माना कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ है। तो सदिश गुणनफल $(\vec{a}+\vec{b}) \times((\vec{a} \times((\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b})) \times \vec{b})$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ और $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ है,तो $(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{x}, \vec{y}$ और $\vec{z}$ तीन सदिश हैं,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $\sqrt{2}$ है और उनके प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{a}$ एक शून्येतर सदिश है जो $\vec{x}$ और $\vec{y} \times \vec{z}$ के लंबवत है और $\vec{b}$ एक शून्येतर सदिश है जो $\vec{y}$ और $\vec{z} \times \vec{x}$ के लंबवत है,तो
$(A)$ $\vec{b}=(\vec{b} \cdot \vec{z})(\vec{z}-\vec{x})$
$(B)$ $\vec{a}=(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{y}-\vec{z})$
$(C)$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=-(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{b} \cdot \vec{z})$
$(D)$ $\vec{a}=(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{z}-\vec{y})$

सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ लंबवत नहीं हैं और $\overline{c}$ तथा $\overline{d}$ दो ऐसे सदिश हैं जो $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ और $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$ को संतुष्ट करते हैं,तो सदिश $\overline{d}$ किसके बराबर है?

यदि $a = i + j - 2k$ है,तो $\sum \{(a \times i) \times j\}^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ क्रमशः $\sqrt{3}, 1, 2$ परिमाण वाले तीन सदिश हैं,इस प्रकार कि $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + 3\vec{b} = \vec{0}$। यदि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\cos^2 \theta = $