यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 10x + 12y + c = 0$ में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $27\sqrt{3} \text{ वर्ग इकाई}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $G$ त्रिज्या $R>0$ वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ समान त्रिज्या $r>0$ वाले $n$ वृत्त हैं। मान लीजिए कि $n$ वृत्तों $G_1, G_2, \ldots, G_n$ में से प्रत्येक वृत्त $G$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। साथ ही,$i=1,2, \ldots, n-1$ के लिए,वृत्त $G_i$ वृत्त $G_{i+1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,और $G_n$ वृत्त $G_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $n=4$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ यदि $n=5$ है,तो $r < R$
$(C)$ यदि $n=8$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ यदि $n=12$ है,तो $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$

रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि:

यदि दो वृत्त $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ और $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो

यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ की त्रिज्या $r$ है,तो यह दोनों अक्षों को स्पर्श करेगा यदि:

मान लीजिए $XY$ केंद्र $O$ वाले एक अर्धवृत्त का व्यास है। मान लीजिए $A$ अर्धवृत्त पर एक चर बिंदु है और $B$ अर्धवृत्त पर एक अन्य बिंदु है ताकि $AB$,$XY$ के समानांतर हो। $\angle BOY$ का वह मान जिसके लिए $\triangle AOB$ की अंतःत्रिज्या अधिकतम है,है