દળ એ આંતરિક ગુણધર્મ હોવાથી,પદાર્થને ગમે ત્યાં રાખવામાં આવે તો પણ તે અચળ રહે છે.
તેથી,જો પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું દળ $M$ હોય,તો ચંદ્રની સપાટી પર પણ તેનું દળ $M$ જ રહેશે.

(B) $ 0^{\circ} C $ તાપમાને રહેલા $ 1 \text{ g} $ બરફને $ 0^{\circ} C $ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $ Q_1 = m L_f = 1 \times 80 = 80 \text{ cal} $ છે.
$ 1 \text{ g} $ પાણીનું તાપમાન $ 0^{\circ} C $ થી $ 100^{\circ} C $ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $ Q_2 = m c \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100 \text{ cal} $ છે.
$ 0^{\circ} C $ ના બરફને $ 100^{\circ} C $ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $ Q_{total} = 80 + 100 = 180 \text{ cal} $ છે.
$ 100^{\circ} C $ તાપમાનની $ 1 \text{ g} $ વરાળ દ્વારા $ 100^{\circ} C $ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા $ Q_{steam} = m L_v = 1 \times 540 = 540 \text{ cal} $ છે.
અહીં $ Q_{steam} > Q_{total} $ હોવાથી,વરાળ પાસે બરફને ઓગાળવા અને પાણીને $ 100^{\circ} C $ સુધી ગરમ કરવા માટે પૂરતી ઉષ્મા છે.
તેથી,મિશ્રણ $ 100^{\circ} C $ તાપમાને તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરશે અને થોડી વરાળ બાકી રહેશે.

(A) બંને છેડે જડેલી ખેંચાયેલી દોરી માટે,$ n $-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $ f_n = (n+1) f_1 $ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ f_1 $ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
બીજા ઓવરટોન માટે,$ n = 2 $,તેથી દોરી $ 3^{rd} $ હાર્મોનિક મોડમાં કંપન કરે છે.
$ 3^{rd} $ હાર્મોનિક મોડમાં,દોરીમાં $ 3 $ લૂપ્સ હોય છે.
$ p $ લૂપ્સ ધરાવતા સ્થિત તરંગમાં નોડ્સ $( N )$ ની સંખ્યા $ p+1 $ હોય છે. અહીં,$ p = 3 $,તેથી નોડ્સની સંખ્યા $ 3+1 = 4 $ છે.
એન્ટિનોડ્સ $( A )$ ની સંખ્યા લૂપ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $ 3 $ છે.
તેથી,$ 4 $ નોડ્સ અને $ 3 $ એન્ટિનોડ્સ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\eta = \left(1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) \times 100 \%$.
આપેલ છે: $T_{1} = 500 \ K$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન) અને $T_{2} = 300 \ K$ (સિંકનું તાપમાન).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \left(1 - \frac{300}{500}\right) \times 100 \%$.
$\eta = \left(1 - 0.6\right) \times 100 \%$.
$\eta = 0.4 \times 100 \% = 40 \%$.
આમ,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $40 \%$ છે.

(B) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-1}]$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ના પરિમાણો $[M L^{2}]$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક અને જડત્વની ચાકમાત્રાના પરિમાણોનો ગુણોત્તર $\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^{2} T^{-1}]}{[M L^{2}]} = [T^{-1}]$ થાય છે.
આવૃત્તિનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
વેગનું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ $[M L^{2} T^{-1}]$ છે.
સમયનું પરિમાણ $[T]$ છે.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંક અને જડત્વની ચાકમાત્રાના પરિમાણોનો ગુણોત્તર આવૃત્તિના પરિમાણ જેવો હોય છે.

(A) સેકન્ડ કાંટા માટે,સમયગાળો $T_s = 60 \text{ s}$ છે.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s}$.
કલાક કાંટા માટે,સમયગાળો $T_h = 12 \text{ કલાક} = 12 \times 60 \times 60 \text{ s} = 43200 \text{ s}$ છે.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega_h = \frac{2\pi}{T_h} = \frac{2\pi}{43200} \text{ rad/s}$.
સેકન્ડ કાંટા અને કલાક કાંટાની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_s}{\omega_h} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / 43200} = \frac{43200}{60} = 720$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $720: 1$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \,kg$, વેગમાન $p = 6 \,Ns$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{6^2}{2 \times 4} = \frac{36}{8} = 4.5 \,J$.
તેથી, પદાર્થની ગતિઊર્જા $4.5 \,J$ છે.

