IIT JEE 2000 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए:
$\log _{3}4 \cdot \log _{4}5 \cdot \log _{5}6 \cdot \log _{6}7 \cdot \log _{7}8 \cdot \log _{8}9$
$= \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7} \cdot \frac{\log 9}{\log 8}$
$= \frac{\log 9}{\log 3}$
$= \log _{3}9 = \log _{3}(3^{2}) = 2 \cdot \log _{3}3 = 2 \cdot 1 = 2$.

(A) दिया गया है कि $|{z_1}| = |{z_2}| = |{z_3}| = 1$.
चूंकि $|{z_i}| = 1$,हमारे पास $|{z_i}|^2 = {z_i} \overline{z_i} = 1$ है,जिसका अर्थ है कि $i = 1, 2, 3$ के लिए $\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$ है।
दिया गया है कि $\left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} \right| = 1$ है।
$\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}| = 1$ प्राप्त होता है।
संयुग्मी के गुण $|\overline{z}| = |z|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|\overline{z_1 + z_2 + z_3}| = |z_1 + z_2 + z_3| = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$|{z_1} + {z_2} + {z_3}| = 1$ है।

(D) एक अनंत $G.P.$ के लिए,योग $S = \frac{a}{1-r} = 4$ और दूसरा पद $ar = \frac{3}{4}$ है।
प्रथम समीकरण से,$a = 4(1-r)$.
$a$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $4(1-r)r = \frac{3}{4}$.
$r(1-r) = \frac{3}{16} \implies r - r^2 = \frac{3}{16} \implies 16r^2 - 16r + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4r - 3)(4r - 1) = 0$.
इससे $r = \frac{3}{4}$ या $r = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि $r = \frac{1}{4}$ है,तो $a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
यदि $r = \frac{3}{4}$ है,तो $a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$.
संभावित युग्म $(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ और $(1, \frac{3}{4})$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ सही है।

(A) दिया गया है कि $a + b + c + d = 2$। मान लीजिए $x = a + b$ और $y = c + d$। तब $x + y = 2$ और $M = xy$।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$।
मान रखने पर,$\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$,जिसका अर्थ है $1 \ge \sqrt{M}$,या $M \le 1$।
चूंकि $a, b, c, d$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,$x > 0$ और $y > 0$,इसलिए $M = xy > 0$।
अतः,संबंध $0 < M \le 1$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ है,जहाँ $c < 0 < b$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4c$ है। चूँकि $b^2 > 0$ और $c < 0$ है,इसलिए $-4c > 0$ होगा,अतः $D > 0$ है। इस प्रकार,मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -b$। चूँकि $b > 0$ है,इसलिए $\alpha + \beta < 0$ है।
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = c$। चूँकि $c < 0$ है,इसलिए $\alpha \beta < 0$ है।
चूँकि गुणनफल $\alpha \beta < 0$ है,इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है।
चूँकि योग $\alpha + \beta < 0$ है,इसलिए ऋणात्मक मूल का निरपेक्ष मान (absolute value) धनात्मक मूल से बड़ा है।
$\alpha < \beta$ दिया गया है,अतः $\alpha$ ऋणात्मक मूल है और $\beta$ धनात्मक मूल है।
इसलिए,$|\alpha| > \beta$,जिसका अर्थ है कि $\alpha < 0 < \beta < |\alpha|$।

(D) माना $f(x) = (x - a)(x - b) - 1 = 0$ है।
$f(a) = (a - a)(a - b) - 1 = -1 < 0$ है।
$f(b) = (b - a)(b - b) - 1 = -1 < 0$ है।
चूँकि $f(x)$ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है,और $f(a) < 0$ तथा $f(b) < 0$ है,इसलिए परवलय का शीर्ष $a$ और $b$ के बीच स्थित है।
चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है और $f(a) < 0$ तथा $f(b) < 0$ है,इसलिए ग्राफ $x$-अक्ष को $a$ से कम मान और $b$ से अधिक मान पर काटेगा।
अतः,एक मूल $(-\infty, a)$ में और दूसरा मूल $(b, +\infty)$ में स्थित है।

(C) माना मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
$3x^2 + px + 3 = 0$ के लिए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -p/3$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = 3/3 = 1$
चूंकि $\alpha^3 = 1$,$\alpha$ के संभावित मान $1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
यदि $\alpha = 1$,तो $\alpha + \alpha^2 = 1 + 1 = 2$,अतः $2 = -p/3 \implies p = -6$। लेकिन हमें $p > 0$ दिया गया है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
यदि $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$,तो $\alpha + \alpha^2 = \omega + \omega^2 = -1$।
इस मान को योग के समीकरण में रखने पर: $-1 = -p/3 \implies p = 3$।
अतः,$p = 3$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ है।
हम $2\binom{n}{r-1}$ को $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,अभिव्यक्ति $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ हो जाती है।
पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ का उपयोग करने पर:
$(\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}) + (\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}) = \binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1}$.
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1} = \binom{n+2}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दी गई संख्या $223355888$ है। अंक $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$ हैं।
कुल $9$ अंक हैं। स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं।
सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
दी गई संख्या में विषम अंक $3, 3, 5, 5$ हैं।
इन $4$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करना है। व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ हैं।
शेष $5$ अंक $2, 2, 8, 8, 8$ हैं,जिन्हें $5$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7, 9)$ पर व्यवस्थित करना है।
व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ हैं।
अतः,कुल तरीके $6 \times 10 = 60$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ में,$A + B + C = \pi,$ इसलिए $A + C = \pi - B.$
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{A - B + C}{2} = \frac{(A + C) - B}{2} = \frac{(\pi - B) - B}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B.$
अतः,$2ac \sin \left( \frac{\pi}{2} - B \right) = 2ac \cos B.$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
इसलिए,$2ac \cos B = 2ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) = a^2 + c^2 - b^2.$

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle C = \frac{\pi}{2}$ है,कर्ण $c = AB$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है,इसलिए $R = \frac{c}{2}.$
अंतःत्रिज्या $r$ का मान $r = \frac{\Delta}{s}$ होता है,जहाँ $\Delta = \frac{1}{2}ab$ और $s = \frac{a + b + c}{2}$ है।
अतः,$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a + b + c)} = \frac{ab}{a + b + c}.$
अब,$r + R = \frac{ab}{a + b + c} + \frac{c}{2} = \frac{2ab + c(a + b + c)}{2(a + b + c)}.$
चूँकि $c^2 = a^2 + b^2,$ इसलिए $2ab + c(a + b + c) = 2ab + ca + cb + c^2 = 2ab + ca + cb + a^2 + b^2 = (a + b)^2 + c(a + b) = (a + b)(a + b + c).$
इसलिए,$r + R = \frac{(a + b)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b}{2}.$
अतः,$2(r + R) = a + b.$

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
$Q$ के निर्देशांक $(3, 4)$ और $R$ के निर्देशांक $(-4, 3)$ हैं।
$OQ$ की ढाल $m_1 = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$ है।
$OR$ की ढाल $m_2 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$,इसलिए रेखाएं $OQ$ और $OR$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,केंद्रीय कोण $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$ है।
वृत्त के प्रमेय के अनुसार,चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle QOR = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(D) माध्यिका $PS$,शीर्ष $P(2, 2)$ को भुजा $QR$ के मध्यबिंदु $S$ से जोड़ती है।
$S = \left( \frac{6 + 7}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, 1 \right)$.
$PS$ की ढाल $m = \frac{1 - 2}{\frac{13}{2} - 2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $-\frac{2}{9}$ होगी।
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) परवलय का समीकरण ${y^2} = 12x$ है,जो ${y^2} = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ है।
परवलय ${y^2} = 4ax$ के लिए बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
$a = 3$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $y + tx = 6t + 3t^3$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए अभिलंब $x + y = k$ से करने पर,हमें $tx + y = 6t + 3t^3$ और $x + y = k$ प्राप्त होता है।
चूंकि ये एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{t}{1} = \frac{1}{1} = \frac{6t + 3t^3}{k}$।
$\frac{t}{1} = 1$ से,हमें $t = 1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को अनुपात $\frac{1}{1} = \frac{6(1) + 3(1)^3}{k}$ में रखने पर,$1 = \frac{6 + 3}{k}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 9$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण ${y^2} - kx + 8 = 0$ है,जिसे ${y^2} = k(x - 8/k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह ${Y^2} = 4AX$ के रूप में है,जहाँ $Y = y$,$X = x - 8/k$,और $4A = k$,इसलिए $A = k/4$ है।
परवलय ${Y^2} = 4AX$ की नियता $X + A = 0$ होती है।
$X$ और $A$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x - 8/k) + k/4 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x = 8/k - k/4$ में सरल हो जाता है।
हमें दिया गया है कि नियता $x - 1 = 0$ है,अर्थात $x = 1$ है।
$x$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$8/k - k/4 = 1$ प्राप्त होता है।
$4k$ से गुणा करने पर,$32 - k^2 = 4k$,या ${k^2} + 4k - 32 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(k + 8)(k - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के मान $k = -8$ या $k = 4$ हैं।

(C) दिया गया है $f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta)$।
सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = \sin \theta (4\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta (1 - \sin^2 \theta)$
चूंकि $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$f(\theta) = (2 \sin \theta \cos \theta)^2$
$f(\theta) = (\sin 2\theta)^2$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $(\sin 2\theta)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $\theta$ के लिए।
अतः,$f(\theta) \ge 0$ सभी वास्तविक $\theta$ के लिए।

(C) हम मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{a}{x})^x} = e^a$ का उपयोग करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 2}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 2 - 5}}{{x + 2}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{5}{{x + 2}}} \right)^x}$.
अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 - \frac{5}{{x + 2}}} \right)}^{\frac{{x + 2}}{{-5}}}}} \right]^{\frac{-5x}{x + 2}}}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{5}{{x + 2}}} \right)^{\frac{x + 2}{-5}}} = e$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{-5x}{x + 2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{-5}{1 + \frac{2}{x}} = -5$.
अतः सीमा $e^{-5}$ है।

(D) माध्यिका $PS$ शीर्ष $P(2,2)$ को भुजा $QR$ के मध्य बिंदु $S$ से जोड़ती है।
$S$ के निर्देशांक $\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ हैं।
$PS$ की ढाल $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m = -\frac{2}{9}$ होगी।
$(1,-1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(C) दिया गया है $\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\left| \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.
इसका अर्थ है कि $|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$,अर्थात त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं।
अब,सम्मिश्र संख्या का कोणांक $\text{amp}\left( \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} \right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ है।
इसका अर्थ है कि भुजाओं $z_1 - z_3$ और $z_2 - z_3$ के बीच का कोण $60^\circ$ है।
चूंकि दो भुजाएँ बराबर हैं और उनके बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए त्रिभुज समबाहु है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और खंभे का आधार $P$ है। पार्क के कोने $A, B,$ और $C$ हैं।
दिया गया है कि प्रत्येक कोने से खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $\theta$ समान है।
खंभे और आधार $P$ से प्रत्येक कोने तक की दूरी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुजों में,$\tan(\theta) = \frac{h}{PA} = \frac{h}{PB} = \frac{h}{PC}$ प्राप्त होता है।
अतः $PA = PB = PC$ है।
वह बिंदु जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समान दूरी पर स्थित होता है,उसे त्रिभुज का परिकेंद्र कहते हैं।

(C) हम जानते हैं कि $arg(-z) = arg(-1 \times z)$ होता है।
गुणधर्म $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$ का उपयोग करने पर,हमें $arg(-z) = arg(-1) + arg(z)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $arg(-1) = \pi$,इसलिए $arg(-z) = \pi + arg(z)$।
अतः,$arg(-z) - arg(z) = (\pi + arg(z)) - arg(z) = \pi$।

(A) दो वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि $2(g_{1}g_{2}+f_{1}f_{2})=c_{1}+c_{2}$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$
वृत्त $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2((1)(0) + (k)(k)) = 6 + k$
$2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^{2} - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k-2) + 3(k-2) = 0$
$(k-2)(2k+3) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{3}{2}$.

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का शून्येतर (अतुच्छ) हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\Delta = 0$।
निकाय इस प्रकार है:
$x - ky - z = 0$
$kx - y - z = 0$
$x + y - z = 0$
सारणिक $\Delta$ है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -k & -1 \\ k & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (-1)(1)) - (-k)((k)(-1) - (-1)(1)) + (-1)((k)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(1 + 1) + k(-k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$2 - k^2 + k - k - 1 = 0$
$1 - k^2 = 0$
$k^2 = 1$
$k = \pm 1$
अतः,$k$ के संभावित मान $1$ और $-1$ हैं।

(B) $\Delta ABC$ में,भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश $BC = a$,$CA = b$,और $AB = c$ हैं।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,एक त्रिभुज की परिधि के अनुदिश सदिशों का योग शून्य होता है: $a + b + c = 0$।
दोनों पक्षों में $a$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $a \times (a + b + c) = a \times 0 \implies a \times a + a \times b + a \times c = 0$।
चूंकि $a \times a = 0$,हमें $a \times b = c \times a$ प्राप्त होता है (क्योंकि $a \times c = -c \times a$)।
इसी प्रकार,$b$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $b \times (a + b + c) = b \times 0 \implies b \times a + b \times b + b \times c = 0$।
चूंकि $b \times b = 0$,हमें $b \times a + b \times c = 0 \implies b \times c = a \times b$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $a \times b = b \times c = c \times a$ प्राप्त होता है।

