माना $F:[3,5] \rightarrow R$ अंतराल $(3,5)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $F(x)=e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. यदि $F^{\prime}(4)=\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान $....$ है।

माना अवकल समीकरण $(\log_e(\cos y))^2 \cos y dx - (1+3x \log_e(\cos y)) \sin y dy = 0$ का हल वक्र $x=x(y), 0 < y < \frac{\pi}{2}$,$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \log_e 2}$ को संतुष्ट करता है। यदि $x(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\log_e m - \log_e n}$,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $mn$ का मान $.....$ है।

अवकल समीकरण $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx}+(3x^{2}y-y-4x^{3})=0, x>1$ का हल है,जहाँ $y(2)=-2$ है। तो $y(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।