(C) આપેલ છે: સમક્ષિતિજ અવધિ $(R)$ $= 2 \times$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$.
અવધિનું સૂત્ર: $R = \frac{v^{2} \sin 2\theta}{g}$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર: $H = \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
પ્રશ્ન મુજબ: $\frac{v^{2} \sin 2\theta}{g} = 2 \times \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\sin 2\theta = \sin^{2} \theta$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^{2} \theta$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા: $2 \cos \theta = \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 2$.
$\tan \theta = 2$ પરથી,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
આ કિંમતો અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{v^{2} (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{2v^{2}}{g} \times \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4v^{2}}{5g}$.

(B) હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ અને તેને અનુરૂપ કદના સ્ટ્રેઇન (volumetric strain) ના ગુણોત્તરને બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે અને $\frac{\Delta V}{V}$ એ કદનો સ્ટ્રેઇન છે.

(A) $SHM$ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$
અહીં અંતર $y = \frac{A}{2}$ આપેલ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$SHM$ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$
$y = \frac{A}{2}$ મૂકતા:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})$
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})}{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})} = \frac{3/4}{1/4} = 3$
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં,$12 \ V$ ની બેટરીનો ધન ટર્મિનલ એવી રીતે જોડાયેલ છે કે જેથી ડાયોડ $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં અને ડાયોડ $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં હોય.
કારણ કે $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં છે,તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને $3 \ \Omega$ ના અવરોધવાળી શાખામાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
કારણ કે $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને આદર્શ છે,તે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $4 \ \Omega$ ના અવરોધ અને $2 \ \Omega$ ના અવરોધવાળી શાખામાંથી વહે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = 4 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i = \frac{V}{R} = \frac{12 \ V}{6 \ \Omega} = 2 \ A$.

(C) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\chi \propto \frac{1}{T}$.
તેથી,$\frac{\chi_1}{\chi_2} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે:
$T_1 = -73^{\circ} C = 273 - 73 = 200 \ K$
$T_2 = -173^{\circ} C = 273 - 173 = 100 \ K$
$\chi_1 = 0.0075$
કિંમતો મૂકતા:
$\chi_2 = \chi_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 0.0075 \times \frac{200}{100} = 0.0075 \times 2 = 0.0150$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે: મોટવણી $m = -3$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે,તેથી તે ઉલટું હોવું જોઈએ). વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -30 \ cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -15 \ cm$.
મોટવણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m = -v/u \Rightarrow -3 = -v/u \Rightarrow v = 3u$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/f = 1/v + 1/u$.
કિંમતો મૂકતા: $1/(-15) = 1/(3u) + 1/u$.
$1/(-15) = (1 + 3)/(3u) = 4/(3u)$.
$-3u = 60 \Rightarrow u = -20 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વ્યક્તિએ અંતર્ગોળ અરીસાની સામે $20 \ cm$ અંતરે ઊભા રહેવું જોઈએ.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં બે કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત તરંગ સંખ્યા માટેના રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $f = \frac{C}{\lambda}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{f}{C} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $f = RC \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = RC \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = RC \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$.
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f = \frac{5RC}{36}$ છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$n = \frac{c}{v} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}}{\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}} = \frac{\sqrt{\mu \varepsilon}}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ટ્રુથ ટેબલ તમામ શક્ય ઇનપુટ સંયોજનો માટે લોજિક ગેટનું આઉટપુટ દર્શાવે છે.
આપેલ કોષ્ટક માટે:
- જ્યારે $A=0, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે $A=0, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે $A=1, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે $A=1, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જે $AND$ ગેટનું ઉલટું (inverse) છે. $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.

