मान लीजिए A=begin{bmatrix} 2 & -1 1 & 1 end{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$।$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करें: $|A - \lambda I| = 0$.$\begin{vmatrix} 2-\lam

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$7$

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(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$।$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करें: $|A - \lambda I| = 0$.$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 3 = 0$.केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 3A + 3I = 0$,अतः $A^2 = 3A - 3I$.हम देखते हैं कि $A^6 = -27I = -3^3 I$.तब $A^{12} = (A^6)^2 = (-3^3 I)^2 = 3^6 I$.$A^{13} = A^{12} \cdot A = 3^6 A = 3^6 \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3^6 & -3^6 \ 3^6 & 3^6 \end{bmatrix}$.$A^{13}$ के विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2 \cdot 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6 = 3^7$ है।दिया गया है कि योग $3^n$ है,इसलिए $3^n = 3^7$,जिसका अर्थ है कि $n = 7$।

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $A^{13}$ के विकर्ण तत्वों का योग $3^{n}$ है,तो $n$ का मान .......... है।

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