यदि क्षेत्र {(x,y): y^2 le 4x, x + y le 1, x | vedclass

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Question

(B) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $x + y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 1 - y$ को $y^2 = 4

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$6$

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(B) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $x + y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 1 - y$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:$y^2 = 4(1 - y) \implies y^2 + 4y - 4 = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.चूंकि $y \ge 0$,इसलिए $y = 2\sqrt{2} - 2$. तब $x = 1 - y = 1 - (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2}$.क्षेत्रफल $\int_{0}^{3-2\sqrt{2}} 2\sqrt{x} dx + \int_{3-2\sqrt{2}}^{1} (1 - x) dx$ द्वारा दिया जाता है।$= \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3-2\sqrt{2}} + \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{3-2\sqrt{2}}^{1}$.$= \frac{4}{3} (3-2\sqrt{2})^{3/2} + \left( (1 - 1/2) - ((3-2\sqrt{2}) - \frac{(3-2\sqrt{2})^2}{2}) \right)$.यहाँ $(3-2\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)^2$ है,इसलिए $(3-2\sqrt{2})^{3/2} = (\sqrt{2}-1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$.क्षेत्रफल $= \frac{8}{3}\sqrt{2} - \frac{10}{3}$.अतः,$a = \frac{8}{3}$ और $b = -\frac{10}{3}$.$a - b = \frac{8}{3} - (-\frac{10}{3}) = \frac{18}{3} = 6$.

यदि क्षेत्र $\{(x,y): y^2 \le 4x, x + y \le 1, x \ge 0, y \ge 0\}$ का क्षेत्रफल ($sq. units$ में) $a\sqrt{2} + b$ है,तो $a - b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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