int_{0}^{2pi} [sin 2x(1 + cos 3x)] ,dx का मान | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$.गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \,dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं

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$-\pi$

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(D) माना $I = \int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$.गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \,dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि फलन $f(x) = [\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ के लिए $f(2\pi - x) = [\sin(4\pi - 2x)(1 + \cos(6\pi - 3x))] = [-\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ होता है।गुणधर्म $\int_{0}^{a} [f(x) + f(a-x)] \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि किसी भी $x$ के लिए जहाँ $\sin 2x(1 + \cos 3x)$ पूर्णांक नहीं है,$[t] + [-t] = -1$ होता है।चूँकि फलन अंतराल $[0, 2\pi]$ में लगभग हर जगह पूर्णांक नहीं है,इसलिए:$2I = \int_{0}^{2\pi} ( [\sin 2x(1 + \cos 3x)] + [-\sin 2x(1 + \cos 3x)] ) \,dx$$2I = \int_{0}^{2\pi} -1 \,dx = -2\pi$.अतः,$I = -\pi$.

$\int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

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