(B) લાઈન-ઓફ-સાઈટ $(LOS)$ કોમ્યુનિકેશન માટે સ્પેસ વેવ્સનો ઉપયોગ થાય છે.
લાઈન-ઓફ-સાઈટ એ એક પ્રકારનું કોમ્યુનિકેશન છે જે ત્યારે જ ડેટા ટ્રાન્સમિટ અને રિસીવ કરી શકે છે જ્યારે ટ્રાન્સમીટર અને રિસીવર સ્ટેશન એકબીજાની દ્રષ્ટિમાં હોય અને તેમની વચ્ચે કોઈ અવરોધ ન હોય.
આ પ્રકારનું પ્રસરણ સામાન્ય રીતે $VHF$,$UHF$ અને માઇક્રોવેવ સિગ્નલ જેવા ઉચ્ચ-આવર્તન સિગ્નલો માટે વપરાય છે.

(C) $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = hc / \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। જ્યારે સંક્રમણ સૌથી નજીકના ઊર્જા સ્તરો વચ્ચે હોય ત્યારે ઊર્જા સૌથી ઓછી હોય છે.
લાયમન શ્રેણી માટે, સંક્રમણ $n_1 = 1$ પર થાય છે। સૌથી ઓછી ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \text{ eV} \times (1/n_1^2 - 1/n_2^2) = 13.6 \times (1/1^2 - 1/2^2) = 13.6 \times (3/4) = 10.2 \text{ eV}$ છે.
સંબંધ $\lambda = hc / \Delta E$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = 1240 \text{ eV nm} / 10.2 \text{ eV} \approx 121.57 \text{ nm} \approx 122 \text{ nm}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 100^{\circ} C$,પ્રારંભિક અવરોધ $R_{1} = 100 \ \Omega$,અંતિમ અવરોધ $R_{2} = 200 \ \Omega$,અને તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 0.005 \ ^{\circ} C^{-1}$.
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R_{2} = R_{1}[1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$.
$T_{2}$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $T_{2} - T_{1} = \frac{R_{2} - R_{1}}{\alpha R_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_{2} - 100 = \frac{200 - 100}{0.005 \times 100}$.
$T_{2} - 100 = \frac{100}{0.5} = 200$.
$T_{2} = 200 + 100 = 300^{\circ} C$.

(A) આપેલ છે: $P=2 \Omega, Q=2 \Omega, R=2 \Omega, S=3 \Omega$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S_{eq}}$ છે,જ્યાં $S_{eq}$ એ $S$ અને $X$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
જ્યારે $S$ ને $X$ સાથે શંટ કરવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $S_{eq} = \frac{S \cdot X}{S+X}$ થાય છે.
સંતુલન સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{2} = \frac{2}{\left(\frac{3X}{3+X}\right)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{2(3+X)}{3X}$ મળે છે.
તેથી,$3X = 6 + 2X$,જેનો ઉકેલ $X = 6 \Omega$ મળે છે.
આમ,બ્રિજને સંતુલિત કરવા માટે $S$ ને $6 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવો જોઈએ.

(C) સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,વોલ્ટમીટર એ એમીટર અને અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણને સમાંતર જોડાયેલ છે.
ધારો કે એમીટરનો અવરોધ $R_A$ છે અને વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_V$ છે.
વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $V = 6 \text{ V}$ એ એમીટર અને અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
એમીટરનું રીડિંગ $I = 3 \text{ A}$ એ એમીટર અને અવરોધ $R$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_A = \frac{V}{I} = \frac{6 \text{ V}}{3 \text{ A}} = 2 \Omega$.
એમીટરનો અવરોધ $R_A > 0$ હોવાથી,$R = 2 \Omega - R_A$ મળે.
તેથી,$R < 2 \Omega$ થાય.

(B) સાયક્લોટ્રોન એ એક કણ પ્રવેગક છે જે વીજભારિત કણોને વર્તુળાકાર માર્ગમાં રાખવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો અને તેમની ગતિ ઊર્જા વધારવા માટે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરે છે.
તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન અને આલ્ફા કણો જેવા ધન વીજભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે થાય છે.
ન્યુટ્રોનને સાયક્લોટ્રોન દ્વારા પ્રવેગિત કરી શકાતા નથી કારણ કે તેઓ વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોય છે અને વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી લોરેન્ઝ બળ $(F = q(v \times B))$ અથવા પ્રવેગ માટે જરૂરી વિદ્યુત બળ $(F = qE)$ અનુભવતા નથી.

(A) આપેલ છે: આઉટપુટ પાવર $(P_{out})$ = $100 \,W$, ઇનપુટ વોલ્ટેજ $(V_{in})$ = $220 \,V$, ઇનપુટ પ્રવાહ $(I_{in})$ = $0.5 \,A$.
ઇનપુટ પાવર $(P_{in})$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $P_{in} = V_{in} \times I_{in} = 220 \,V \times 0.5 \,A = 110 \,W$.
ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ એ આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{100 \,W}{110 \,W} \times 100 = \frac{10}{11} \times 100 \approx 90.91 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, કાર્યક્ષમતા $90 \%$ છે.

(D) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 50 \Omega$,પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન પ્રવાહ $I_g = 5 \times 10^{-4} \text{ A}$,અને લક્ષિત વોલ્ટેજ $V = 3 \text{ V}$.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે.
કુલ અવરોધ માટેનું સૂત્ર $V = I_g(R + G)$ છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $R = \frac{V}{I_g} - G$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{3}{5 \times 10^{-4}} - 50$.
$R = 0.6 \times 10^4 - 50 = 6000 - 50 = 5950 \Omega$.
આમ,જરૂરી અવરોધ $5950 \Omega$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટનો ગર્ભ (core) વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ફ્લક્સને કેન્દ્રિત કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
આ કાર્યક્ષમ રીતે કરવા માટે,પદાર્થમાં ઉચ્ચ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી હોવી જોઈએ,જેથી તે સરળતાથી ચુંબકીય બની શકે.
વધુમાં,તેમાં ઓછી રિટેન્ટિવિટી હોવી જોઈએ જેથી જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે ચુંબકત્વ ઝડપથી દૂર થઈ જાય.
તેથી,આ હેતુ માટે નરમ લોખંડનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે કરવામાં આવે છે કારણ કે તે ઉચ્ચ પરમીએબિલિટી અને ઓછી રિટેન્ટિવિટી ધરાવે છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં સ્થિર રહેલા ન્યુક્લિયસ માટે,વિભાજન પછીનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$
ન્યુક્લિયર દ્રવ્યની ઘનતા અચળ હોવાથી,ન્યુક્લિયસનું દળ $m$ તેના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે તેની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$m \propto R^3 \implies \frac{m_2}{m_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આ કિંમત વેગના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$.
આમ,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(B) આપેલ છે, રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $ T_{1/2} = 20 \text{ મિનિટ} $ છે.
$ 50\% $ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $ N_1 = 50\% $ of $ N_0 = 0.5 N_0 $ છે. આ $ 1 $ અર્ધ-આયુષ્યને અનુરૂપ છે, તેથી $ t_1 = 20 \text{ મિનિટ} $.
$ 87.5\% $ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $ N_2 = (100 - 87.5)\% $ of $ N_0 = 12.5\% $ of $ N_0 = 0.125 N_0 = (1/8) N_0 = (1/2)^3 N_0 $ છે.
આ $ 3 $ અર્ધ-આયુષ્યને અનુરૂપ છે, તેથી $ t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 20 = 60 \text{ મિનિટ} $.
$ 50\% $ ક્ષય અને $ 87.5\% $ ક્ષય વચ્ચે લાગતો સમય $ \Delta t = t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40 \text{ મિનિટ} $ છે.

(B) વ્યક્તિનું નજીકનું બિંદુ $ 75 \ cm $ છે. સામાન્ય $ 25 \ cm $ ના અંતરે વાંચવા માટે,લેન્સે $ 25 \ cm $ પર મૂકેલી વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ વ્યક્તિના $ 75 \ cm $ ના નજીકના બિંદુ પર બનાવવું જોઈએ.
આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $ u = -25 \ cm $,પ્રતિબિંબ અંતર $ v = -75 \ cm $.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $ \frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} $
$ \frac{1}{f} = \frac{1}{-75} - \frac{1}{-25} $
$ \frac{1}{f} = -\frac{1}{75} + \frac{3}{75} = \frac{2}{75} $
$ f = \frac{75}{2} = 37.5 \ cm $
આમ,વાંચવાના ચશ્માની કેન્દ્રલંબાઈ $ 37.5 \ cm $ છે.

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,અંતર $D = 0.5 \ m$,સ્લિટ અંતર $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
$n^{th}$ મહત્તમનું સ્થાન $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે. $n=3$ માટે,$x_3 = \frac{3 \lambda D}{d}$.
બીજી બાજુએ $m^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $x'_m = \frac{(2m-1) \lambda D}{2d}$ છે. $m=2$ માટે,$x'_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $x = x_3 + x'_2 = \frac{3 \lambda D}{d} + \frac{3 \lambda D}{2d} = \frac{9 \lambda D}{2d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{9 \times 500 \times 10^{-9} \times 0.5}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{4500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} = 2250 \times 10^{-6} \ m = 2.25 \ mm$.

(B) નજીકના અભિગમનું અંતર $(d)$ એ અંતર છે જ્યાં $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$d = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(Z_1 e)(Z_2 e)}{K}$
અહીં,$Z_1 = 2$ ($\alpha$-કણ માટે),$Z_2 = 79$ (સોનાના ન્યુક્લિયસ માટે),અને $K = 5 \text{ MeV} = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-13} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા:
$d = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times (79 \times 1.6 \times 10^{-19})}{8 \times 10^{-13}}$
$d = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$d \approx 4.55 \times 10^{-14} \text{ m} = 4.55 \times 10^{-12} \text{ cm}$.
આમ,તે $10^{-12} \text{ cm}$ ના ક્રમનું છે.

(C) જ્યારે $E$ emf અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા $n$ સમાન કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $nE$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ થાય છે.
જો $m$ કોષો ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા હોય,તો અસરકારક emf $E'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E' = (n - 2m)E$
અહીં,કોષોની કુલ સંખ્યા $n = 4$ છે અને ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $m = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E' = (4 - 2 \times 1)E = (4 - 2)E = 2E$
શ્રેણીમાં જોડાયેલા કોષોનો આંતરિક અવરોધ તેમની ધ્રુવીયતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના સરવાળા તરીકે મળે છે. તેથી,અસરકારક આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ રહેશે:
$r_{eq} = n \times r = 4r$
આમ,સમતુલ્ય emf $2E$ છે અને અસરકારક આંતરિક અવરોધ $4r$ છે.

(C) $R = 10 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $q$ વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$, વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r > R)$, સ્થિતિમાન અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}$.
આપેલ અંતરો $r_{1} = 5 \,cm$, $r_{2} = 10 \,cm$ અને $r_{3} = 15 \,cm$ છે.
અહીં $r_{1} < R$ અને $r_{2} = R$ હોવાથી, $V_{1} = V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{10}$ થાય.
$r_{3} = 15 \,cm$ માટે, $V_{3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{15}$ થાય.
કિંમતોની સરખામણી કરતા, $15 > 10$ હોવાથી $\frac{q}{15} < \frac{q}{10}$ મળે, તેથી $V_{3} < V_{1} = V_{2}$.
આમ, સાચો સંબંધ $V_{1} = V_{2} > V_{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને ચાર્જ કરીને પછી અલગ કરવામાં આવે છે. તેથી,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $C \propto \frac{1}{d}$.
જો પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે,તો કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
સંબંધ $Q = CV$ પરથી,આપણી પાસે $V = \frac{Q}{C}$ છે. કારણ કે $Q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી પોટેન્શિયલ $V$ વધવું જોઈએ.
આમ,પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર વધારતા,ચાર્જ અચળ રહે છે,પોટેન્શિયલ વધે છે અને કેપેસિટન્સ ઘટે છે.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $a = 2\pi \text{ cm} = 2\pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
પ્રથમ ગૂંચળા માટે જેમાં પ્રવાહ $I_1 = 3 \text{ A}$ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{4\pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$.
બીજા ગૂંચળા માટે જેમાં પ્રવાહ $I_2 = 4 \text{ A}$ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4\pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$.
ગૂંચળા એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 \times 10^{-10} + 16 \times 10^{-10}} = \sqrt{25 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $ B = 10^{-4} \,Wb m^{-2} $.
પ્રોટોનનો વિશિષ્ટ વીજભાર $ \frac{q}{m} = 10^{11} \,C kg^{-1} $.
પ્રોટોનનો વેગ $ v = 10^{9} \,ms^{-1} $.
જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે $ r $ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે, જેનું સૂત્ર:
$ r = \frac{mv}{qB} $.
આને આપણે $ r = \frac{v}{(\frac{q}{m}) \times B} $ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$ r = \frac{10^{9}}{10^{11} \times 10^{-4}} $.
$ r = \frac{10^{9}}{10^{7}} $.
$ r = 10^{2} \,m = 100 \,m $.
આમ, વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $ 100 \,m $ છે.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L = \omega L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C = 1/(\omega C))$ સમાન હોય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,$Z = R$ થાય છે,જે લઘુત્તમ શક્ય ઇમ્પિડન્સ છે.
કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ થાય છે.
તેથી,અનુનાદ સમયે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ અને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ધરાવતો ચુંબકીય ડાયપોલ જ્યારે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -MB \sin \theta$ લાગે છે।
નાના દોલનો માટે, $\sin \theta \approx \theta$ લેતા, $\tau = -MB \theta$ મળે છે।
આને કોણીય $SHM$ ના સમીકરણ $\tau = -C \theta$ સાથે સરખાવતા, જ્યાં $C = MB$ છે।
કોણીય $SHM$ નો સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$C = MB$ મૂકતા, આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ મળે છે।

(A) અંતરે રહેલા અને $I_1$ તથા $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{d}$
અહીં આપેલ કિંમતો $I_1 = 1 \text{ A}$,$I_2 = 3 \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1 \times 3}{1} = 6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,તાર વચ્ચે લાગતું બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હશે.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$ છે અને તે અપાકર્ષી છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય $ P_{av} = VI \cos \phi $ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ V $ એ $RMS$ વોલ્ટેજ છે,$ I $ એ $RMS$ પ્રવાહ છે,અને $ \phi $ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $ \phi = \pi / 2 $ ના ફેઝ એંગલથી પાછળ રહે છે.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $ P_{av} = VI \cos(\pi / 2) $.
કારણ કે $ \cos(\pi / 2) = 0 $ છે,તેથી આપણને $ P_{av} = VI \times 0 = 0 $ મળે છે.
આમ,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય શૂન્ય છે.

(C) આપેલ છે: પાંખની લંબાઈ $l = 40 \text{ m}$,ઝડપ $v = 1080 \text{ km h}^{-1}$.
ઝડપને $SI$ એકમમાં ફેરવતા: $v = 1080 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 300 \text{ m s}^{-1}$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B = 1.75 \times 10^{-5} \text{ T}$.
પાંખો વચ્ચે પ્રેરિત થતું ગતિકીય emf $E = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (1.75 \times 10^{-5} \text{ T}) \times (40 \text{ m}) \times (300 \text{ m s}^{-1})$.
$E = 1.75 \times 10^{-5} \times 12000 = 1.75 \times 0.12 = 0.21 \text{ V}$.
આમ,પાંખોના છેડાઓ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતું emf $0.21 \text{ V}$ છે.

(B) આપેલ છે: અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $ M = 0.005 \ H $,પ્રવાહ $ i = i_{m} \sin \omega t $,મહત્તમ પ્રવાહ $ i_{m} = 10 \ A $,અને કોણીય આવૃત્તિ $ \omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1} $.
બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત emf $ \varepsilon $ નું સૂત્ર $ \varepsilon = M \frac{di}{dt} $ છે.
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા: $ \varepsilon = M \frac{d}{dt} (i_{m} \sin \omega t) = M i_{m} \omega \cos \omega t $.
પ્રેરિત emf $ \varepsilon_{\max} $ નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $ \cos \omega t = 1 $ હોય.
તેથી,$ \varepsilon_{\max} = M \omega i_{m} $.
કિંમતો મૂકતા: $ \varepsilon_{\max} = 0.005 \times 100 \pi \times 10 = 5 \pi \ V $.
આમ,બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય $ 5 \pi \ V $ છે.

(D) વિવર્તન એ અવરોધની કિનારીઓ પરથી અથવા છિદ્રમાંથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની કે ફેલાવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન જોવા મળે તે માટે,અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $( \lambda )$ ની સરખામણીમાં હોવું જોઈએ.
જો અવરોધનું કદ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોય,તો પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે (સુરેખ પ્રસરણ),અને વિવર્તન નહિવત હોય છે.
તેથી,વિવર્તન જોવા માટેની શરત એ છે કે અવરોધનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોવું જોઈએ.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$
અહીં $q_1 = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_2 = 6 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_3 = 9 \times 10^{-9} \text{ C}$ અને $r = 0.1 \text{ m}$ છે.
$U = \frac{9 \times 10^9}{0.1} \left( (3 \times 6) + (6 \times 9) + (9 \times 3) \right) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times (18 + 54 + 27) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times 99 \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 891 \times 10^{-7} \text{ J} = 8.91 \times 10^{-6} \text{ J}$

(A) કોમન એમિટર $(CE)$ કોન્ફિગરેશનમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટરની ઇનપુટ લાક્ષણિકતાઓ ઇનપુટ કરંટ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,તે કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{CE})$ ને અચળ રાખીને બેઝ કરંટ $(I_{B})$ ને બેઝ-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{BE})$ ની સાપેક્ષમાં આલેખીને મેળવવામાં આવે છે.
આ આલેખ દર્શાવે છે કે આઉટપુટ વોલ્ટેજના વિવિધ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે ઇનપુટ વોલ્ટેજ વધવાની સાથે બેઝ કરંટ કેવી રીતે બદલાય છે.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,કેરિયર તરંગનો કંપવિસ્તાર (amplitude) મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના તત્કાલિન મૂલ્ય અનુસાર બદલાય છે.
ગાણિતિક રીતે,મોડ્યુલેટેડ તરંગમાં કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $(f_c)$ અને બે સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી હોય છે: અપર સાઇડબેન્ડ $(f_c + f_m)$ અને લોઅર સાઇડબેન્ડ $(f_c - f_m)$,જ્યાં $f_m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલની ફ્રીક્વન્સી છે.
તેથી,એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં એક કેરિયર ફ્રીક્વન્સી અને બે સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સીનો સમાવેશ થાય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે જેની ઉર્જા $E_1 = 1 \text{ eV}$ છે:
$K_1 = 1 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 0.5 \text{ eV}$.
બીજા ફોટોન માટે જેની ઉર્જા $E_2 = 2.5 \text{ eV}$ છે:
$K_2 = 2.5 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 2.0 \text{ eV}$.
ગતિ ઉર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$.
ગતિ ઉર્જાના સમીકરણને મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $1:2$ થશે.

(C) આપેલ છે, ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = 120 eV$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ (જ્યાં $K = eV$) સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\lambda = \frac{1.227 \text{ nm}}{\sqrt{V}}$
$V = 120 V$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9} \text{ m}}{\sqrt{120}}$
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9}}{10.954}$
$\lambda \approx 0.112 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda = 112 \times 10^{-12} \text{ m} = 112 \text{ pm}$.

(C) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ મુજબ છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
પ્રારંભિક કિંમતો મૂકતા: $F = k \frac{(6 \mu C)(9 \mu C)}{d^2} = k \frac{54 \mu C^2}{d^2} \dots (1)$.
જ્યારે બંને ગોળાઓમાં $-3 \mu C$ વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 6 \mu C - 3 \mu C = 3 \mu C$
$q_2' = 9 \mu C - 3 \mu C = 6 \mu C$.
નવું બળ $F'$ છે: $F' = k \frac{q_1' q_2'}{d^2} = k \frac{(3 \mu C)(6 \mu C)}{d^2} = k \frac{18 \mu C^2}{d^2} \dots (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{F'}{F} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$.
તેથી,નવું બળ $F' = F/3$ થશે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે: બળની રેખા પર કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા આપે છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓથી વિપરીત,તેઓ બંધ ગાળો બનાવતી નથી.
વિધાન $C$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $q$ ઋણ હોય,તો બળ $F$ એ $E$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે: બે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતી નથી,કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદનબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ હોય,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ ઋણ વીજભાર $(-q)$ થી ધન વીજભાર $(+q)$ તરફની દિશામાં સદિશ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ડાયપોલ અક્ષને સમાંતર હોય છે પરંતુ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
જેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એકબીજાને પ્રતિ-સમાંતર (anti-parallel) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.

(C) અર્ધવાહકની એનર્જી ગેપ $E_g$ અને ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $E_g = \frac{hc}{\lambda}$.
આપેલ છે કે $E_g = 1.9 \ eV$. તેને જૂલમાં ફેરવતા: $E_g = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{hc}{E_g} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{3.04 \times 10^{-19}} \ m \approx 6.513 \times 10^{-7} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,તરંગલંબાઇ $6.5 \times 10^{-7} \ m$ છે.

(B) ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ $ _{Z}^{A}X $ છે.
જ્યારે $ \alpha $-કણ $( _{2}^{4}He )$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે દળ ક્રમાંક $ 4 $ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $ 2 $ જેટલો ઘટે છે. નવું ન્યુક્લિયસ $ _{Z-2}^{A-4}Y $ બને છે.
જ્યારે $ \beta $-કણ $( _{-1}^{0}e )$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $ 1 $ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
જો આપણે એક $ \alpha $ અને બે $ \beta $ કણોનું ઉત્સર્જન કરીએ:
$1$. $ \alpha $ ઉત્સર્જન પછી: $ _{Z-2}^{A-4}Y $
$2$. પ્રથમ $ \beta $ ઉત્સર્જન પછી: $ _{Z-1}^{A-4}Y' $
$3$. બીજા $ \beta $ ઉત્સર્જન પછી: $ _{Z}^{A-4}Y'' $
અહીં પરમાણુ ક્રમાંક $ Z $ મૂળ ન્યુક્લિયસ જેટલો જ હોવાથી,તે મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઈસોટોપ છે.

(B) આપેલ છે કે,કાચનો પોલરાઇઝિંગ એંગલ $i_{p} = 57^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે પ્રકાશ પોલરાઇઝિંગ એંગલ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ એકબીજાને કાટખૂણે હોય છે.
બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $(i_{p})$ અને વક્રીભવન કોણ $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $i_{p} + r = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$r = 90^{\circ} - i_{p}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$r = 90^{\circ} - 57^{\circ} = 33^{\circ}$.
આમ,વક્રીભવન કોણ $33^{\circ}$ છે.

(D) બે કોષો વિરોધમાં જોડાયેલા હોવાથી,પરિપથનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E_{net} = E_{1} - E_{2}$ થશે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ એ આંતરિક અવરોધો અને બાહ્ય અવરોધનો સરવાળો છે,જે $R_{total} = r_{1} + r_{2} + R$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = I \times R$ દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R} \times R$ મળે છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = IR$,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
જ્યારે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય,ત્યારે દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
તેથી,$I = V/R$,જે દર્શાવે છે કે $I \propto 1/R$.
ધારો કે $2 \Omega, 3 \Omega$ અને $4 \Omega$ ના અવરોધોમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ અનુક્રમે $I_1, I_2$ અને $I_3$ છે.
તેથી,$I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $2, 3$ અને $4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણો.
$I_1 : I_2 : I_3 = (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.