જો $\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}$ હોય,તો $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1}{A}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{B}\right)+\sec ^{-1} C=$

જો સમીકરણ $2 \operatorname{Cot}^{-1}(x^2+2x+k) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(x^2+2x+k)$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોય,તો $k$ ની તમામ કિંમતો કયા અંતરાલમાં આવે છે?

ધારો કે $x = \frac{m}{n}$ ($m, n$ એ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે) એ સમીકરણ $\cos(2 \sin^{-1} x) = \frac{1}{9}$ નો ઉકેલ છે અને ધારો કે $\alpha, \beta$ $(\alpha > \beta)$ એ સમીકરણ $mx^2 - nx - m + n = 0$ ના બીજ છે. તો બિંદુ $(\alpha, \beta)$ કઈ રેખા પર આવેલું છે?

જો $x = \sin (2 \tan^{-1} 2)$,$y = \cos (2 \tan^{-1} 3)$,અને $z = \sec (2 \tan^{-1} 4)$ હોય,તો:

જો $y = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^{2}}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}+2x+3}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}+5x+7}\right) + \dots + n \text{ પદો}$,તો $y'(0)$ શોધો.

જો $\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\frac{1}{2} \sec ^{-1} x+\tan ^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{8}$ હોય,તો $x^2=$