क्षेत्र A = {(x,y) : frac{y^2}{2} le x le y + | vedclass

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Question

(B) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{y^2}{2}$ और रेखा $x = y + 4$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ रखें।$y^2

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$18$

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(B) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{y^2}{2}$ और रेखा $x = y + 4$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ रखें।$y^2 = 2y + 8 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0$.$(y - 4)(y + 2) = 0$, अतः $y = 4$ और $y = -2$.$y = 4$ के लिए, $x = 8$ और $y = -2$ के लिए, $x = 2$.क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{4} (x_{	ext{right}} - x_{	ext{left}}) dy$ द्वारा दिया जाता है।$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$.$A = \left[ \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6} ight]_{-2}^{4}$.$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$.$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3} = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ $sq. units$.

क्षेत्र $A = \{(x,y) : \frac{y^2}{2} \le x \le y + 4\}$ का क्षेत्रफल ($sq. units$ में) ज्ञात कीजिए।

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