फलन f: A rightarrow B और g: B rightarrow C (A | vedclass

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Question

(C) यह दिया गया है कि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व है,इसलिए संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।$1$.

Vedclass · Accepted Answer

$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है

Vedclass · Answer

(C) यह दिया गया है कि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व है,इसलिए संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।$1$. $g \circ f$ को एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f$ एकैकी नहीं है,तो $A$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद होंगे कि $f(x_1) = f(x_2)$,जिसका अर्थ है $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जो $g \circ f$ के एकैकी गुण का खंडन करता है।$2$. $g \circ f$ को आच्छादक होने के लिए,$g$ का आच्छादक होना आवश्यक है। यदि $g$ आच्छादक नहीं है,तो $C$ में ऐसा कोई $z$ मौजूद होगा जिसके लिए $B$ में कोई $y$ न हो ताकि $g(y) = z$,जिसका अर्थ है कि $A$ में कोई $x$ नहीं होगा ताकि $g(f(x)) = z$,जो $g \circ f$ के आच्छादक गुण का खंडन करता है।अतः,$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

फलन $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ $(A, B, C \subseteq \mathbb{R})$ पर विचार करें,ताकि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व हो। तो:

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यदि फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (3 - x^5)^{\frac{1}{5}}$ द्वारा परिभाषित है,तो $(f \circ f)(x) = $ . . . . . . .

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो वास्तविक मान वाले फलन इस प्रकार हैं कि $f(x)=3x-2$ और $g(x)=x^2+2$,तो $[(g \circ f)+(f \circ g)](x) = $

यदि $f(x)=2x^{2}+bx+c$,$f(0)=3$ और $f(2)=1$ है,तो $(f \circ f)(1)=$

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