वह न्यूनतम प्राकृत संख्या $n$, जिसके लिए $\left( x ^{2}+\frac{1}{ x ^{3}}\right)^{ n }$ के प्रसार में $x$ का गुणांक ${ }^{ n } C _{23}$ है

${\left( {{y^2} + \frac{c}{y}} \right)^5}$ के विस्तार में $y$ का गुणांक होगा

$x$ के उन वास्तविक मानों जिनके लिये $\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{x}\right)^{8}$ के द्विपद प्रसार का मध्य पद $5670$ है, का योग है 

$x$ के घटते घात $(decreasing\,powers)$ में $\left(x^{1 / 2}+\frac{1}{2 x^{1 / 4}}\right)^n$ का प्रसार $(expansion)$ लिखिए. मान लें कि पहले तीन पदों के गुणांकों $(coefficients)$ से अंकगणितीय शंढी $(arithmetic \,progression)$ बनती है। तब प्रसार मे $s$ के पूर्णांक घात $(integer\,powers)$ वालें पदों की संख्य है - -

$\left(2^{1 / 3}+3^{1 / 4}\right)^{12}$ के प्रसार में, उन सभी पदों, जो परिमेय संख्याएँ हैं, का योगफल है

$\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{6}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए।