ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ $2x - 3y + 4z = 29$ પર દોરેલા લંબપાદના યામ શોધો.

ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ નીચે મુજબની સીધી રેખાઓ છે:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ અને $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
ધારો કે સીધી રેખા $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ એ $L_1$ અને $L_2$ ને સમાવતા સમતલમાં છે,અને $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. જો રેખા $L$ એ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના લઘુકોણને દુભાગે છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

સમતલ $4x + 7y + 4z + 81 = 0$ ને સમતલ $5x + 3y + 10z = 25$ સાથેની તેની છેદરેખાની આસપાસ કાટખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. નવી સ્થિતિમાં સમતલનું સમીકરણ $x - 4y + 6z = k$ છે,જ્યાં $k$ એ:

સમતલો $2x - y = 0$ અને $y - 3z = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $4x + 5y - 3z - 8 = 0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

જો સમતલો $2x - 7y + 4z - 3 = 0$ અને $3x - 5y + 4z + 11 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(-2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz - 7 = 0$ હોય,તો $2a + b + c - 7$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે રેખાઓ $l_1: \frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-\alpha}{-2}$ અને $l_2: 3x+2y+z-2=0=x-3y+2z-13$ સમતલીય છે. જો $l_1$ પરનું બિંદુ $P(a, b, c)$ એ બિંદુ $Q(-4, -3, 2)$ ની સૌથી નજીક હોય,તો $|a|+|b|+|c|$ ની કિંમત શોધો.