(A) तीन सदिशों $a, b,$ और $c$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित होता है।
यदि तीन सदिश समतलीय हैं,तो वे एक ही तल में स्थित होते हैं।
किन्हीं भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनके द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन शून्य होता है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल समांतर षट्फलक के आयतन को दर्शाता है,इसलिए किसी भी समतलीय सदिशों के समूह के लिए $[a, b, c] = 0$ होता है।
अतः,यदि $a, b,$ और $c$ इकाई समतलीय सदिश हैं,तो उनका अदिश त्रिक गुणनफल $0$ होगा।

(A) सदिशों $a$ और $b$ द्वारा निर्मित समतल $P_1$ के लंबवत सदिश $n_1 = a \times b$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों $c$ और $d$ द्वारा निर्मित समतल $P_2$ के लंबवत सदिश $n_2 = c \times d$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ यह दर्शाती है कि सदिश $n_1$,सदिश $n_2$ के समानांतर है (अर्थात $n_1 \parallel n_2$)।
चूंकि समतलों के अभिलंब सदिश समानांतर हैं,इसलिए समतल $P_1$ और $P_2$ एक-दूसरे के समानांतर हैं।
अतः,समतलों $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण $0^o$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
हम इसे $2^y = 2 - 2^x$ के रूप में लिख सकते हैं।
$y$ के वास्तविक मान के लिए,$2^y$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,$2 - 2^x > 0$।
इसका अर्थ है कि $2 > 2^x$।
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए यह असमिका तब सत्य होती है जब घातांक $1 > x$ का पालन करते हैं।
अतः,$x$ का प्रांत $( - \infty , 1)$ है।

(D) कथन $S$: अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में,$\sin x$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है,और $\cos x$ का मान $0$ से $-1$ तक घटता है। अतः,दोनों फलन इस अंतराल में ह्रासमान हैं। इसलिए,कथन $S$ सही है।
कथन $R$: यदि कोई फलन $f(x)$,$(a, b)$ में घट रहा है,तो इसका अर्थ है $f'(x) \le 0$। इसका मतलब यह नहीं है कि $f'(x)$ स्वयं एक ह्रासमान फलन है। उदाहरण के लिए,$(-1, 1)$ पर $f(x) = -x^3$ लें। यहाँ $f'(x) = -3x^2$,जो $(-1, 1)$ पर ह्रासमान फलन नहीं है। दिया गया ग्राफ भी एक ऐसी स्थिति को दर्शाता है जहाँ फलन घट रहा है,लेकिन उसका ढाल (अवकलज) बढ़ रहा है। अतः,कथन $R$ गलत है।
निष्कर्ष: $S$ सही है और $R$ गलत है। सही विकल्प $D$ है।

(B) माना फलन $f(x) = x - \log_e(1 + x)$,जहाँ $x \in (0, 1)$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{1 + x - 1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है,जो दर्शाता है कि $f(x)$ अंतराल $(0, 1)$ में एक वर्धमान फलन है।
चूँकि $f(0) = 0 - \log_e(1) = 0$ है और $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $x > 0$ के लिए $f(x) > f(0)$ होगा।
अतः,$x - \log_e(1 + x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $\log_e(1 + x) < x$ सभी $x \in (0, 1)$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) माना $I = \int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log_e x}{x} \right| dx$.
चूँकि $x \in [e^{-1}, 1)$ के लिए $\log_e x < 0$ और $x \in [1, e^2]$ के लिए $\log_e x \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_{e^{-1}}^{1} -\frac{\log_e x}{x} dx + \int_{1}^{e^2} \frac{\log_e x}{x} dx$.
माना $z = \log_e x$,तब $dz = \frac{1}{x} dx$.
जब $x = e^{-1}, z = -1$. जब $x = 1, z = 0$. जब $x = e^2, z = 2$.
$I = \int_{-1}^{0} -z dz + \int_{0}^{2} z dz$.
$I = \left[ -\frac{z^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{2}$.
$I = (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(C) हमें फलन $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \\ 2, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ दिया गया है।
हमें समाकलन $I = \int_{-2}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
हम समाकलन को $x = 2$ पर विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-2}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx$.
अंतराल $[-2, 2]$ के लिए,$f(x) = e^{\cos x}\sin x$ है। मान लीजिए $g(x) = e^{\cos x}\sin x$ है। तब $g(-x) = e^{\cos(-x)}\sin(-x) = e^{\cos x}(-\sin x) = -g(x)$ है। अतः,$g(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $g(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} g(x) dx = 0$ होता है। इसलिए,$\int_{-2}^{2} e^{\cos x}\sin x dx = 0$.
अंतराल $(2, 3]$ के लिए,$f(x) = 2$ है। इसलिए,$\int_{2}^{3} 2 dx = [2x]_{2}^{3} = 2(3 - 2) = 2$.
इन परिणामों को जोड़ने पर,$I = 0 + 2 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $g(2) = \int_0^2 f(t) \, dt = \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt$.
$t \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{2} \le f(t) \le 1$ है। इसका $[0, 1]$ पर समाकलन करने पर:
$\int_0^1 \frac{1}{2} \, dt \le \int_0^1 f(t) \, dt \le \int_0^1 1 \, dt$
$\frac{1}{2} \le \int_0^1 f(t) \, dt \le 1 \quad \dots (i)$
$t \in (1, 2]$ के लिए,हमारे पास $0 \le f(t) \le \frac{1}{2}$ है। इसका $(1, 2]$ पर समाकलन करने पर:
$\int_1^2 0 \, dt \le \int_1^2 f(t) \, dt \le \int_1^2 \frac{1}{2} \, dt$
$0 \le \int_1^2 f(t) \, dt \le \frac{1}{2} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$\frac{1}{2} + 0 \le \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt \le 1 + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \le g(2) \le \frac{3}{2}$.
चूंकि $\frac{1}{2} \le g(2) \le \frac{3}{2}$,इसलिए $g(2)$ का मान अंतराल $[0, 2)$ के भीतर आता है। अतः,$0 \le g(2) < 2$ सही असमिका है।

(B) दिया गया समीकरण: ${x^2} + {y^2} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}({x^2} + {y^2}) = \frac{d}{dx}(1)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y y' = 0$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y') = 0$
$1 + (y \cdot y'' + y' \cdot y') = 0$
$1 + y y'' + (y')^2 = 0$
अतः,अभीष्ट संबंध $yy'' + (y')^2 + 1 = 0$ है।

(C) सही विकल्प $(c)$ है।
$1$. $g(x) = |f(x)| \ge 0$ सभी $x \in R$ के लिए। चूँकि $g$ का परिसर $[0, \infty)$ का उपसमुच्चय है,इसलिए यदि सह-प्रांत $R$ है तो $g$ आच्छादक नहीं हो सकता।
$2$. यदि $f(x)$ एकैकी है,तो $g(x)$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = x$ है,तो $f$ एकैकी है,लेकिन $g(x) = |x|$ एकैकी नहीं है क्योंकि $g(1) = g(-1) = 1$ है।
$3$. यदि $f(x)$ सतत है,तो $g(x) = |f(x)|$ भी सतत होता है। यह सतत फलनों का एक मानक गुण है: एक सतत फलन $f(x)$ और सतत फलन $h(u) = |u|$ का संयोजन सतत होता है।
$4$. यदि $f(x)$ अवकलनीय है,तो $g(x) = |f(x)|$ का अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है। जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,यदि $f(x)$ $x$-अक्ष को किसी बिंदु $P$ पर काटता है (जहाँ $f(P) = 0$),तो $g(x) = |f(x)|$ का उस बिंदु पर एक तीक्ष्ण कोना होगा,जिससे वह उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं रहेगा।

(A) फलन $f(x) = |x|$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $x \in [-2, 0) \cup (0, 2]$ और $f(0) = 1$ है।
$x = 0$ के आसपास किसी भी छोटे अंतराल $(0 - h, 0 + h)$ के लिए (जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है),हमारे पास है:
$f(0) = 1$
इस अंतराल में $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = |x|$ है। चूँकि $x$,$0$ के बहुत करीब है,इसलिए $|x| < 1$ होता है।
इस प्रकार,$0$ के पड़ोस में सभी $x$ के लिए $f(x) < f(0)$ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,यदि $a$ के किसी पड़ोस में सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(a)$ है,तो $f$ का $x = a$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ होता है।
चूँकि $x \in (-h, h) \setminus \{0\}$ के लिए $f(x) < f(0)$ है,इसलिए फलन $f$ का $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = \frac{d}{dx} \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx = {e^x}(x - 1)(x - 2)$ है।
फलन $f$ के ह्रासमान (decreasing) होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अतः,${e^x}(x - 1)(x - 2) < 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए ${e^x} > 0$ होता है,इसलिए असमिका $(x - 1)(x - 2) < 0$ में बदल जाती है।
द्विघात व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,गुणनफल इसके मूलों $x = 1$ और $x = 2$ के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,$f$ अंतराल $(1, 2)$ में घटता है।

(B) वक्र $y=f(x)$ के किसी बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता फलन के अवकलज से $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
बिंदु $(3,4)$ पर,$m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ होता है।
अभिलंब की प्रवणता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$
$f^{\prime}(3) = 1$.