KCET 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) किसी वस्तु का त्वरण उसके वेग-समय ग्राफ की ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \tan \theta$,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा समय अक्ष के साथ बनाती है।
वस्तु $A$ के लिए,समय अक्ष के साथ कोण $25^{\circ}$ है। अतः,$a_A = \tan 25^{\circ}$।
वस्तु $B$ के लिए,समय अक्ष के साथ कोण $50^{\circ}$ है। अतः,$a_B = \tan 50^{\circ}$।
इसलिए,$A$ के त्वरण और $B$ के त्वरण का अनुपात $\frac{a_A}{a_B} = \frac{\tan 25^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$ होगा।

(B) दिया गया है,द्रव्यमान $m = 0.05 \,kg$ है।
जब पत्थर को ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल (हवा के प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए) गुरुत्वाकर्षण बल है।
गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण $F = m \times g$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 9.8 \,m/s^2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = 0.05 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 0.49 \,N$।
गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर,यानी ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होती है।
इसलिए,कुल बल $0.49 \,N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है।

(D) पानी $0^{\circ} C$ और $4^{\circ} C$ के बीच असामान्य प्रसार प्रदर्शित करता है।
जैसे ही पानी को $0^{\circ} C$ से $4^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है,इसका घनत्व बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि इसका आयतन घटता है।
$4^{\circ} C$ पर,पानी अपना अधिकतम घनत्व और न्यूनतम आयतन प्राप्त करता है।
जब पानी को $4^{\circ} C$ से $10^{\circ} C$ तक और गर्म किया जाता है,तो यह एक सामान्य तरल की तरह फैलता है और इसका आयतन बढ़ता है।
अतः,पानी का आयतन पहले घटता है और फिर बढ़ता है।

(B) दिया गया है: बीट आवृत्ति $= 4 \,Hz$, फोर्क $B$ की आवृत्ति $(f_B)$ $= 384 \,Hz$.
फोर्क $A$ की संभावित आवृत्तियाँ $(f_A)$ $f_B \pm 4$ हैं, जो $388 \,Hz$ या $380 \,Hz$ हैं।
जब ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग को घिसा जाता है, तो उसका द्रव्यमान कम हो जाता है, जिससे उसकी आवृत्ति बढ़ जाती है ($f_A$ बढ़ती है)।
स्थिति $1$: यदि $f_A = 380 \,Hz$ है, तो घिसने पर $f_A$ बढ़कर $384 \,Hz$ के करीब जाएगी, जिससे बीट आवृत्ति $(|f_A - f_B|)$ कम हो जाएगी।
स्थिति $2$: यदि $f_A = 388 \,Hz$ है, तो घिसने पर $f_A$ बढ़कर $384 \,Hz$ से दूर जाएगी (जैसे $389 \,Hz$ तक), जिससे बीट आवृत्ति $(|f_A - f_B|)$ बढ़ जाएगी।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बीट आवृत्ति बढ़ जाती है, इसलिए फोर्क $A$ की प्रारंभिक आवृत्ति $388 \,Hz$ होनी चाहिए।

(C) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $L = 2\pi R$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2\pi}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
$R = \frac{L}{2\pi}$ को $I^{\prime}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $I^{\prime} = \frac{M}{2} \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{ML^2}{8\pi^2}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{I}{I^{\prime}} = \frac{\frac{ML^2}{12}}{\frac{ML^2}{8\pi^2}} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ होता है।

(B) द्रव्यमान पदार्थ का एक मूलभूत गुण है और यह गुरुत्वाकर्षण या स्थान जैसी बाहरी स्थितियों पर निर्भर नहीं करता है।
यह किसी वस्तु में निहित पदार्थ की मात्रा को दर्शाता है।
चूंकि द्रव्यमान एक आंतरिक गुण है,इसलिए यह स्थिर रहता है चाहे वस्तु कहीं भी स्थित हो।
अतः,यदि पृथ्वी की सतह पर पिंड का द्रव्यमान $M$ है,तो चंद्रमा की सतह पर भी उसका द्रव्यमान $M$ ही होगा।

(B) $ 0^{\circ} C $ पर $ 1 \text{ g} $ बर्फ को $ 0^{\circ} C $ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $ Q_1 = m L_f = 1 \times 80 = 80 \text{ cal} $ है।
$ 1 \text{ g} $ पानी का तापमान $ 0^{\circ} C $ से $ 100^{\circ} C $ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $ Q_2 = m c \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100 \text{ cal} $ है।
$ 0^{\circ} C $ पर बर्फ को $ 100^{\circ} C $ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $ Q_{total} = 80 + 100 = 180 \text{ cal} $ है।
$ 100^{\circ} C $ पर $ 1 \text{ g} $ भाप द्वारा $ 100^{\circ} C $ पर पानी में संघनित होने पर मुक्त ऊष्मा $ Q_{steam} = m L_v = 1 \times 540 = 540 \text{ cal} $ है।
चूंकि $ Q_{steam} > Q_{total} $,इसलिए भाप के पास बर्फ को पिघलाने और पानी को $ 100^{\circ} C $ तक गर्म करने के लिए पर्याप्त से अधिक ऊष्मा है।
अतः,मिश्रण $ 100^{\circ} C $ पर तापीय संतुलन प्राप्त करेगा और कुछ भाप शेष रहेगी।

(A) दोनों सिरों पर बंधी हुई तनी हुई डोरी के लिए,$ n $-वें ओवरटोन की आवृत्ति $ f_n = (n+1) f_1 $ द्वारा दी जाती है,जहाँ $ f_1 $ मूल आवृत्ति है।
दूसरे ओवरटोन के लिए,$ n = 2 $,इसलिए डोरी $ 3^{rd} $ हार्मोनिक मोड में कंपन करती है।
$ 3^{rd} $ हार्मोनिक मोड में,डोरी में $ 3 $ लूप होते हैं।
$ p $ लूप वाली अप्रगामी तरंग में नोड्स $( N )$ की संख्या $ p+1 $ होती है। यहाँ,$ p = 3 $,इसलिए नोड्स की संख्या $ 3+1 = 4 $ है।
एंटीनोड्स $( A )$ की संख्या लूप की संख्या के बराबर होती है,जो कि $ 3 $ है।
अतः,यहाँ $ 4 $ नोड्स और $ 3 $ एंटीनोड्स हैं।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = \left(1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}\right) \times 100 \%$.
दिया गया है: $T_{1} = 500 \ K$ (स्रोत का तापमान) और $T_{2} = 300 \ K$ (सिंक का तापमान)।
सूत्र में मान रखने पर:
$\eta = \left(1 - \frac{300}{500}\right) \times 100 \%$.
$\eta = \left(1 - 0.6\right) \times 100 \%$.
$\eta = 0.4 \times 100 \% = 40 \%$.
अतः,कार्नोट इंजन की दक्षता $40 \%$ है।

(B) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-1}]$ होती हैं।
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ की विमाएँ $[M L^{2}]$ होती हैं।
प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण की विमाओं का अनुपात $\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^{2} T^{-1}]}{[M L^{2}]} = [T^{-1}]$ है।
आवृत्ति की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
वेग की विमा $[L T^{-1}]$ होती है।
कोणीय संवेग की विमा $[M L^{2} T^{-1}]$ होती है।
समय की विमा $[T]$ होती है।
अतः,प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण की विमाओं का अनुपात आवृत्ति की विमा के समान है।

(A) सेकंड वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_s = 60 \text{ s}$ है।
अतः,कोणीय चाल $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s}$ है।
घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे} = 12 \times 60 \times 60 \text{ s} = 43200 \text{ s}$ है।
अतः,कोणीय चाल $\omega_h = \frac{2\pi}{T_h} = \frac{2\pi}{43200} \text{ rad/s}$ है।
सेकंड वाली सुई और घंटे वाली सुई की कोणीय चाल का अनुपात $\frac{\omega_s}{\omega_h} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / 43200} = \frac{43200}{60} = 720$ है।
अतः,अनुपात $720: 1$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \,kg$, संवेग $p = 6 \,Ns$।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{6^2}{2 \times 4} = \frac{36}{8} = 4.5 \,J$।
अतः, पिंड की गतिज ऊर्जा $4.5 \,J$ है।

(C) दिया गया है: क्षैतिज परास $(R)$ $= 2 \times$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$.
परास का सूत्र: $R = \frac{v^{2} \sin 2\theta}{g}$.
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र: $H = \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
प्रश्न के अनुसार: $\frac{v^{2} \sin 2\theta}{g} = 2 \times \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
सरल करने पर: $\sin 2\theta = \sin^{2} \theta$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर: $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^{2} \theta$.
$\sin \theta$ से भाग देने पर: $2 \cos \theta = \sin \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 2$.
$\tan \theta = 2$ से,हमें $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{v^{2} (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{2v^{2}}{g} \times \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4v^{2}}{5g}$.

