वृतों $x ^{2}+ y ^{2}=4$ तथा $x ^{2}+ y ^{2}+6 x +8 y -24=0$ की उभयनिष्ट स्पर्श रेखा निम्न में से किस बिन्दु से होकर जाती है ?

यदि वृत्त $x^2+y^2+6 x+8 y+16=0$ तथा $x ^2+ y ^2+2(3-\sqrt{3}) x + x +2(4-\sqrt{6}) y$ $= k +6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}, k > 0$ बिंदु $P (\alpha, \beta)$ पर अंत: स्पर्श करते हैं, तो $(\alpha+\sqrt{3})^2+(\beta+\sqrt{6})^2$ बराबर है $..............$

वृत्तों ${x^2} + {y^2} = 4$ और ${x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 24$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है

माना रेखा $y=x+1$ में, वृत्त $c_1: x^2+y^2-2 x-6 y+$ $\alpha=0$ का दर्पण प्रतिबंब $c_2: 5 x^2+5 y^2+10 gx +$ $10 fy +38=0$ है। यदि वृत्त $c _2$ की त्रिज्या $r$ है, तो $\alpha+6 r^2$ बराबर है $...........।$

$\lambda$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय, जिनके लिए वृत्तों $x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+6=0$ तथा $x^{2}+y^{2}-10 x-10 y+\lambda=0$ पर ठीक दो उभयनिष्ठ स्पशरेखाएँ खींची जा सकती हों, का जो अंतराल है, वह है

वृत्तों $x^2+y^2-18 x-15 y+131=0$ तथा $\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2-6 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}-7=0$ के उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है :