JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) बोहर के मॉडल में कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए,$2^{nd}$ कक्षा $(n=2)$ की त्रिज्या $r_1 = a_0 \frac{2^2}{2} = 2a_0$ है।
$Be^{3+}$ $(Z=4)$ के लिए,$4^{th}$ कक्षा $(n=4)$ की त्रिज्या $r_2 = a_0 \frac{4^2}{4} = 4a_0$ है।
अनुपात $\frac{r_2}{r_1} = \frac{4a_0}{2a_0} = 2$ है।
चूँकि अनुपात $x : 1$ है,इसलिए $x = 2$ है।

(C) अनंत रेखा आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_L = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ है और अनंत शीट आवेश के कारण $E_S = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ है।
चूंकि बिंदु $P$ और $Q$ रेखा और शीट के बीच में हैं,इसलिए क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं।
बिंदु $P$ पर $(r_P = \frac{3}{\pi} \ m)$: $E_P = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (3/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{3} - \sigma)$.
बिंदु $Q$ पर $(r_Q = \frac{4}{\pi} \ m)$: $E_Q = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (4/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{4} - \sigma)$.
दिया गया है $2|\sigma| = |\lambda|$,इसलिए हम $\lambda = 2\sigma$ लेते हैं।
$E_P = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{3} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{3})$. परिमाण $|E_P| = \frac{\sigma}{6 \varepsilon_0}$.
$E_Q = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{4} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{2})$. परिमाण $|E_Q| = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}$.
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma / 6 \varepsilon_0}{\sigma / 4 \varepsilon_0} = \frac{4}{6}$.
$\frac{4}{a}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 6$ प्राप्त होता है।

(C) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संचय की दर $P = \frac{dU}{dt} = L I \frac{dI}{dt}$ है।
$R-L$ परिपथ के लिए,समय $t$ पर धारा $I = \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})$ है।
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = \frac{E}{L} e^{-tR/L}$ है।
इन मानों को शक्ति समीकरण में रखने पर:
$P = L \left[ \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L}) \right] \left[ \frac{E}{L} e^{-tR/L} \right] = \frac{E^2}{R} (e^{-tR/L} - e^{-2tR/L})$.
अधिकतम दर ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dt} = \frac{E^2}{R} \left( -\frac{R}{L} e^{-tR/L} + \frac{2R}{L} e^{-2tR/L} \right) = 0$.
इसका अर्थ है $e^{-tR/L} = 2 e^{-2tR/L}$,इसलिए $e^{tR/L} = 2$,या $t = \frac{L}{R} \ln 2$.
इस समय पर,$e^{-tR/L} = \frac{1}{2}$.
इस मान को वापस शक्ति समीकरण में रखने पर:
$P_{max} = \frac{E^2}{R} \left( \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 \right) = \frac{E^2}{R} (\frac{1}{4}) = \frac{E^2}{4R}$.
दिया गया है $R = 25 \, \Omega$,अतः $P_{max} = \frac{E^2}{4 \times 25} = \frac{E^2}{100}$.
इसकी तुलना $\frac{E^a}{2b}$ से करने पर,हमें $a = 2$ और $b = 50$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{50}{2} = 25$.

(C) माना मछली का वेग $v_f = 8\,ms^{-1}$ (ऊपर की ओर) है और पक्षी का वेग $v_b$ (नीचे की ओर) है।
मछली द्वारा देखा गया पक्षी का आभासी वेग $v_{b/f} = 12\,ms^{-1}$ (नीचे की ओर) है।
समतल सतह पर अपवर्तन के कारण आभासी वेग के सूत्र के अनुसार,सघन माध्यम से देखने पर विरल माध्यम में स्थित वस्तु का आभासी वेग $v_{app} = \mu \cdot v_{actual}$ होता है।
यहाँ,पक्षी हवा $(\mu_1 = 1)$ में है और मछली पानी $(\mu_2 = 4/3)$ में है।
पानी की सतह के सापेक्ष पक्षी का वेग $v_b$ है। पानी की सतह के सापेक्ष मछली का वेग $v_f = 8\,ms^{-1}$ है।
मछली के सापेक्ष पक्षी का आभासी वेग $v_{b/f} = v_{b,app} + v_f$ होगा (क्योंकि दोनों विपरीत दिशा में हैं)।
चूंकि पक्षी हवा में है,पानी से देखने पर उसका आभासी वेग $v_{b,app} = \mu \cdot v_b = \frac{4}{3} v_b$ होगा।
दिया गया है $v_{b/f} = 12\,ms^{-1}$,इसलिए:
$12 = \frac{4}{3} v_b + 8$
$12 - 8 = \frac{4}{3} v_b$
$4 = \frac{4}{3} v_b$
$v_b = 3\,ms^{-1}$.

(C) करंट गेन $\beta$ को $I_C$ बनाम $I_B$ ग्राफ के ढाल (slope) के रूप में परिभाषित किया गया है: $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$.
ग्राफ से,दो बिंदु $(100\,\mu A, 10\,mA)$ और $(200\,\mu A, 20\,mA)$ लेने पर:
$\beta = \frac{(20 - 10) \times 10^{-3} \, A}{(200 - 100) \times 10^{-6} \, A} = \frac{10 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-6}} = 100$.
पावर गेन $A_P$ का सूत्र $A_P = \beta^2 \times \frac{R_C}{R_B}$ है।
मान रखने पर: $A_P = (100)^2 \times \frac{1 \times 10^3 \, \Omega}{10 \times 10^3 \, \Omega} = 10000 \times 0.1 = 1000 = 10^3$.
इसे $10^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि $30$ से $170$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए, प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग स्थिर (लगभग $8 \text{ MeV}$ प्रति न्यूक्लियॉन) रहती है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि नाभिकीय बल लघु-परास का होता है, जिसका अर्थ है कि एक न्यूक्लियॉन केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ ही अन्योन्यक्रिया करता है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है, एक दिए गए न्यूक्लियॉन के लिए पड़ोसियों की संख्या प्रभावी रूप से स्थिर रहती है, जिससे प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कुल न्यूक्लियॉन संख्या से स्वतंत्र हो जाती है।
अतः, अभिकथन और कारण दोनों सत्य हैं, और नाभिकीय बल की लघु-परास प्रकृति ही प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के संतृप्ति का कारण है।

(D) $NAND$ गेट केवल तभी लो आउटपुट $(0)$ देता है जब दोनों इनपुट हाई $(1)$ हों। अन्यथा, यह हाई आउटपुट $(1)$ देता है। $NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A \cdot B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
विभिन्न समय अंतरालों पर $A$ और $B$ के लिए इनपुट वेवफॉर्म का विश्लेषण करने पर:
$1$. पहले अंतराल के लिए, $A=1, B=1$, इसलिए $Y=0$ है।
$2$. दूसरे अंतराल के लिए, $A=0, B=0$, इसलिए $Y=1$ है।
$3$. तीसरे अंतराल के लिए, $A=0, B=1$, इसलिए $Y=1$ है।
$4$. चौथे अंतराल के लिए, $A=1, B=0$, इसलिए $Y=1$ है।
$5$. पांचवें अंतराल के लिए, $A=1, B=1$, इसलिए $Y=0$ है।
$6$. छठे अंतराल के लिए, $A=0, B=0$, इसलिए $Y=1$ है।
$7$. सातवें अंतराल के लिए, $A=0, B=1$, इसलिए $Y=1$ है।
इस अनुक्रम $(0, 1, 1, 1, 0, 1, 1)$ की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, चित्र $D$ में दर्शाया गया वेवफॉर्म इस आउटपुट से मेल खाता है।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
धारा $I$,$3 \text{ V}$ की बैटरी और श्रेणीक्रम में जुड़े $6 \,\Omega$ और $4 \,\Omega$ के प्रतिरोधकों वाले बाहरी लूप से प्रवाहित होती है।
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{6 \,\Omega + 4 \,\Omega} = \frac{3}{10} \text{ A} = 0.3 \text{ A}$.
$6 \,\Omega$ के प्रतिरोधक (जो संधारित्र शाखा के समानांतर है) के सिरों पर विभवांतर है:
$V_{cap} = I \times R = 0.3 \text{ A} \times 6 \,\Omega = 1.8 \text{ V}$.
चूंकि संधारित्र इस $6 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $1.8 \text{ V}$ है।
संधारित्र में संचित आवेश $q$ इस प्रकार है:
$q = C \times V_{cap} = 4 \,\mu\text{F} \times 1.8 \text{ V} = 7.2 \,\mu\text{C}$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ की दिशा में होती है।
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ (ऋणात्मक $z$-अक्ष के अनुदिश)।
चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{i}$ (धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश)।
संचरण की दिशा $\hat{k}_{prop} = \hat{E} \times \hat{B} = (-\hat{k}) \times (\hat{i})$ होगी।
इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$):
$(-\hat{k}) \times \hat{i} = -(\hat{k} \times \hat{i}) = -\hat{j}$.
अतः,संचरण की दिशा ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश है।

(A) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -e$ है। वेग सदिश $\overrightarrow{v} = v\hat{i}$ है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = -B\hat{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\overrightarrow{F} = -e(v\hat{i} \times -B\hat{k}) = evB(\hat{i} \times \hat{k}) = evB(-\hat{j})$.
अतः,बल ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश कार्य करता है ($B$ सही है)।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,यह अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार पथ पर गति करता है ($E$ सही है)।
इसलिए,सही विकल्प $B$ और $E$ हैं।

(A) कथन $I$ गलत है क्योंकि $AC$ परिपथ में विद्युत अनुनाद के लिए एक प्रेरक $(L)$ और एक संधारित्र $(C)$ दोनों की उपस्थिति आवश्यक है ताकि प्रेरकत्व प्रतिघात $(X_L = \omega L)$ और धारिता प्रतिघात $(X_C = 1/\omega C)$ एक-दूसरे को रद्द कर सकें,जिसके परिणामस्वरूप कला कोण (phase angle) $\phi = 0$ हो जाता है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि एक शुद्ध प्रेरक या एक शुद्ध संधारित्र के लिए वोल्टेज और धारा के बीच कला अंतर $\pi/2$ होता है। पावर फैक्टर $\cos(\pi/2) = 0$ होता है। इसलिए,एक शुद्ध प्रेरक या शुद्ध संधारित्र द्वारा खपत की गई औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = 0$ होती है। वे उच्च शक्ति की खपत नहीं करते हैं; वे शून्य शक्ति की खपत करते हैं।
चूंकि दोनों कथन गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) किसी एंटेना द्वारा उच्च दक्षता के साथ विद्युत चुम्बकीय संकेतों को प्रसारित करने के लिए,इसकी लंबाई सिग्नल की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होनी चाहिए। विशेष रूप से,एक एंटेना के प्रभावी रेडिएटर के रूप में कार्य करने के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई $\frac{\lambda}{4}$ होती है,जिसे क्वार्टर-वेव एंटेना के रूप में जाना जाता है।

(A) कथन $I$: फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ द्वारा दी जाती है। पराबैंगनी $(UV)$ किरणों की आवृत्ति इन्फ्रारेड किरणों और माइक्रोवेव की तुलना में अधिक होती है। चूंकि $E = hf$ है,इसलिए $UV$ किरणें प्रति फोटॉन अधिक ऊर्जा ले जाती हैं,जो उन्हें इलेक्ट्रॉनों को उत्सर्जित करने के लिए धातु के कार्य फलन (work function) को पार करने में अधिक प्रभावी बनाती हैं। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{\max} = hf - \phi$,जहाँ $hf$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi = hf_0$ कार्य फलन है। यह समीकरण दर्शाता है कि $KE_{\max}$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $f$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,न कि व्युत्क्रमानुपाती रूप से। अतः,कथन $II$ असत्य है।

(B) माना कुल आवेश $q = 10\,\mu C$ को दो भागों $x$ और $(q - x)$ में विभाजित किया गया है।
$r$ दूरी पर उनके बीच लगने वाला स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{K x(q - x)}{r^2}$
अधिकतम बल के लिए,हम $F$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dx} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dx} (qx - x^2) = 0$
$\frac{K}{r^2} (q - 2x) = 0$
चूंकि $\frac{K}{r^2} \neq 0$,इसलिए $q - 2x = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{q}{2}$।
दिया गया है $q = 10\,\mu C$,तो दोनों भाग हैं:
$x = \frac{10\,\mu C}{2} = 5\,\mu C$
$(q - x) = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$.
अतः,दोनों आवेश $5\,\mu C$ और $5\,\mu C$ हैं।

(A) दिया गया है कि दो झिरियों से आने वाले प्रकाश के आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{1}$ है।
तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात का सूत्र है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $9:1$ है।

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f(m)}$ द्वारा दी जाती है।
मूल लेंस के लिए,$f = 10\,cm = 0.1\,m$,इसलिए शक्ति $P = \frac{1}{0.1} = 10\,D$ है।
जब एक लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी मूल फोकस दूरी की दोगुनी हो जाती है $(f' = 2f = 20\,cm = 0.2\,m)$।
प्रत्येक नए लेंस की शक्ति $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0.2} = 5\,D$ है।

(B) परमाणु द्वारा अवशोषित शुद्ध ऊर्जा,अवशोषित फोटॉन और उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा के बीच का अंतर है।
$E_{\text{net}} = E_{\text{absorbed}} - E_{\text{emitted}} = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E_{\text{net}} = (6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8) \left( \frac{1}{500 \times 10^{-9}} - \frac{1}{600 \times 10^{-9}} \right)$
$E_{\text{net}} = 19.8 \times 10^{-26} \left( \frac{600 - 500}{300000 \times 10^{-18}} \right) = 19.8 \times 10^{-26} \left( \frac{100}{3 \times 10^{-13}} \right)$
$E_{\text{net}} = 19.8 \times 10^{-26} \times 33.33 \times 10^{13} = 6.6 \times 10^{-20}\,J$
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19}\,J/eV$ से विभाजित करें:
$E_{\text{net}} = \frac{6.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.125 \times 10^{-1}\,eV$
$E_{\text{net}} = 4125 \times 10^{-4}\,eV$
इसे $n \times 10^{-4}\,eV$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 4125$ प्राप्त होता है।

(B) माना आवेश $q_1 = q$ ($x=0$ पर),$q_2 = -2q$ ($x=\frac{3}{4}R$ पर) और $q_3 = 2q$ ($x=R$ पर) हैं।
$q_1$ के कारण $q_2$ पर बल $F_{21} = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{21}^2} = \frac{k |q(-2q)|}{(\frac{3}{4}R)^2} = \frac{2kq^2}{\frac{9}{16}R^2} = \frac{32kq^2}{9R^2}$ (मूल बिंदु की ओर,अर्थात $-x$ दिशा में)।
$q_3$ के कारण $q_2$ पर बल $F_{23} = \frac{k |q_2 q_3|}{r_{23}^2} = \frac{k |(-2q)(2q)|}{(R - \frac{3}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{(\frac{1}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{\frac{1}{16}R^2} = \frac{64kq^2}{R^2}$ ($x=R$ की ओर,अर्थात $+x$ दिशा में)।
$-2q$ पर कुल बल $F_{net} = F_{23} - F_{21} = \frac{64kq^2}{R^2} - \frac{32kq^2}{9R^2} = \frac{576kq^2 - 32kq^2}{9R^2} = \frac{544kq^2}{9R^2}$ है।
मान रखने पर $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q = 2 \times 10^{-6} \, C$,और $R = 0.02 \, m$:
$F_{net} = \frac{544 \times 9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})^2}{9 \times (0.02)^2} = \frac{544 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-4}} = 544 \times 10^1 = 5440 \, N$।

(B) परिपथ में $12\,V$ के स्रोत के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाएँ हैं।
शाखा $1$ में $3\,\Omega$ और $9\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा में धारा $I_1 = \frac{12}{3+9} = 1\,A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $C$ का विभवांतर $V_A - V_C = I_1 \times 3 = 1 \times 3 = 3\,V$ है।
शाखा $2$ में $4\,\Omega$ और $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा में धारा $I_2 = \frac{12}{4+2} = 2\,A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $D$ का विभवांतर $V_A - V_D = I_2 \times 4 = 2 \times 4 = 8\,V$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_{CD} = |(V_A - V_D) - (V_A - V_C)| = |8 - 3| = 5\,V$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 6\,\mu F \times (5\,V)^2 = 3 \times 25 = 75\,\mu J$ है।
अतः,$n = 75$।