(B) हाइड्रोलिक प्रतिबल और उसके संगत आयतन विकृति (volumetric strain) के अनुपात को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक या बल्क मॉडुलस $(B)$ के रूप में जाना जाता है।
गणितीय रूप से,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$,जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है और $\frac{\Delta V}{V}$ आयतन विकृति है।

(A) $SHM$ कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$
यहाँ दूरी $y = \frac{A}{2}$ दी गई है,जहाँ $A$ आयाम है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$SHM$ कर रहे कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ इस प्रकार है:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$
$y = \frac{A}{2}$ रखने पर:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})}{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})} = \frac{3/4}{1/4} = 3$
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(C) दिए गए परिपथ में,$12 \ V$ की बैटरी का धनात्मक टर्मिनल इस प्रकार जुड़ा है कि डायोड $D_2$ अग्र-अभिनत (forward-biased) है और डायोड $D_1$ पश्च-अभिनत (reverse-biased) है।
चूंकि $D_1$ पश्च-अभिनत है,यह एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
चूंकि $D_2$ अग्र-अभिनत है और आदर्श है,यह एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है। धारा $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक और $2 \ \Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = 4 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{V}{R} = \frac{12 \ V}{6 \ \Omega} = 2 \ A$.

(C) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ उसके परम ताप $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\chi \propto \frac{1}{T}$।
इसलिए,$\frac{\chi_1}{\chi_2} = \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है:
$T_1 = -73^{\circ} C = 273 - 73 = 200 \ K$
$T_2 = -173^{\circ} C = 273 - 173 = 100 \ K$
$\chi_1 = 0.0075$
मान रखने पर:
$\chi_2 = \chi_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 0.0075 \times \frac{200}{100} = 0.0075 \times 2 = 0.0150$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है: आवर्धन $m = -3$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए यह उल्टा होना चाहिए)। वक्रता त्रिज्या $R = -30 \ cm$। फोकस दूरी $f = R/2 = -15 \ cm$।
आवर्धन सूत्र का उपयोग करते हुए: $m = -v/u \Rightarrow -3 = -v/u \Rightarrow v = 3u$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $1/f = 1/v + 1/u$।
मान रखने पर: $1/(-15) = 1/(3u) + 1/u$।
$1/(-15) = (1 + 3)/(3u) = 4/(3u)$।
$-3u = 60 \Rightarrow u = -20 \ cm$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि व्यक्ति को अवतल दर्पण के सामने $20 \ cm$ की दूरी पर खड़ा होना चाहिए।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में दो कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
चूंकि आवृत्ति $f$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $f = \frac{C}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं $\frac{f}{C} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
आवृत्ति के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $f = RC \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$f = RC \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = RC \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
भिन्न की गणना करने पर: $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$.
अतः,उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f = \frac{5RC}{36}$ है।

(B) मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n$,निर्वात में प्रकाश की गति और माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है:
$n = \frac{c}{v} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}}{\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}} = \frac{\sqrt{\mu \varepsilon}}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सत्यता सारणी सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए लॉजिक गेट के आउटपुट को परिभाषित करती है।
दी गई सारणी के लिए:
- जब $A=0, B=0$ हो,तो आउटपुट $Y=1$ है।
- जब $A=0, B=1$ हो,तो आउटपुट $Y=1$ है।
- जब $A=1, B=0$ हो,तो आउटपुट $Y=1$ है।
- जब $A=1, B=1$ हो,तो आउटपुट $Y=0$ है।
यह व्यवहार $NAND$ गेट के अनुरूप है,जो $AND$ गेट का उल्टा (inverse) होता है। $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।

(B) लाइन-ऑफ-साइट $(LOS)$ संचार के लिए स्पेस वेव्स का उपयोग किया जाता है।
लाइन-ऑफ-साइट संचार का एक प्रकार है जो डेटा को केवल तभी प्रसारित और प्राप्त कर सकता है जब ट्रांसमीटर और रिसीवर स्टेशन एक-दूसरे की दृष्टि में हों और उनके बीच कोई बाधा न हो।
इस प्रकार के संचरण का उपयोग आमतौर पर $VHF$,$UHF$ और माइक्रोवेव संकेतों जैसे उच्च-आवृत्ति संकेतों के लिए किया जाता है।

(C) $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = hc / \lambda$ द्वारा दी जाती है। ऊर्जा तब सबसे कम होती है जब संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच होता है।
लाइमैन श्रेणी के लिए, संक्रमण $n_1 = 1$ पर होता है। सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप होता है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \text{ eV} \times (1/n_1^2 - 1/n_2^2) = 13.6 \times (1/1^2 - 1/2^2) = 13.6 \times (3/4) = 10.2 \text{ eV}$ है।
संबंध $\lambda = hc / \Delta E$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda = 1240 \text{ eV nm} / 10.2 \text{ eV} \approx 121.57 \text{ nm} \approx 122 \text{ nm}$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 100^{\circ} C$,प्रारंभिक प्रतिरोध $R_{1} = 100 \ \Omega$,अंतिम प्रतिरोध $R_{2} = 200 \ \Omega$,और तापमान गुणांक $\alpha = 0.005 \ ^{\circ} C^{-1}$।
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R_{2} = R_{1}[1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$।
$T_{2}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T_{2} - T_{1} = \frac{R_{2} - R_{1}}{\alpha R_{1}}$।
मान रखने पर: $T_{2} - 100 = \frac{200 - 100}{0.005 \times 100}$।
$T_{2} - 100 = \frac{100}{0.5} = 200$।
$T_{2} = 200 + 100 = 300^{\circ} C$।

(A) दिया गया है: $P=2 \Omega, Q=2 \Omega, R=2 \Omega, S=3 \Omega$.
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S_{eq}}$ है,जहाँ $S_{eq}$ प्रतिरोध $S$ और $X$ का समांतर संयोजन है।
जब $S$ को $X$ के साथ शंट किया जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $S_{eq} = \frac{S \cdot X}{S+X}$ होता है।
संतुलन समीकरण में मान रखने पर: $\frac{2}{2} = \frac{2}{\left(\frac{3X}{3+X}\right)}$.
इसे सरल करने पर $1 = \frac{2(3+X)}{3X}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3X = 6 + 2X$,जिससे $X = 6 \Omega$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,ब्रिज को संतुलित करने के लिए $S$ को $6 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाना चाहिए।

(C) परिपथ आरेख से,वोल्टमीटर को एमीटर और प्रतिरोध $R$ के श्रेणी संयोजन के समानांतर जोड़ा गया है।
मान लीजिए कि एमीटर का प्रतिरोध $R_A$ है और वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_V$ है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V = 6 \text{ V}$ एमीटर और प्रतिरोध $R$ के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर है।
एमीटर का पाठ्यांक $I = 3 \text{ A}$ एमीटर और प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा है।
श्रेणी संयोजन के लिए ओम के नियम के अनुसार,कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_A = \frac{V}{I} = \frac{6 \text{ V}}{3 \text{ A}} = 2 \Omega$ है।
चूंकि एमीटर का कुछ परिमित प्रतिरोध $R_A > 0$ होता है,इसलिए $R = 2 \Omega - R_A$ होगा।
अतः,$R < 2 \Omega$ है।

(B) साइक्लोट्रॉन एक कण त्वरक है जो आवेशित कणों को वृत्ताकार पथ में रखने के लिए चुंबकीय क्षेत्र और उनकी गतिज ऊर्जा बढ़ाने के लिए प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र का उपयोग करता है।
इसका उपयोग मुख्य रूप से प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे धनावेशित कणों को त्वरित करने के लिए किया जाता है।
न्यूट्रॉन को साइक्लोट्रॉन द्वारा त्वरित नहीं किया जा सकता है क्योंकि वे विद्युत रूप से उदासीन होते हैं और वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक लॉरेंट्ज़ बल $(F = q(v \times B))$ या त्वरण के लिए आवश्यक विद्युत बल $(F = qE)$ का अनुभव नहीं करते हैं।

(A) दिया गया है: आउटपुट पावर $(P_{out})$ = $100 \,W$, इनपुट वोल्टेज $(V_{in})$ = $220 \,V$, इनपुट धारा $(I_{in})$ = $0.5 \,A$.
इनपुट पावर $(P_{in})$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $P_{in} = V_{in} \times I_{in} = 220 \,V \times 0.5 \,A = 110 \,W$.
ट्रांसफार्मर की दक्षता $(\eta)$ आउटपुट पावर और इनपुट पावर का अनुपात है: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{100 \,W}{110 \,W} \times 100 = \frac{10}{11} \times 100 \approx 90.91 \%$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, दक्षता $90 \%$ है।

(D) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 50 \Omega$,पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g = 5 \times 10^{-4} \text{ A}$,और लक्षित वोल्टेज $V = 3 \text{ V}$ है।
गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
कुल प्रतिरोध के लिए सूत्र $V = I_g(R + G)$ है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{V}{I_g} - G$.
मान रखने पर: $R = \frac{3}{5 \times 10^{-4}} - 50$.
$R = 0.6 \times 10^4 - 50 = 6000 - 50 = 5950 \Omega$.
अतः,आवश्यक प्रतिरोध $5950 \Omega$ है।

(A) विद्युत चुंबक का क्रोड (core) विद्युत धारा ले जाने वाली कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स को केंद्रित करने के लिए डिज़ाइन किया जाता है।
इसे कुशलतापूर्वक प्राप्त करने के लिए,पदार्थ में उच्च चुंबकीय पारगम्यता होनी चाहिए,जिससे यह आसानी से चुंबकित हो सके।
इसके अतिरिक्त,इसमें कम प्रतिधारण (retentivity) होनी चाहिए ताकि विद्युत धारा बंद होने पर चुंबकत्व जल्दी समाप्त हो जाए।
इसलिए,इस उद्देश्य के लिए नरम लोहे का उपयोग आमतौर पर किया जाता है क्योंकि इसमें उच्च पारगम्यता और कम प्रतिधारण होता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभ में विराम अवस्था में स्थित नाभिक के लिए,विभाजन के बाद कुल संवेग शून्य होना चाहिए।
$m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$
चूंकि नाभिकीय पदार्थ का घनत्व स्थिर होता है,इसलिए नाभिक का द्रव्यमान $m$ उसके आयतन के समानुपाती होता है,जो उसकी त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है।
$m \propto R^3 \implies \frac{m_2}{m_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस मान को वेग अनुपात के समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$.
अतः,उनके वेगों का अनुपात $8:1$ है।

(B) दिया गया है, रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $ T_{1/2} = 20 \text{ मिनट} $ है।
$ 50\% $ क्षय पर, शेष मात्रा $ N_1 = 50\% $ of $ N_0 = 0.5 N_0 $ है। यह $ 1 $ अर्ध-आयु के अनुरूप है, इसलिए $ t_1 = 20 \text{ मिनट} $ है।
$ 87.5\% $ क्षय पर, शेष मात्रा $ N_2 = (100 - 87.5)\% $ of $ N_0 = 12.5\% $ of $ N_0 = 0.125 N_0 = (1/8) N_0 = (1/2)^3 N_0 $ है।
यह $ 3 $ अर्ध-आयु के अनुरूप है, इसलिए $ t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 20 = 60 \text{ मिनट} $ है।
$ 50\% $ क्षय और $ 87.5\% $ क्षय के बीच लगा समय $ \Delta t = t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40 \text{ मिनट} $ है।

(B) व्यक्ति का निकट बिंदु $ 75 \ cm $ है। सामान्य $ 25 \ cm $ की दूरी पर पढ़ने के लिए,लेंस को $ 25 \ cm $ पर रखी वस्तु का आभासी प्रतिबिंब व्यक्ति के $ 75 \ cm $ के निकट बिंदु पर बनाना चाहिए।
दिया गया है: वस्तु दूरी $ u = -25 \ cm $,प्रतिबिंब दूरी $ v = -75 \ cm $.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $ \frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} $
$ \frac{1}{f} = \frac{1}{-75} - \frac{1}{-25} $
$ \frac{1}{f} = -\frac{1}{75} + \frac{3}{75} = \frac{2}{75} $
$ f = \frac{75}{2} = 37.5 \ cm $
अतः,पढ़ने वाले चश्मे की फोकस दूरी $ 37.5 \ cm $ है।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,दूरी $D = 0.5 \ m$,स्लिट पृथक्करण $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
$n^{th}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है। $n=3$ के लिए,$x_3 = \frac{3 \lambda D}{d}$.
दूसरी ओर $m^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति $x'_m = \frac{(2m-1) \lambda D}{2d}$ है। $m=2$ के लिए,$x'_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
उनके बीच की कुल दूरी $x = x_3 + x'_2 = \frac{3 \lambda D}{d} + \frac{3 \lambda D}{2d} = \frac{9 \lambda D}{2d}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{9 \times 500 \times 10^{-9} \times 0.5}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{4500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} = 2250 \times 10^{-6} \ m = 2.25 \ mm$.

(B) निकटतम पहुँच की दूरी $(d)$ वह दूरी है जहाँ $\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$d = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(Z_1 e)(Z_2 e)}{K}$
यहाँ,$Z_1 = 2$ ($\alpha$-कण के लिए),$Z_2 = 79$ (सोने के नाभिक के लिए),और $K = 5 \text{ MeV} = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-13} \text{ J}$ है।
मान रखने पर:
$d = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times (79 \times 1.6 \times 10^{-19})}{8 \times 10^{-13}}$
$d = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$d \approx 4.55 \times 10^{-14} \text{ m} = 4.55 \times 10^{-12} \text{ cm}$।
अतः,यह $10^{-12} \text{ cm}$ की कोटि का है।

(C) जब $E$ emf और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले $n$ समान सेल श्रेणीक्रम में जोड़े जाते हैं,तो कुल emf $nE$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ होता है।
यदि $m$ सेल विपरीत ध्रुवता (reversed polarity) के साथ जुड़े हों,तो प्रभावी emf $E'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E' = (n - 2m)E$
यहाँ,सेलों की कुल संख्या $n = 4$ है और गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $m = 1$ है।
इन मानों को रखने पर:
$E' = (4 - 2 \times 1)E = (4 - 2)E = 2E$
श्रेणीक्रम में सेलों का आंतरिक प्रतिरोध उनकी ध्रुवता की परवाह किए बिना जुड़ जाता है। इसलिए,प्रभावी आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ समान रहता है:
$r_{eq} = n \times r = 4r$
अतः,तुल्य emf $2E$ है और प्रभावी आंतरिक प्रतिरोध $4r$ है।

(C) $R = 10 \,cm$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले एक गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$, विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$.
$2$. कोश के बाहर $(r > R)$, विभव दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}$.
दी गई दूरियाँ $r_{1} = 5 \,cm$, $r_{2} = 10 \,cm$ और $r_{3} = 15 \,cm$ हैं。
चूँकि $r_{1} < R$ और $r_{2} = R$, इसलिए $V_{1} = V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{10}$ होगा。
$r_{3} = 15 \,cm$ के लिए, $V_{3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{15}$ होगा。
मानों की तुलना करने पर, चूँकि $15 > 10$, इसलिए $\frac{q}{15} < \frac{q}{10}$, अतः $V_{3} < V_{1} = V_{2}$।
इस प्रकार, सही संबंध $V_{1} = V_{2} > V_{3}$ है।

(D) दिया गया है कि समांतर प्लेट संधारित्र को आवेशित करके फिर अलग कर दिया गया है। इसलिए,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $C \propto \frac{1}{d}$।
यदि प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
संबंध $Q = CV$ से,हमारे पास $V = \frac{Q}{C}$ है। चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घटता है,इसलिए विभव $V$ बढ़ना चाहिए।
अतः,प्लेटों के बीच की दूरी बढ़ाने पर आवेश स्थिर रहता है,विभव बढ़ता है और धारिता घटती है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्रिज्या है।
दिया गया है $a = 2\pi \text{ cm} = 2\pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
पहली कुंडली के लिए जिसमें धारा $I_1 = 3 \text{ A}$ है:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{4\pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें धारा $I_2 = 4 \text{ A}$ है:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4\pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूँकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 \times 10^{-10} + 16 \times 10^{-10}} = \sqrt{25 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $ B = 10^{-4} \,Wb m^{-2} $.
प्रोटॉन का विशिष्ट आवेश $ \frac{q}{m} = 10^{11} \,C kg^{-1} $.
प्रोटॉन का वेग $ v = 10^{9} \,ms^{-1} $.
जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है, तो वह $ r $ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है, जिसका सूत्र है:
$ r = \frac{mv}{qB} $.
इसे हम $ r = \frac{v}{(\frac{q}{m}) \times B} $ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$ r = \frac{10^{9}}{10^{11} \times 10^{-4}} $.
$ r = \frac{10^{9}}{10^{7}} $.
$ r = 10^{2} \,m = 100 \,m $.
अतः, वर्णित वृत्त की त्रिज्या $ 100 \,m $ है।

(A) एक $LCR$ परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L = \omega L)$ और धारितीय प्रतिघात $(X_C = 1/(\omega C))$ परिमाण में बराबर होते हैं।
इस स्थिति में,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,$Z = R$ होता है,जो न्यूनतम संभव प्रतिबाधा है।
चूंकि कुल प्रतिघात शून्य है,इसलिए कला कोण $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ होता है।
अतः,अनुनाद पर धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं।

(C) चुंबकीय आघूर्ण $M$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ वाला एक चुंबकीय द्विध्रुव जब एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखा जाता है, तो उस पर एक प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -MB \sin \theta$ कार्य करता है।
छोटे दोलनों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\tau = -MB \theta$ होता है।
इसकी तुलना कोणीय $SHM$ के समीकरण $\tau = -C \theta$ से करने पर, जहाँ $C = MB$ है।
कोणीय $SHM$ का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}}$ द्वारा दिया जाता है।
$C = MB$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ प्राप्त होता है।

(A) दूरी पर स्थित और $I_1$ तथा $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई का बल $f$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{d}$
दिए गए मान $I_1 = 1 \text{ A}$,$I_2 = 3 \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1 \times 3}{1} = 6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में बह रही हैं,इसलिए तारों के बीच का बल प्रतिकर्षी होगा।
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला बल $6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$ है और यह प्रतिकर्षी है।

(D) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय का सूत्र $ P_{av} = VI \cos \phi $ होता है,जहाँ $ V $ $RMS$ वोल्टेज है,$ I $ $RMS$ धारा है,और $ \phi $ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase angle) है।
एक शुद्ध प्रेरक में,धारा वोल्टेज से $ \phi = \pi / 2 $ के कलांतर से पीछे रहती है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $ P_{av} = VI \cos(\pi / 2) $।
चूंकि $ \cos(\pi / 2) = 0 $ होता है,इसलिए हमें $ P_{av} = VI \times 0 = 0 $ प्राप्त होता है।
अतः,एक शुद्ध प्रेरक में औसत शक्ति क्षय शून्य होता है।

(C) दिया गया है: पंखों की लंबाई $l = 40 \text{ m}$,गति $v = 1080 \text{ km h}^{-1}$।
गति को $SI$ इकाइयों में बदलने पर: $v = 1080 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 300 \text{ m s}^{-1}$।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $B = 1.75 \times 10^{-5} \text{ T}$।
पंखों के बीच प्रेरित गतिक emf $E = B l v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = (1.75 \times 10^{-5} \text{ T}) \times (40 \text{ m}) \times (300 \text{ m s}^{-1})$।
$E = 1.75 \times 10^{-5} \times 12000 = 1.75 \times 0.12 = 0.21 \text{ V}$।
अतः,पंखों के सिरों के बीच उत्पन्न emf $0.21 \text{ V}$ है।

(B) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरकत्व $ M = 0.005 \ H $,धारा $ i = i_{m} \sin \omega t $,अधिकतम धारा $ i_{m} = 10 \ A $,और कोणीय आवृत्ति $ \omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1} $.
दूसरी कुंडली में प्रेरित emf $ \varepsilon $ का सूत्र $ \varepsilon = M \frac{di}{dt} $ है।
धारा का समीकरण रखने पर: $ \varepsilon = M \frac{d}{dt} (i_{m} \sin \omega t) = M i_{m} \omega \cos \omega t $.
प्रेरित emf $ \varepsilon_{\max} $ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $ \cos \omega t = 1 $ हो।
अतः,$ \varepsilon_{\max} = M \omega i_{m} $.
मान रखने पर: $ \varepsilon_{\max} = 0.005 \times 100 \pi \times 10 = 5 \pi \ V $.
इस प्रकार,दूसरी कुंडली में प्रेरित emf का अधिकतम मान $ 5 \pi \ V $ है।

(D) विवर्तन किसी अवरोध के कोनों के चारों ओर या किसी छिद्र से प्रकाश के मुड़ने या फैलने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,अवरोध या छिद्र का आकार आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $( \lambda )$ के तुलनीय होना चाहिए।
यदि अवरोध का आकार तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ा है,तो प्रकाश एक सीधी रेखा में यात्रा करता है (ऋजुरेखीय संचरण),और विवर्तन नगण्य होता है।
इसलिए,विवर्तन का अवलोकन करने के लिए शर्त यह है कि अवरोध का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$
यहाँ $q_1 = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_2 = 6 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_3 = 9 \times 10^{-9} \text{ C}$ और $r = 0.1 \text{ m}$ है।
$U = \frac{9 \times 10^9}{0.1} \left( (3 \times 6) + (6 \times 9) + (9 \times 3) \right) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times (18 + 54 + 27) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times 99 \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 891 \times 10^{-7} \text{ J} = 8.91 \times 10^{-6} \text{ J}$

(A) कॉमन एमिटर $(CE)$ कॉन्फ़िगरेशन में ट्रांजिस्टर की इनपुट विशेषताएँ इनपुट करंट और इनपुट वोल्टेज के बीच के संबंध का वर्णन करती हैं।
विशेष रूप से,यह वह वक्र है जो कलेक्टर-एमिटर वोल्टेज $(V_{CE})$ को स्थिर रखते हुए बेस करंट $(I_{B})$ को बेस-एमिटर वोल्टेज $(V_{BE})$ के विरुद्ध प्लॉट करके प्राप्त किया जाता है।
यह ग्राफ दर्शाता है कि आउटपुट वोल्टेज के विभिन्न निश्चित मानों के लिए इनपुट वोल्टेज बढ़ने पर बेस करंट कैसे बदलता है।

(A) एम्प्लिट्यूड मॉड्यूलेशन में,कैरियर तरंग का आयाम (amplitude) मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के तात्कालिक मान के अनुसार बदलता है।
गणितीय रूप से,मॉड्यूलेटेड तरंग में कैरियर आवृत्ति $(f_c)$ और दो साइडबैंड आवृत्तियाँ होती हैं: अपर साइडबैंड $(f_c + f_m)$ और लोअर साइडबैंड $(f_c - f_m)$,जहाँ $f_m$ मॉड्यूलेटिंग सिग्नल की आवृत्ति है।
इसलिए,एम्प्लिट्यूड मॉड्यूलेशन में एक कैरियर आवृत्ति और दो साइडबैंड आवृत्तियाँ होती हैं।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
पहले फोटॉन के लिए जिसकी ऊर्जा $E_1 = 1 \text{ eV}$ है:
$K_1 = 1 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 0.5 \text{ eV}$.
दूसरे फोटॉन के लिए जिसकी ऊर्जा $E_2 = 2.5 \text{ eV}$ है:
$K_2 = 2.5 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 2.0 \text{ eV}$.
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$.
गतिज ऊर्जा के व्यंजक को रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,अधिकतम चालों का अनुपात $1:2$ होगा।

(C) दिया गया है, इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = 120 eV$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ त्वरित विभव $V$ (जहाँ $K = eV$) से इस प्रकार संबंधित है:
$\lambda = \frac{1.227 \text{ nm}}{\sqrt{V}}$
$V = 120 V$ रखने पर:
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9} \text{ m}}{\sqrt{120}}$
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9}}{10.954}$
$\lambda \approx 0.112 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda = 112 \times 10^{-12} \text{ m} = 112 \text{ pm}$.

(C) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
प्रारंभिक मान रखने पर: $F = k \frac{(6 \mu C)(9 \mu C)}{d^2} = k \frac{54 \mu C^2}{d^2} \dots (1)$.
जब दोनों गोलों में $-3 \mu C$ का आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 6 \mu C - 3 \mu C = 3 \mu C$
$q_2' = 9 \mu C - 3 \mu C = 6 \mu C$.
नया बल $F'$ है: $F' = k \frac{q_1' q_2'}{d^2} = k \frac{(3 \mu C)(6 \mu C)}{d^2} = k \frac{18 \mu C^2}{d^2} \dots (2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{F'}{F} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$.
अतः,नया बल $F' = F/3$ होगा।

(B) कथन $A$ सही है: बल रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा बताती है।
कथन $B$ गलत है: विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से शुरू होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के विपरीत,वे बंद लूप नहीं बनाती हैं।
कथन $C$ सही है: विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। यदि $q$ ऋणात्मक है,तो बल $F$,$E$ की विपरीत दिशा में होता है।
कथन $D$ सही है: दो विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काट सकती हैं,क्योंकि यदि वे काटती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ एक सदिश है जो ऋण आवेश $(-q)$ से धन आवेश $(+q)$ की दिशा में होता है।
विद्युत द्विध्रुव के विषुवतीय तल पर किसी भी बिंदु पर,परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ द्विध्रुव अक्ष के समानांतर होता है लेकिन द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ की विपरीत दिशा में होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ प्रति-समानांतर (anti-parallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।

(C) अर्धचालक का ऊर्जा अंतराल $E_g$ उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $E_g = \frac{hc}{\lambda}$.
दिया गया है $E_g = 1.9 \ eV$। इसे जूल में बदलने पर: $E_g = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ मानों का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{hc}{E_g} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{3.04 \times 10^{-19}} \ m \approx 6.513 \times 10^{-7} \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $6.5 \times 10^{-7} \ m$ है।

(B) मान लीजिए मूल नाभिक $ _{Z}^{A}X $ है।
जब एक $ \alpha $-कण $( _{2}^{4}He )$ उत्सर्जित होता है,तो द्रव्यमान संख्या $ 4 $ से कम हो जाती है और परमाणु क्रमांक $ 2 $ से कम हो जाता है। नया नाभिक $ _{Z-2}^{A-4}Y $ बनता है।
जब एक $ \beta $-कण $( _{-1}^{0}e )$ उत्सर्जित होता है,तो परमाणु क्रमांक $ 1 $ से बढ़ जाता है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
यदि हम एक $ \alpha $ और दो $ \beta $ कणों का उत्सर्जन करते हैं:
$1$. $ \alpha $ उत्सर्जन के बाद: $ _{Z-2}^{A-4}Y $
$2$. पहले $ \beta $ उत्सर्जन के बाद: $ _{Z-1}^{A-4}Y' $
$3$. दूसरे $ \beta $ उत्सर्जन के बाद: $ _{Z}^{A-4}Y'' $
चूंकि परमाणु क्रमांक $ Z $ मूल नाभिक के समान है,इसलिए यह मूल नाभिक का समस्थानिक है।

(B) दिया गया है,कांच का ध्रुवण कोण $i_{p} = 57^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि जब प्रकाश ध्रुवण कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत (समकोण पर) होती हैं।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,आपतन कोण $(i_{p})$ और अपवर्तन कोण $(r)$ के बीच का संबंध $i_{p} + r = 90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$r = 90^{\circ} - i_{p}$.
दिए गए मान को रखने पर,$r = 90^{\circ} - 57^{\circ} = 33^{\circ}$.
अतः,अपवर्तन कोण $33^{\circ}$ है।

(D) चूंकि दोनों सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं,इसलिए परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल (emf) $E_{net} = E_{1} - E_{2}$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोधों और बाह्य प्रतिरोध का योग है,जो $R_{total} = r_{1} + r_{2} + R$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R}$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R} \times R$ प्राप्त होता है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,जहाँ $V$ विभवांतर है,$I$ विद्युत धारा है,और $R$ प्रतिरोध है।
चूँकि प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक पर विभवांतर $V$ समान रहता है।
अतः,$I = V/R$,जिसका अर्थ है $I \propto 1/R$.
मान लीजिए कि $2 \Omega, 3 \Omega$ और $4 \Omega$ प्रतिरोधों से प्रवाहित होने वाली धाराएँ क्रमशः $I_1, I_2$ और $I_3$ हैं।
तब,$I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $2, 3$ और $4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करें।
$I_1 : I_2 : I_3 = (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.