मान लीजिए $S=\{n \in N \mid \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \forall a, b, c, d \in R \}$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। तो समुच्चय $S$ में $2$-अंकीय संख्याओं की संख्या $......$ है।

यदि $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ और $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(जहाँ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ का मान क्या है?

मान लीजिए $a = \text{Minimum} \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$. तो $\sum_{r = 0}^n a^r \cdot b^{n - r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]^{\left|\begin{array}{cc} 2022 & 2024 \\ 2021 & 2023 \end{array}\right|}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ और $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ दोनों लंबकोणीय आव्यूह (orthogonal matrices) हैं,तो:

मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ क्रम $2$ का एक वर्ग आव्यूह है जिसके अवयव $0$ या $1$ हैं। मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। तो प्रायिकता $P(E)$ है: