मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (1+y^2) e^{tan x | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) e^{	an x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 	an x}) dy = 0$.चरों को अलग करने पर:$\frac{e^{	an x}}{\cos^2 x(1+e^{2 	an x})} d

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$\frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) e^{	an x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 	an x}) dy = 0$.चरों को अलग करने पर:$\frac{e^{	an x}}{\cos^2 x(1+e^{2 	an x})} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.चूँकि $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$,हमारे पास है:$\frac{\sec^2 x e^{	an x}}{1+(e^{	an x})^2} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{\sec^2 x e^{	an x}}{1+(e^{	an x})^2} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.मान लीजिए $u = e^{	an x}$,तो $du = e^{	an x} \sec^2 x dx$। अतः:$	an^{-1}(e^{	an x}) + 	an^{-1}(y) = C$.$y(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:$	an^{-1}(e^{	an 0}) + 	an^{-1}(1) = C \implies \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.अतः,$	an^{-1}(e^{	an x}) + 	an^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$.हम जानते हैं कि $	an^{-1}(A) + \cot^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $	an^{-1}(y) = \cot^{-1}(e^{	an x}) = 	an^{-1}(\frac{1}{e^{	an x}})$.इस प्रकार,$y = \frac{1}{e^{	an x}}$.$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{e^{	an(\pi/4)}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1+y^2) e^{\tan x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 \tan x}) dy = 0$ का हल है,जहाँ $y(0)=1$ है। तो $y(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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