मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=1+xe^{y-x}$ का हल है,जहाँ $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ और $y(0)=0$ है। तो,$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ के लिए $y(x)$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $b$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(0)=1$ है। यदि $f$ का अवकलज $f^{\prime}$ समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ को संतुष्ट करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $b>0$ है,तो $f$ एक वर्धमान फलन है
$(B)$ यदि $b < 0$ है,तो $f$ एक ह्रासमान फलन है
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ सभी $x \in R$ के लिए
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ सभी $x \in R$ के लिए

वक्र $y=y(x)$ पर किसी भी बिंदु $(x, y), x > 0, y > 0$ पर अभिलंब की ढाल $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ द्वारा दी गई है। यदि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,तो $e \cdot y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह वक्र जो अवकल समीकरण $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ को संतुष्ट करता है,$(1, 0)$ से गुजरता है और वक्र $x^2 + 3y^2 = 3$ को $\theta$ कोण पर काटता है। तो $\frac{2\theta}{\pi} =$

यदि $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S = (0, 2 \pi) - \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right\}$ है। मान लीजिए $y = y(x)$,$x \in S$,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ का हल वक्र है,जहाँ $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ है। यदि वक्र $y = y(x)$ और वक्र $y = \sqrt{2} \sin x$ के सभी प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज (abscissas) का योग $\frac{k \pi}{12}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए: