मान लीजिए f(x)=4 cos ^3 x+3 sqrt{3} cos ^2 x- | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$,जहाँ $x \in(0, 2 \pi)$ है।सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime}(x) = 4(3 \

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$2$

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(B) दिया गया है $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$,जहाँ $x \in(0, 2 \pi)$ है।सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime}(x) = 4(3 \cos ^2 x)(-\sin x) + 3 \sqrt{3}(2 \cos x)(-\sin x)$$f^{\prime}(x) = -12 \cos ^2 x \sin x - 6 \sqrt{3} \cos x \sin x$$f^{\prime}(x) = -6 \sin x \cos x (2 \cos x + \sqrt{3})$$f^{\prime}(x) = -3 \sin(2x) (2 \cos x + \sqrt{3})$क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:$-3 \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \Rightarrow x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$$2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$$(0, 2\pi)$ में क्रांतिक बिंदु $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ हैं।$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime}(x) $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।$x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi)$ के लिए,$f^{\prime}(x) $x \in (\pi, \frac{7\pi}{6})$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।$x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime}(x) $x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है जब $f^{\prime}(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। यह $x = \frac{5\pi}{6}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।अतः,स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या $2$ है।

मान लीजिए $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$ है। अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $f$ के स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) बिंदुओं की संख्या क्या है?

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अंतराल $[0,1]$ पर,फलन $f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$ अपना अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त करता है?

$20$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करें कि एक भाग और दूसरे भाग के घन का गुणनफल अधिकतम हो। वे दो भाग हैं

फलन $f(x) = \sin x - \cos x$ के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 < x < 2\pi$ है।

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