धनात्मक पदों वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का | vedclass

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Question

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है। दोनों पक्षों का घन करने पर,$\frac{a^3}{(1-r)^3}

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$\frac{2}{3}$

Vedclass · Answer

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है। दोनों पक्षों का घन करने पर,$\frac{a^3}{(1-r)^3} = 27 \quad (1)$। पदों के घनों की श्रेणी $a^3, a^3r^3, a^3r^6, \dots$ है,जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है। इस श्रेणी का योग $\frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19} \quad (2)$ है। समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$ प्राप्त होता है। $1-r^3 = (1-r)(1+r+r^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$ मिलता है। $1+r+r^2 = 19(1-2r+r^2) \implies 18r^2 - 39r + 18 = 0$। $6r^2 - 13r + 6 = 0 \implies (2r-3)(3r-2) = 0$। चूंकि $|r| < 1$ है,इसलिए $r = \frac{2}{3}$।

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