$x$ का एक संभावित मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के विस्तार में $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में नौवां पद $180$ के बराबर है।

यदि $C_j$,${}^nC_j$ को दर्शाता है,तो $\frac{C_1}{C_0} + \frac{2 \times C_2}{C_1} + \frac{3 \times C_3}{C_2} + \ldots + \frac{n \times C_n}{C_{n-1}} = $

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के विस्तार में,यदि $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{1}$ है और $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{2}$ है,तो अनुपात $\ell_{2} : \ell_{1}$ बराबर है

यदि $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$ वें और $(r+1)$ वें पदों के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${\left( {x^2 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में मध्य पद $924x^6$ है,तो $n = $

यदि $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में $x^r$ $(r=0, 1, 2, \ldots, 2n)$ के गुणांकों का योग $128$ है,तो $\sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = $