यदि फलन f(x) = (frac{1}{x})^{2x} जहाँ x 0 क | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = 2x \ln(\frac{1}{x}) = -2x \ln(x)$ प्राप्त होता है।क्रांतिक

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$e^\pi > \pi^e$

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(C) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = 2x \ln(\frac{1}{x}) = -2x \ln(x)$ प्राप्त होता है।क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -2(\ln(x) + 1)$.$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln(x) = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{e}$.चूंकि $x  0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) अतः,सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \leq f(\frac{1}{e})$.$f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{2(1/e)} = e^{2/e}$.किसी भी $x$ के लिए,$(\frac{1}{x})^{2x} \leq e^{2/e}$.$x = \frac{1}{\pi}$ लेने पर,$(\frac{1}{1/\pi})^{2(1/\pi)} \leq e^{2/e}$.$\pi^{2/\pi} \leq e^{2/e}$.दोनों पक्षों की घात $\frac{\pi e}{2}$ लेने पर,$(\pi^{2/\pi})^{\pi e/2} \leq (e^{2/e})^{\pi e/2}$.$\pi^e \leq e^\pi$.चूंकि $\pi 
eq e$,इसलिए $e^\pi > \pi^e$ प्राप्त होता है।

यदि फलन $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$ जहाँ $x > 0$ का अधिकतम मान $x = \frac{1}{e}$ पर प्राप्त होता है,तो:

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