(B) चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = N A (B_2 - B_1)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $N = 100$,$A = 24\,cm^2 = 24 \times 10^{-4}\,m^2$,$R = 12\,\Omega$,$B_1 = 1.5\,T$,और $B_2 = -1.5\,T$.
अतः,$\Delta \phi = 100 \times 24 \times 10^{-4} \times (-1.5 - 1.5) = 0.24 \times (-3) = -0.72\,Wb$.
प्रेरित आवेश $Q = \frac{|\Delta \phi|}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = \frac{0.72}{12} = 0.06\,C$.
$mC$ में बदलने पर: $0.06\,C = 60\,mC$.

(B) दिया गया है:
तार का द्रव्यमान,$m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg$
तार की लंबाई,$\ell = 50\,cm = 50 \times 10^{-2}\,m = 0.5\,m$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.40\,T$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\,ms^{-2}$
सहायक तारों में तनाव को हटाने के लिए,तार पर ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल तार के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।
चुंबकीय बल,$F_m = I\ell B$
तार का भार,$W = mg$
संतुलन के लिए,$F_m = W$
$I\ell B = mg$
मान रखने पर:
$I \times 0.5 \times 0.4 = 40 \times 10^{-3} \times 10$
$I \times 0.2 = 0.4$
$I = \frac{0.4}{0.2} = 2\,A$
अतः,आवश्यक धारा का परिमाण $2\,A$ है।

(C) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके निरक्षीय तल पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{kp}{r^3}$
जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है और $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि $k$ और $p$ नियतांक हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$,$\frac{1}{r^3}$ के समानुपाती होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र दूरी के साथ $\frac{1}{r^3}$ के रूप में बदलता है।

(D) ट्रांसमिटिंग एंटीना की ऊँचाई $h_t$ और रिसीविंग एंटीना की ऊँचाई $h_r$ के बीच अधिकतम लाइन-ऑफ-साइट दूरी $d_{\max}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d_{\max} = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$
दिया गया है:
$R = 6400\,km = 64 \times 10^5\,m$
$h_t = 180\,m$
$h_r = 245\,m$
मान रखने पर:
$d_{\max} = \sqrt{2 \times 64 \times 10^5 \times 180} + \sqrt{2 \times 64 \times 10^5 \times 245}$
$d_{\max} = \sqrt{128 \times 180 \times 10^5} + \sqrt{128 \times 245 \times 10^5}$
$d_{\max} = \sqrt{23040 \times 10^5} + \sqrt{31360 \times 10^5}$
$d_{\max} = \sqrt{2304 \times 10^6} + \sqrt{3136 \times 10^6}$
$d_{\max} = (48 \times 10^3) + (56 \times 10^3)\,m$
$d_{\max} = 48\,km + 56\,km = 104\,km$.

(C) अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
कुल समय $t = 15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे नाभिकों का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।
क्षयित हुए नमूने का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।

(C) $E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
जब गतिज ऊर्जा $E' = \frac{E}{4}$ हो जाती है,तो नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{E}{4})}}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mE}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mE}} = 2 \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)$।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$\lambda' = 2\lambda$।

(C) वोल्टमीटर के लिए:
श्रेणी में जोड़े जाने वाले प्रतिरोध $R$ का मान $R = \frac{V}{I_g} - G$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 50\,V$,$I_g = 1\,mA = 10^{-3}\,A$,और $G = 54\,\Omega$ दिया गया है।
$R = \frac{50}{10^{-3}} - 54 = 50000 - 54 = 49946\,\Omega \approx 50\,k\Omega$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
एमीटर के लिए:
समांतर में जोड़े जाने वाले शंट प्रतिरोध $r$ का मान $r = \frac{I_g G}{I - I_g}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I = 10\,mA = 10^{-2}\,A$,$I_g = 1\,mA = 10^{-3}\,A$,और $G = 54\,\Omega$ दिया गया है।
$r = \frac{10^{-3} \times 54}{10 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}} = \frac{54 \times 10^{-3}}{9 \times 10^{-3}} = 6\,\Omega$.
अतः,कथन $(C)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ है।

(B) कथन $I$ के लिए: श्रेणी संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी प्रतिरोध धनात्मक होते हैं,इसलिए $R_{eq}$ संयोजन में मौजूद किसी भी व्यक्तिगत प्रतिरोध से हमेशा बड़ा होता है। अतः,कथन $I$ गलत है।
कथन $II$ के लिए: पदार्थ की प्रतिरोधकता तापमान पर निर्भर करती है। धातुओं के लिए,तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता बढ़ती है,जो संबंध $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ के अनुसार होती है। अतः,कथन $II$ गलत है।
निष्कर्ष: कथन $I$ और कथन $II$ दोनों गलत हैं।

(D) परिपथ में प्रारंभिक धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V}{R} = \frac{12\,V}{6\,\Omega} = 2\,A$.
जब स्विच खोला जाता है,तो धारा $1\,ms = 10^{-3}\,s$ के समयांतराल में $2\,A$ से घटकर $0\,A$ हो जाती है।
प्रेरित emf का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|\varepsilon| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $20 = L \times \frac{2 - 0}{10^{-3}}$.
$20 = L \times \frac{2}{10^{-3}}$.
$20 = L \times 2000$.
$L = \frac{20}{2000} = 0.01\,H$.
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर: $L = 0.01 \times 1000\,mH = 10\,mH$.

(B) दी गई विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए तरंगदैर्ध्य सीमाएँ इस प्रकार हैं:
$(A)$ माइक्रोवेव: तरंगदैर्ध्य सीमा $0.1\,m$ से $1\,mm$ है (जो $(IV)$ से मेल खाती है)।
$(B)$ पराबैंगनी: तरंगदैर्ध्य सीमा $400\,nm$ से $1\,nm$ है (जो $(I)$ से मेल खाती है)।
$(C)$ $X$-किरण: तरंगदैर्ध्य सीमा $1\,nm$ से $10^{-3}\,nm$ है (जो $(II)$ से मेल खाती है)।
$(D)$ अवरक्त: तरंगदैर्ध्य सीमा $1\,mm$ से $700\,nm$ है (जो $(III)$ से मेल खाती है)।
अतः,सही मिलान $(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(III)$ है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$a \sin \theta = n \lambda$
प्रथम निम्निष्ठ के लिए, $n = 1$, अतः समीकरण होगा:
$a \sin \theta = \lambda$
दिया गया है:
$\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$
$\theta = 30^{\circ}$
समीकरण में मान रखने पर:
$a \sin 30^{\circ} = 600 \times 10^{-9} \, m$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$a \times 0.5 = 600 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1200 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1.2 \times 10^{-6} \, m$
$a = 1.2 \, \mu m$

(A) दिए गए परिपथ में,डायोड $D_1$ और $D_3$ अग्र अभिनति (forward bias) में जुड़े हैं,जबकि डायोड $D_2$ पश्च अभिनति (reverse bias) में जुड़ा है।
इसलिए,$D_2$ वाली शाखा एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करती है।
परिपथ $10\,V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं में सरल हो जाता है।
पहली शाखा में $D_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $10\,\Omega$ का प्रतिरोध और एक अन्य $10\,\Omega$ का प्रतिरोध है,जिससे कुल प्रतिरोध $R_1 = 10\,\Omega + 10\,\Omega = 20\,\Omega$ प्राप्त होता है।
दूसरी शाखा में $D_3$ के साथ श्रेणीक्रम में $10\,\Omega$ का प्रतिरोध है,जिससे प्रतिरोध $R_2 = 10\,\Omega$ प्राप्त होता है।
इन दो समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20}$
$R_{eq} = \frac{20}{3}\,\Omega$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,बैटरी से प्रवाहित धारा $(I)$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{20/3} = \frac{30}{20} = 1.5\,A$.

(A) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$\ell = 20\,cm = 0.2\,m$
कोणीय वेग,$\omega = 210\,rpm = 210 \times \frac{2\pi}{60}\,rad/s = 7\pi\,rad/s$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.2\,T$
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में घूमने वाली छड़ में प्रेरित गतिकीय emf का सूत्र है:
$\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (7\pi) \times (0.2)^2$
$\varepsilon = 0.1 \times 7 \times \frac{22}{7} \times 0.04$
$\varepsilon = 0.1 \times 22 \times 0.04$
$\varepsilon = 0.088\,V$
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर:
$\varepsilon = 0.088 \times 1000\,mV = 88\,mV$

(A) यह परिपथ $9\,V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (बाईं ओर) का कुल प्रतिरोध $2\,\Omega + 4\,\Omega = 6\,\Omega$ है। इस शाखा में धारा $I_1 = \frac{9\,V}{6\,\Omega} = 1.5\,A$ है।
बाईं ओर के जंक्शन (मान लीजिए $C$) के सापेक्ष बिंदु $A$ पर विभव $V_C - V_A = I_1 \times 2\,\Omega = 1.5 \times 2 = 3\,V$ है।
शाखा $2$ (दाईं ओर) का कुल प्रतिरोध $4\,\Omega + 2\,\Omega = 6\,\Omega$ है। इस शाखा में धारा $I_2 = \frac{9\,V}{6\,\Omega} = 1.5\,A$ है।
बाईं ओर के जंक्शन $C$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $V_C - V_B = I_1 \times 4\,\Omega = 1.5 \times 4 = 6\,V$ है।
अब,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $|V_A - V_B| = |(V_C - 3) - (V_C - 6)| = |6 - 3| = 3\,V$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर $n=1$ (मूल अवस्था),$n=2$ (प्रथम उत्तेजित अवस्था),$n=3$ (द्वितीय उत्तेजित अवस्था) और $n=4$ (तृतीय उत्तेजित अवस्था) द्वारा दिए जाते हैं।
आकृति से,$A$,$n=2$ के अनुरूप है,$B$,$n=3$ के अनुरूप है और $C$,$n=4$ के अनुरूप है।
$n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के लिए तरंग दैर्ध्य $\lambda$,रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$\lambda_1$ संक्रमण के लिए ($n=3$ से $n=2$): $\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_2$ संक्रमण के लिए ($n=4$ से $n=3$): $\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ की गणना करें:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(7/144)}{R(5/36)} = \frac{7}{144} \times \frac{36}{5} = \frac{7}{4 \times 5} = \frac{7}{20}$.
दिया गया अनुपात $\frac{7}{4n}$ है,इसलिए $\frac{7}{20} = \frac{7}{4n}$,जिसका अर्थ है कि $4n = 20$,इसलिए $n = 5$.

(A) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((D_{\min} + A)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(30^{\circ})}$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 1/2$,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{1/2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$(D_{\min} + 60^{\circ})/2 = 45^{\circ}$
$D_{\min} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$
$D_{\min} = 30^{\circ}$.

(D) $I$ धारा ले जाने वाले एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ गति से घूमने वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$।
दिए गए मान: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 6.76 \times 10^6 \, m/s$,$r = 0.52 \times 10^{-10} \, m$,और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$।
$B = 10^{-7} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 6.76 \times 10^6}{(0.52 \times 10^{-10})^2}$।
$B = 10^{-7} \times \frac{10.816 \times 10^{-13}}{0.2704 \times 10^{-20}} = 10^{-7} \times 40 \times 10^7 = 40 \, T$।

(A) संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर समान है,$V = 10\,V$.
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
$C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1 V = 2\,\mu F \times 10\,V = 20\,\mu C$ है।
$C_2$ पर आवेश $Q_2 = C_2 V = x\,\mu F \times 10\,V = 10x\,\mu C$ है।
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V = 3\,\mu F \times 10\,V = 30\,\mu C$ है।
संयोजन में संचित कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ है।
दिया गया है कि $Q_{total} = 100\,\mu C$,इसलिए:
$20 + 10x + 30 = 100$
$50 + 10x = 100$
$10x = 50$
$x = 5$.