IIT JEE 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $|x + iy - (1 + 2i)| = 2|x + iy - 3i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4(x^2 + (y - 3)^2)$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 - 6y + 9)$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 4x^2 + 4y^2 - 24y + 36$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2 + 3y^2 + 2x - 20y + 31 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x - \frac{20}{3}y + \frac{31}{3} = 0$.
केंद्र $\left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{31}{3}} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{100}{9} - \frac{93}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
अतः,कथन $A$ और $D$ सत्य हैं।

(D) मान लीजिए $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $0$ ठीक दो बार आता है। मान लीजिए $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $1$ ठीक दो बार आता है। हम $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ ज्ञात करना चाहते हैं।
$1$. $n(A)$ की गणना:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। इसलिए,हम शेष $6$ स्थानों में से $0$ के लिए $2$ स्थान $\binom{6}{2}$ तरीकों से चुनते हैं। शेष $5$ स्थानों को $1$ या $2$ द्वारा $2^5$ तरीकों से भरा जा सकता है। अतः,$n(A) = \binom{6}{2} \times 2^5 = 15 \times 32 = 480$.
$2$. $n(B)$ की गणना:
स्थिति $I$: $1$ पहले स्थान पर है। हमें शेष $6$ स्थानों में एक और $1$ की आवश्यकता है,जिसे $\binom{6}{1}$ तरीकों से रखा जा सकता है। शेष $5$ स्थानों को $0$ या $2$ द्वारा $2^5$ तरीकों से भरा जा सकता है। तरीकों की संख्या $= 6 \times 32 = 192$.
स्थिति $II$: $1$ पहले स्थान पर नहीं है। पहला स्थान $2$ हो सकता है (केवल $1$ विकल्प,क्योंकि यह $0$ नहीं हो सकता)। हम शेष $6$ स्थानों में से $1$ के लिए $2$ स्थान $\binom{6}{2}$ तरीकों से चुनते हैं। शेष $4$ स्थानों को $0$ या $2$ द्वारा $2^4$ तरीकों से भरा जा सकता है। तरीकों की संख्या $= 15 \times 16 = 240$.
अतः,$n(B) = 192 + 240 = 432$.
$3$. $n(A \cap B)$ की गणना:
हमें ठीक दो $0$ और ठीक दो $1$ की आवश्यकता है। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।
यदि पहला अंक $1$ है,तो हमें $\binom{6}{1}$ तरीकों से एक और $1$ और $\binom{5}{2}$ तरीकों से दो $0$ की आवश्यकता है। शेष $3$ स्थानों को $2$ द्वारा $1$ तरीके से भरा जा सकता है। तरीके $= 6 \times 10 = 60$.
यदि पहला अंक $2$ है,तो हमें $\binom{6}{2}$ तरीकों से दो $0$ और $\binom{4}{2}$ तरीकों से दो $1$ की आवश्यकता है। शेष $2$ स्थानों को $2$ द्वारा $1$ तरीके से भरा जा सकता है। तरीके $= 15 \times 6 = 90$.
अतः,$n(A \cap B) = 60 + 90 = 150$.
$4$. अंतिम परिणाम:
$n(A \cup B) = 480 + 432 - 150 = 762$.

(B) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\alpha}{2} \int_0^x \frac{1}{1-t^2} d t+\beta x \cos x}{x^3} = 2$ है।
एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\alpha}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) + \beta \cos x - \beta x \sin x}{3 x^2} = 2$.
टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\frac{\alpha}{2} + \beta) + x^2(\frac{\alpha}{2} - \frac{3\beta}{2})}{3 x^2} = 2$.
अचर पद शून्य होना चाहिए: $\frac{\alpha}{2} + \beta = 0 \implies \alpha = -2\beta$.
शेष पद से: $\frac{\alpha - 3\beta}{6} = 2 \implies \alpha - 3\beta = 12$.
$\alpha = -2\beta$ रखने पर: $-2\beta - 3\beta = 12 \implies -5\beta = 12 \implies \beta = -2.4$.
अतः $\alpha = 4.8$.
इस प्रकार,$\alpha + \beta = 4.8 - 2.4 = 2.4$.

(C) आवृत्तियों का योग $N = 5 + f_1 + f_2 + 2 + 1 + 1 + 3 = 19 \implies f_1 + f_2 = 7$ है।
चूंकि माध्यिका $6$ है,$x=6$ पर संचयी आवृत्ति $N/2 = 9.5$ होनी चाहिए।
क्रमबद्ध मान: $4(5), 5(f_1), 6(1), 8(f_2), 9(2), 11(3), 12(1)$।
संचयी आवृत्तियाँ: $5, 5+f_1, 6+f_1, 6+f_1+f_2, 8+f_1+f_2, 11+f_1+f_2, 12+f_1+f_2$।
माध्यिका $6$ के लिए,$5+f_1 < 9.5$ और $6+f_1 \ge 9.5 \implies f_1 \ge 3.5$।
साथ ही,$f_1+f_2=7$। मानों की जाँच करने पर: यदि $f_1=4, f_2=3$,तो $f_1+f_2=7$।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{19} = \frac{4(5) + 5(4) + 6(1) + 8(3) + 9(2) + 11(3) + 12(1)}{19} = \frac{20+20+6+24+18+33+12}{19} = \frac{133}{19} = 7$।
$(P) \ 7f_1 + 9f_2 = 7(4) + 9(3) = 28 + 27 = 55$।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\alpha = \frac{\sum f_i |x_i - 7|}{19} = \frac{5|4-7| + 4|5-7| + 1|6-7| + 3|8-7| + 2|9-7| + 3|11-7| + 1|12-7|}{19} = \frac{15+8+1+3+4+12+5}{19} = \frac{48}{19} \implies 19\alpha = 48$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\beta = \frac{\sum f_i |x_i - 6|}{19} = \frac{5|4-6| + 4|5-6| + 1|6-6| + 3|8-6| + 2|9-6| + 3|11-6| + 1|12-6|}{19} = \frac{10+4+0+6+6+15+6}{19} = \frac{47}{19} \implies 19\beta = 47$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{19} - (\bar{x})^2 = \frac{5(16) + 4(25) + 1(36) + 3(64) + 2(81) + 3(121) + 1(144)}{19} - 49 = \frac{80+100+36+192+162+363+144}{19} - 49 = \frac{1077}{19} - 49 = \frac{1077-931}{19} = \frac{146}{19} \implies 19\sigma^2 = 146$।
अतः,$(P)\rightarrow(5), (Q)\rightarrow(3), (R)\rightarrow(2), (S)\rightarrow(1)$।

(C) दिया गया है $e^{x_0}+x_0=0$।
$g(x) = \frac{3x(e^x+1) - \alpha(e^x+x)}{3(e^x+1)} = x - \frac{\alpha(e^x+x)}{3(e^x+1)}$।
चूंकि $e^{x_0}+x_0=0$,हमारे पास $g(x_0) = x_0 - 0 = x_0$ है।
अतः,$g(x_0) + e^{x_0} = x_0 + e^{x_0} = 0$।
$L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow x_0}\left|\frac{g(x)+e^{x_0}}{x-x_0}\right| = |g'(x_0)|$।
$g'(x) = 1 - \frac{\alpha}{3} \left( \frac{(e^x+1)(e^x+1) - (e^x+x)e^x}{(e^x+1)^2} \right)$।
$x=x_0$ पर,$e^{x_0}+x_0=0$,इसलिए $g'(x_0) = 1 - \frac{\alpha}{3} \left( \frac{(e^{x_0}+1)^2 - 0}{(e^{x_0}+1)^2} \right) = 1 - \frac{\alpha}{3}$।
$\alpha=3$ के लिए,$|g'(x_0)| = |1 - \frac{3}{3}| = 0$।
इसलिए,$\alpha=3$ के लिए कथन सत्य है।

(A) दी गई रेखाएँ: $4x - 3y = 12\alpha$ और $4\alpha x + 3\alpha y = 12$.
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(4x - 3y)(4\alpha x + 3\alpha y) = 144\alpha \implies 16\alpha x^2 - 9\alpha y^2 = 144\alpha$.
$\alpha$ से विभाजित करने पर: $16x^2 - 9y^2 = 144 \implies \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$. यह अतिपरवलय $S$ है।
रेखा $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ की ढाल $m = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ है।
अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।
यहाँ $a^2 = 9, b^2 = 16$, इसलिए $y = \frac{4\sqrt{2}}{3}x \pm 4$.
स्पर्श रेखा $(p, 0)$ और $(0, q)$ से गुजरती है, इसलिए $y = -\frac{q}{p}x + q$.
तुलना करने पर, $q = 4$ और $-\frac{q}{p} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \implies p = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
अतः, $pq = -6\sqrt{2}$.

(B) मान लीजिए जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^2=x$ के लिए मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $ky - \frac{1}{2}(x+h) = k^2 - h$,अर्थात $x - 2ky + 2k^2 - h = 0$ है।
परवलय $y^2=4ax$ और जीवा के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3} (h-k^2)^{3/2} = \frac{4}{3}$ होता है।
अतः,$(h-k^2)^{3/2} = 1$,जिसका अर्थ है $h-k^2=1$,या $x-y^2=1$। यह वक्र $S$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(4, \sqrt{3})$ के लिए,$4-(\sqrt{3})^2 = 4-3=1$। अतः $(4, \sqrt{3}) \in S$। $(5, \sqrt{2})$ के लिए,$5-(\sqrt{2})^2 = 5-2=3 \neq 1$। अतः $(B)$ गलत है।
क्षेत्र $R$,$x=1$ से $x=4$ तक $y^2=x$ और $y^2=x-1$ द्वारा घिरा है।
क्षेत्रफल $= \int_1^4 (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) dx = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{2}{3} (x-1)^{3/2}]_1^4 = \frac{2}{3} (8 - 3\sqrt{3} - 1) = \frac{14}{3} - 2\sqrt{3}$।
अतः,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(A, C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिया गया है कि $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ और $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,जहाँ $M=(3,0)$ और $O=(0,0)$,बिंदु $R$ और $S$ वृत्त $x^2+y^2=9$ पर स्थित हैं। अतः,$R = (3 \cos \frac{\pi}{6}, 3 \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ और $S = (3 \cos \frac{\pi}{3}, 3 \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$।
चूँकि $x_1$,$R$ का $x$-निर्देशांक है,$x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$। चूँकि $P$ दीर्घवृत्त पर है,$P = (x_1, y_1) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 2 \sin \theta_1)$। चूँकि $\frac{x_1^2}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1$,हमारे पास $\frac{27/4}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow y_1^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1$ है (चूँकि $y_1 > 0$)। अतः $P = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$।
इसी प्रकार,$x_2 = \frac{3}{2}$। $Q = (x_2, y_2)$ के लिए,$\frac{9/4}{9} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow y_2^2 = 3 \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}$। अतः $Q = (\frac{3}{2}, \sqrt{3})$।
$P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{\sqrt{3}-1}{3/2 - 3\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}-1}{-\frac{3}{2}(\sqrt{3}-1)} = -\frac{2}{3}$ है।
समीकरण $y - \sqrt{3} = -\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow 3y - 3\sqrt{3} = -2x + 3 \Rightarrow 2x + 3y = 3(1+\sqrt{3})$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(C)$ के लिए,$N_2 = (x_2, 0) = (\frac{3}{2}, 0)$। $|N_2Q| = y_2 = \sqrt{3}$ और $|N_2S| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$। $3|N_2Q| = 3\sqrt{3}$ और $2|N_2S| = 2(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$। अतः $3|N_2Q| = 2|N_2S|$,$(C)$ सत्य है।

(B) $(1 + \frac{2}{5}x)^{23}$ के विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{23}{r} (\frac{2}{5}x)^r$ द्वारा दिया जाता है।
गुणांक $a_r = \binom{23}{r} (\frac{2}{5})^r$ है।
सबसे बड़ा गुणांक $a_r$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{a_r}{a_{r-1}} \geq 1$ पर विचार करते हैं।
$\frac{\binom{23}{r} (\frac{2}{5})^r}{\binom{23}{r-1} (\frac{2}{5})^{r-1}} \geq 1$
$\frac{23-r+1}{r} \times \frac{2}{5} \geq 1$
$\frac{24-r}{r} \times \frac{2}{5} \geq 1$
$48 - 2r \geq 5r$
$48 \geq 7r$
$r \leq \frac{48}{7} \approx 6.85$
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे बड़ा गुणांक $r = 6$ पर प्राप्त होता है।

(A) योगफल एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = -\omega$,सार्व अनुपात $r = -\omega$ और $n = 2025$ पद हैं।
$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-\omega(1-(-\omega)^{2025})}{1-(-\omega)} = \frac{-\omega(1 - (-\omega^{2025}))}{1+\omega}$.
चूंकि $\omega^3 = 1$ और $2025$,$3$ का गुणज है,इसलिए $\omega^{2025} = 1$.
$S = \frac{-\omega(1 - (-1))}{1+\omega} = \frac{-\omega(2)}{1+\omega}$.
$1+\omega = -\omega^2$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{-2\omega}{-\omega^2} = \frac{2}{\omega} = 2\omega^2$.
चूंकि $\omega = e^{i2\pi/3}$,$\omega^2 = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$.
अतः,$\alpha = \arg(2\omega^2) = \arg(e^{-i2\pi/3}) = -\frac{2\pi}{3}$.
इसलिए,$\frac{3\alpha}{\pi} = \frac{3}{\pi} \times \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -2$.

(C) दिया गया है $\alpha = \sum_{k=0}^{29} \frac{1}{\sin(60+2k)^{\circ} \sin(61+2k)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\alpha = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{29} (\cot(60+2k)^{\circ} - \cot(61+2k)^{\circ})$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$\alpha \sin 1^{\circ} = \cot 60^{\circ} - \cot 119^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\left(\frac{\operatorname{cosec} 1^{\circ}}{\alpha}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(C) दिया गया है कि $h(x) = f(x+1) - g(x+2)$.
$h(x)$ में $x^3$ वाले पदों का विस्तार करने पर:
$f(x+1) = a_1 + 10(x+1) + a_2(x+1)^2 + a_3(x+1)^3 + (x+1)^4$
$f(x+1)$ में $x^3$ का गुणांक $a_3 + 4(1) = a_3 + 4$ है।
$g(x+2) = b_1 + 3(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + (x+2)^4$
$g(x+2)$ में $x^3$ का गुणांक $b_3 + 4(2) = b_3 + 8$ है।
अतः,$h(x)$ में $x^3$ का गुणांक $(a_3 + 4) - (b_3 + 8) = a_3 - b_3 - 4$ है।
चूंकि प्रत्येक $x \in R$ के लिए $f(x) - g(x) \neq 0$ है,इसलिए व्यंजक $f(x) - g(x) = (a_3 - b_3)x^3 + (a_2 - b_2)x^2 + 7x + (a_1 - b_1)$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए।
त्रिघात बहुपद का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए $x^3$ का गुणांक $0$ होना चाहिए (अन्यथा,यह एक त्रिघात समीकरण होगा जिसका हमेशा कम से कम एक वास्तविक मूल होता है)।
इसलिए,$a_3 - b_3 = 0$ है।
इस मान को $h(x)$ में $x^3$ के गुणांक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 - 4 = -4$ प्राप्त होता है।

(A) $P(U) = 1 - P(S_1^{\prime} \cap S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime}) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow P(S_1^{\prime}) \cdot P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime}) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow (1 - P(S_1))(1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{1}{2} \dots (1)$
$P(V) = \frac{P(S_1 \cap S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime})}{P(S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime})} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow \frac{P(S_1) \cdot P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime})}{P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime})} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow P(S_1) = \frac{1}{10}$
$P(W) = P(S_2 \cap S_3^{\prime}) = P(S_2) \cdot P(S_3^{\prime}) = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow P(S_2)(1 - P(S_3)) = \frac{1}{12} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से,$(1 - \frac{1}{10})(1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow (1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{5}{9} \dots (3)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(3)$ से विभाजित करने पर: $\frac{P(S_2)}{1 - P(S_2)} = \frac{1}{12} \times \frac{9}{5} = \frac{3}{20}$
$20 P(S_2) = 3 - 3 P(S_2) \Rightarrow 23 P(S_2) = 3 \Rightarrow P(S_2) = \frac{3}{23}$
$P(S_2)$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर: $\frac{3}{23}(1 - P(S_3)) = \frac{1}{12}$
$1 - P(S_3) = \frac{23}{36} \Rightarrow P(S_3) = 1 - \frac{23}{36} = \frac{13}{36}$
अतः,$P(T) = P(S_3) = \frac{13}{36}$.

(C) सबसे पहले,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2-2h^2-h^2 \sin(1/h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2h - h \sin(1/h)) = 0$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f$,$x=0$ पर अवकलनीय है। अतः,$(A)$ गलत है।
$x \neq 0$ के लिए,$f'(x) = -4x - 2x \sin(1/x) + \cos(1/x)$.
जैसे $x \to 0$,$\cos(1/x)$ पद के कारण $f'(x)$ दोलन करता है।
किसी भी $\delta > 0$ के लिए,अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ में,$f'(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेता है क्योंकि $\cos(1/x)$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
इसलिए,$f$ किसी भी अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।
यह $(B)$ को गलत और $(C)$ को सही बनाता है।
अंत में,$f(0)=2$ और छोटे $h \neq 0$ के लिए,$f(h) = 2 - h^2(2 + \sin(1/h)) < 2$. अतः,$x=0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है,जिससे $(D)$ गलत हो जाता है।

(C) $Q^{-1} = Q^T \implies QQ^T = I$। अतः,$Q$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
मान लीजिए $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।
प्रतिबंध $PQ = QP$ का अर्थ है:
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 2c_1 \\ 2a_2 & 2b_2 & 2c_2 \\ 3a_3 & 3b_3 & 3c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 3c_1 \\ 2a_2 & 2b_2 & 3c_2 \\ 2a_3 & 2b_3 & 3c_3 \end{bmatrix}$
अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $2c_1 = 3c_1 \implies c_1 = 0$,$2c_2 = 3c_2 \implies c_2 = 0$,$3a_3 = 2a_3 \implies a_3 = 0$,और $3b_3 = 2b_3 \implies b_3 = 0$।
चूंकि $Q$ लांबिक है,$Q^T Q = I$। $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 \end{bmatrix}$ के लिए,प्रतिबंध $Q^T Q = I$ का अर्थ है $a_1^2 + a_2^2 = 1$,$b_1^2 + b_2^2 = 1$,$a_1b_1 + a_2b_2 = 0$,और $c_3^2 = 1$।
चूंकि प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं,$c_3 \in \{1, -1\}$। $2 \times 2$ ब्लॉक के लिए,पूर्णांक प्रविष्टियों वाले संभावित लांबिक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ हैं।
ऐसे $8$ आव्यूह हैं और $c_3$ के लिए $2$ विकल्प हैं,जिससे कुल $8 \times 2 = 16$ आव्यूह प्राप्त होते हैं।

(C) $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \langle 1, -1, 1 \rangle$ है।
चूंकि $L_2$,$L_1$ के समानांतर है और $P(2, -1, 3)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ है। अतः,$L_2$ पर कोई भी बिंदु $(\lambda+2, -\lambda-1, \lambda+3)$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,यह समतल $M: 2x+y-2z=6$ पर स्थित है। मान रखने पर: $2(\lambda+2) + (-\lambda-1) - 2(\lambda+3) = 6 \Rightarrow 2\lambda+4-\lambda-1-2\lambda-6=6 \Rightarrow -\lambda-3=6 \Rightarrow \lambda=-9$.
अतः,$Q = (-7, 8, -6)$.
$PQ = \sqrt{(-7-2)^2 + (8-(-1))^2 + (-6-3)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{3}$. अतः,$(A)$ सत्य है।
$R$ के लिए,$P(2,-1,3)$ से $M: 2x+y-2z-6=0$ पर लंब का पाद,रेखा $PR$ की दिशा $\langle 2, 1, -2 \rangle$ है। अतः $R = (2\mu+2, \mu-1, -2\mu+3)$.
$M$ में मान रखने पर: $2(2\mu+2) + (\mu-1) - 2(-2\mu+3) = 6 \Rightarrow 4\mu+4+\mu-1+4\mu-6=6 \Rightarrow 9\mu-3=6 \Rightarrow 9\mu=9 \Rightarrow \mu=1$.
अतः,$R = (4, 0, 1)$.
$QR = \sqrt{(4-(-7))^2 + (0-8)^2 + (1-(-6))^2} = \sqrt{11^2 + (-8)^2 + 7^2} = \sqrt{234}$. अतः,$(B)$ असत्य है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$. $\vec{QP} = \langle 9, -9, 9 \rangle$,$\vec{QR} = \langle 11, -8, 7 \rangle$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 9 & -9 & 9 \\ 11 & -8 & 7 \end{vmatrix} = 9\hat{i} + 36\hat{j} + 27\hat{k} = 9(\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$.
परिमाण $= 9\sqrt{26}$. क्षेत्रफल $= \frac{9}{2}\sqrt{26} = \frac{3}{2}\sqrt{234}$. अतः,$(C)$ सत्य है।
$\vec{PQ} = \langle -9, 9, -9 \rangle$,$\vec{PR} = \langle 2, 1, -2 \rangle$. $\cos \theta = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{PR}|}{|PQ||PR|} = \frac{9}{9\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$. अतः,$(D)$ असत्य है।

(A) $f: N \rightarrow Z$ के लिए,$f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=0, f(5)=3, f(6)=-1, \dots$ है। चूंकि $f(1)=f(2)=1$,इसलिए $f$ एकैकी (one-one) नहीं है। चूंकि $f$ का परिसर $Z$ है,इसलिए $f$ आच्छादक (onto) है। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
$g: Z \rightarrow N$ के लिए,$g(0)=3, g(1)=5, g(-1)=2, g(-2)=4, g(-3)=6$ है। चूंकि $g$ का परिसर ${2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots}$ है,जो $N$ का एक उपसमुच्चय है ($1$ छूट जाता है),इसलिए $g$ अंतःक्षेपी (into) है। अतः,कथन $(C)$ असत्य है।
$g \circ f: N \rightarrow N$ के लिए,$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 5$ और $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(1) = 5$ है। चूंकि $(g \circ f)(1) = (g \circ f)(2)$,इसलिए $g \circ f$ एकैकी नहीं है। $g \circ f$ का परिसर $N$ को पूरी तरह से कवर नहीं करता है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$f \circ g: Z \rightarrow Z$ के लिए,यदि $n \geq 0$,तो $f(g(n)) = f(3+2n) = (3+2n+1)/2 = n+2$ है। यदि $n < 0$,तो $f(g(n)) = f(-2n) = (4-(-2n))/2 = 2+n$ है। इस प्रकार,सभी $n \in Z$ के लिए $(f \circ g)(n) = n+2$ है। यह एक बाइजेक्शन है,इसलिए $f \circ g$ एकैकी और आच्छादक है। अतः,कथन $(B)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(D)$ सत्य हैं।

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,इसमें सभी $n$ विकर्ण अवयव $(x, x)$ होने चाहिए,जहाँ $x \in A$। यहाँ,समुच्चय $\{a, b, c, d, e, f\}$ है,जिसमें $n = 6$ अवयव हैं। अतः,$R$ में $6$ अवयव होने चाहिए: $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f)$।
चूँकि $R$ सममित है,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होगा। शेष $n^2 - n = 36 - 6 = 30$ अवयव विकर्ण के बाहर हैं। ये $30$ अवयव $\{(x, y), (y, x)\}$ रूप के $15$ जोड़े बनाते हैं,जहाँ $x \neq y$ है।
हमें दिया गया है कि $R$ में ठीक $10$ अवयव हैं। चूँकि $6$ विकर्ण अवयव पहले से ही शामिल हैं,हमें विकर्ण के बाहर के जोड़ों में से $10 - 6 = 4$ अतिरिक्त अवयव चुनने होंगे। चूँकि संबंध सममित होना चाहिए,यदि हम $(x, y)$ चुनते हैं,तो हमें $(y, x)$ भी चुनना होगा। इसलिए,हमें $15$ उपलब्ध जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने होंगे।
$15$ में से $2$ जोड़े चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ द्वारा प्राप्त होती है।

(A) मान लीजिए बिंदुओं $P, Q, R, S, E,$ और $F$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{e},$ और $\vec{f}$ हैं।
दिया गया समीकरण: $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$ है।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\vec{p} - \vec{s}) + 5(\vec{q} - \vec{s}) + 6(\vec{r} - \vec{s}) = \overrightarrow{0}$ प्राप्त होता है।
$\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 12\vec{s} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \vec{s} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12}$ है।
चूंकि $E$, $PR$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\vec{e} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$ है।
चूंकि $F$, $QR$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\vec{f} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ है।
सदिश $\overrightarrow{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{q} - \vec{p}}{2}$ है।
सदिश $\overrightarrow{ES} = \vec{s} - \vec{e} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 6\vec{p} - 6\vec{r}}{12} = \frac{5\vec{q} - 5\vec{p}}{12} = \frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})$ है।
अतः, लंबाइयों का अनुपात $\frac{|\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{ES}|} = \frac{|\frac{1}{2}(\vec{q} - \vec{p})|}{|\frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})|} = \frac{1/2}{5/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f(y)$ और $f(x)>0$,अतः फलन $f(x)=k^x$ के रूप का है।
चूँकि $f(a_{31})=64 f(a_{25})$,हमारे पास $k^{a+30d}=64 k^{a+24d}$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद और $d$ सार्व अंतर है।
यह $k^{6d}=64$ में सरल हो जाता है,अतः $k^d=2$ है।
योग $\sum_{i=1}^{50} f(a_i) = k^a \frac{(k^d)^{50}-1}{k^d-1} = k^a(2^{50}-1)$ है।
दिया गया है कि $k^a(2^{50}-1) = 3(2^{25}+1)$,अतः $k^a = \frac{3}{2^{25}-1}$ है।
हमें $\sum_{i=6}^{30} f(a_i) = k^{a+5d} \frac{(k^d)^{25}-1}{k^d-1} = k^a (k^d)^5 (2^{25}-1)$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{3}{2^{25}-1} \cdot 2^5 \cdot (2^{25}-1) = 3 \cdot 32 = 96$।

(A) दिए गए अवकल समीकरणों के लिए:
$1) \frac{dy_1}{y_1} = \sin^2 x dx \implies \ln y_1 = \int \sin^2 x dx + C_1$
$2) \frac{dy_2}{y_2} = \cos^2 x dx \implies \ln y_2 = \int \cos^2 x dx + C_2$
$3) \frac{dy_3}{y_3} = \left(\frac{2}{x^3} - 1\right) dx \implies \ln y_3 = \int (2x^{-3} - 1) dx + C_3 = -x^{-2} - x + C_3$
समीकरणों को जोड़ने पर: $\ln(y_1 y_2 y_3) = \int (\sin^2 x + \cos^2 x + \frac{2}{x^3} - 1) dx + C = \int (1 + \frac{2}{x^3} - 1) dx + C = \int \frac{2}{x^3} dx + C = -x^{-2} + C$.
$x=1$ पर प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर: $\ln(5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5e}) = \ln(e^{-1}) = -1$.
अतः,$-1 = -(1)^{-2} + C \implies C = 0$.
इस प्रकार,$y_1 y_2 y_3 = e^{-1/x^2}$.
अब,$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2} + 2x}{e^{3x} \sin x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2}}{e^{3x} \sin x} + \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x}{e^{3x} \sin x}$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2}}{\sin x} = 0$ और $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x}{\sin x} = 2$,इसलिए सीमा $0 + 2 = 2$ है।

(B) $(P)$ माना $P(x) = 10x^3 - 45x^2 + 60x + 35$. तब $P'(x) = 30(x-1)(x-2)$.
अंतराल $[1, 2]$ में $P(x)$ घटता है,अतः $P(x)$ का परिसर $[55, 60]$ है।
$f(x) = [P(x)/n]$ के सतत होने के लिए,$P(x)/n$ के परिसर में कोई पूर्णांक नहीं होना चाहिए। $n=9$ के लिए परिसर $[55/9, 60/9] = [6.11, 6.66]$ है,जिसमें कोई पूर्णांक नहीं है। अतः $n=9$ न्यूनतम मान है।
$(Q)$ $g(x)$ के वर्धमान होने के लिए $g'(x) = (2n^2 - 13n - 15)(3x^2 + 3) \geq 0$ होना चाहिए। अतः $2n^2 - 13n - 15 \geq 0$,जिसे हल करने पर $n \geq 7.5$ प्राप्त होता है। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n=8$ है।
$(R)$ $h'(x) = (x^2-9)^{n-1} [q(x)]$. $x=3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ के लिए अवकलज का चिह्न बदलना चाहिए,जिसके लिए $n-1$ विषम होना चाहिए,अर्थात $n$ सम होना चाहिए। $5$ से बड़ी सबसे छोटी सम संख्या $n=6$ है।
$(S)$ $\sin|x-k|$ बिंदु $x=k$ पर अवकलनीय नहीं है। $k=0, 1, 2, 3, 4$ के लिए $5$ बिंदु प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। चूँकि $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।
साथ ही,$\vec{v} \times \vec{w} = \vec{u}$,जिसका अर्थ है $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।
समीकरणों की प्रणाली $-t\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha - t\beta + \gamma = 0$,$\alpha + \beta - t\gamma = 0$ का एक गैर-तुच्छ हल तब होता है यदि सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -t & 1 & 1 \\ 1 & -t & 1 \\ 1 & 1 & -t \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow -(t^3 - 1) - 1(-t - 1) + 1(1 + t) = 0 \Rightarrow -t^3 + 1 + t + 1 + 1 + t = 0 \Rightarrow t^3 - 2t - 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(t+1)(t^2 - t - 3) = 0$ प्राप्त होता है। दी गई शर्तों के लिए,$t = -1$ या $t = 2$।
यदि $t = 2$,तो $\alpha = \beta = \gamma$। चूँकि $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$,$\alpha + \beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow 2\alpha - 2\alpha = 0$,जो सुसंगत है।
$|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{6}$ का उपयोग करते हुए,$3\alpha^2 = 6 \Rightarrow \alpha^2 = 2$। अतः $\alpha = \pm \sqrt{2}$। $t=2$ के लिए,$t+3 = 5$।
यदि $t = -1$,तो $\alpha + \beta + \gamma = 0$। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2\gamma = 0$।
घटाने पर $3\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 0$ प्राप्त होता है। तब $\beta = -\alpha$।
$\alpha = \sqrt{3}$ के लिए,$\gamma^2 = 0$ और $(\beta + \gamma)^2 = (-\sqrt{3} + 0)^2 = 3$।
इस प्रकार,$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (1), (R) \rightarrow (4), (S) \rightarrow (5)$।

(B) यह क्षेत्र $y = \frac{1}{x}$,$y = \frac{5x-1}{4}$,और $y = \frac{17-4x}{4}$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$y = \frac{1}{x}$ और $y = \frac{5x-1}{4}$ के लिए,$4 = 5x^2 - x \implies 5x^2 - x - 4 = 0 \implies (5x+4)(x-1) = 0$. चूँकि $x > 0$,$x = 1$,इसलिए $y = 1$. बिंदु $(1, 1)$ है।
$y = \frac{1}{x}$ और $y = \frac{17-4x}{4}$ के लिए,$4 = 17x - 4x^2 \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0 \implies (4x-1)(x-4) = 0$. बिंदु $(\frac{1}{4}, 4)$ और $(4, \frac{1}{4})$ हैं।
$y = \frac{5x-1}{4}$ और $y = \frac{17-4x}{4}$ के लिए,$5x-1 = 17-4x \implies 9x = 18 \implies x = 2$,इसलिए $y = \frac{9}{4}$. बिंदु $(2, \frac{9}{4})$ है।
क्षेत्रफल $\int_{1/4}^{1} (\frac{17-4x}{4} - \frac{5x-1}{4}) dx + \int_{1}^{2} (\frac{17-4x}{4} - \frac{1}{x}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{1/4}^{1} (\frac{18-9x}{4}) dx + \int_{1}^{2} (\frac{17-4x}{4} - \frac{1}{x}) dx$.
क्षेत्रफल $= [\frac{18x}{4} - \frac{9x^2}{8}]_{1/4}^{1} + [\frac{17x}{4} - \frac{x^2}{2} - \log_e x]_{1}^{2}$.
क्षेत्रफल $= \frac{33}{8} - \log_e 4$.

(C) माना $x = \tan \theta$. समीकरण $\theta = \tan^{-1}(2x) - \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}\right)$ बन जाता है।
माना $\alpha = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}\right)$,तो $\sin(2\alpha) = \frac{6x}{9+x^2}$।
$\sin(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{2\tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha} = \frac{6x}{9+x^2}$ प्राप्त होता है।
$\tan \alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\tan \alpha = \frac{x}{3}$ या $\tan \alpha = \frac{3}{x}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: $\tan \alpha = \frac{x}{3}$. $\tan(\theta + \alpha) = 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + x/3}{1 - x^2/3} = 2x$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{4x/3}{(3-x^2)/3} = 2x \Rightarrow \frac{4x}{3-x^2} = 2x$ हो जाता है।
या तो $x=0$ या $2 = 3-x^2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x = \pm 1$।
$x=0$ के लिए,$\theta=0$। $x=1$ के लिए,$\theta=\pi/4$। $x=-1$ के लिए,$\theta=-\pi/4$।
स्थिति $II$: $\tan \alpha = 3/x$. $\tan(\theta + \alpha) = 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + 3/x}{1 - 3} = 2x \Rightarrow \frac{x^2+3}{-2x} = 2x \Rightarrow x^2+3 = -4x^2 \Rightarrow 5x^2 = -3$ प्राप्त होता है,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,वास्तविक हल $\theta \in \{0, \pi/4, -\pi/4\}$ हैं,जो कुल $3$ हल देते हैं।

(A) दिया गया है $QR = RP$ जहाँ $R = \begin{bmatrix} r_1 & r_2 \\ r_3 & r_4 \end{bmatrix}$ और $r_i \neq 0$ है।
$Q$ और $R$ का गुणा करने पर $\begin{bmatrix} xr_1 + yr_3 & xr_2 + yr_4 \\ zr_1 + 4r_3 & zr_2 + 4r_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2r_1 & 3r_2 \\ 2r_3 & 3r_4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $xr_1 + yr_3 = 2r_1 \Rightarrow (x-2)r_1 = -yr_3 \Rightarrow \frac{r_3}{r_1} = \frac{2-x}{y}$.
$2$) $zr_1 + 4r_3 = 2r_3 \Rightarrow zr_1 = -2r_3 \Rightarrow \frac{r_3}{r_1} = -\frac{z}{2}$.
इन दोनों की तुलना करने पर,$\frac{2-x}{y} = -\frac{z}{2} \Rightarrow 4-2x = -yz \Rightarrow yz = 2x-4$.
$3$) $xr_2 + yr_4 = 3r_2 \Rightarrow (x-3)r_2 = -yr_4 \Rightarrow \frac{r_4}{r_2} = \frac{3-x}{y}$.
$4$) $zr_2 + 4r_4 = 3r_4 \Rightarrow zr_2 = -r_4 \Rightarrow \frac{r_4}{r_2} = -z$.
इन दोनों की तुलना करने पर,$\frac{3-x}{y} = -z \Rightarrow 3-x = -yz \Rightarrow yz = x-3$.
$yz$ की तुलना करने पर: $2x-4 = x-3 \Rightarrow x = 1$. अतः $yz = 1-3 = -2$.
$Q$ का अभिलक्षणिक बहुपद $|Q - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & y \\ z & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - yz = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3)$.
$(A)$ $|Q-2I| = (2-2)(2-3) = 0$. सत्य।
$(B)$ $|Q-6I| = (6-2)(6-3) = 4 \times 3 = 12$. सत्य।
$(C)$ $|Q-3I| = (3-2)(3-3) = 0 \neq 15$. असत्य।
$(D)$ $yz = -2 \neq 2$. असत्य।
अतः,$(A)$ और $(B)$ सत्य हैं।

(A) $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} = \frac{6 + \frac{\sin x}{x}}{2 + \frac{\sin x}{x}}$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \frac{6+1}{2+1} = \frac{7}{3}$.
चूंकि $f(0) = \frac{7}{3}$,$f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।
$x=0$ के निकट,$f'(x) = \frac{4 \cos x(\tan x - x)}{(2x+\sin x)^2}$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,$\tan x > x$,इसलिए जब $\cos x > 0$ होता है तो $f'(x) > 0$ होता है।
स्थानीय उच्चिष्ठ तब प्राप्त होते हैं जब $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,अर्थात जब $\cos x$ का चिह्न बदलता है।
अंतराल $[\pi, 6\pi]$ और $[2\pi, 4\pi]$ के लिए जांच करने पर,विकल्प $B, C, D$ सही हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ है।
$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} + v = 1 + v^2$।
$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2 - 2v = (v - 1)^2$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dv}{(v - 1)^2} = \int \frac{dx}{x}$।
$-\frac{1}{v - 1} = \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y - x} = \ln x + C$,जो सरल होकर $\frac{x}{x - y} = \ln x + C$ हो जाता है।
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1 - 0} = \ln(1) + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,$\frac{x}{x - y} = \ln x + 1 = \ln(ex)$।
$y(e)$ के लिए: $\frac{e}{e - y(e)} = \ln(e^2) = 2 \Rightarrow e = 2e - 2y(e) \Rightarrow y(e) = \frac{e}{2}$।
$y(e^2)$ के लिए: $\frac{e^2}{e^2 - y(e^2)} = \ln(e^3) = 3 \Rightarrow e^2 = 3e^2 - 3y(e^2) \Rightarrow 3y(e^2) = 2e^2 \Rightarrow y(e^2) = \frac{2e^2}{3}$।
अंत में,$2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)} = 2 \frac{(e/2)^2}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{e^2/4}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$।

(C) मान लीजिए कि उत्पादित बल्बों की कुल संख्या $100$ है। उत्पादन अनुपात $2:2:1$ है,इसलिए $M_1, M_2$ और $M_3$ द्वारा उत्पादित बल्बों की संख्या क्रमशः $40, 40$ और $20$ है।
कुल बल्बों का $20\%$ दोषपूर्ण है,इसलिए कुल दोषपूर्ण बल्ब $= 20$ हैं।
$M_1$ के लिए,$40$ बल्बों का $15\%$ दोषपूर्ण है,इसलिए $0.15 \times 40 = 6$ बल्ब दोषपूर्ण हैं।
मान लीजिए कि $M_3$ द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण बल्बों की संख्या $x$ है। तो $M_2$ द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण बल्बों की संख्या $20 - 6 - x = 14 - x$ होगी।
यह दिया गया है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए दोषपूर्ण बल्ब के $M_2$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है,इसलिए:
$P(M_2 | \text{Defective}) = \frac{M_2 \text{ के दोषपूर्ण बल्ब}}{\text{कुल दोषपूर्ण बल्ब}} = \frac{14 - x}{20} = \frac{2}{5}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$14 - x = \frac{2}{5} \times 20 = 8$
$x = 14 - 8 = 6$.
अतः,$M_3$ कुल $20$ में से $6$ दोषपूर्ण बल्बों का उत्पादन करता है।
$M_3$ से चुने गए बल्ब के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $\frac{6}{20} = 0.3$ है।

(D) चूंकि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}, \vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{X} \vec{Y} \vec{Z}] = 0$.
इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & -1 \\ -1 & \alpha & \beta \\ \beta & -1 & \alpha \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
दूसरे सारणिक की गणना करने पर: $1(6-1) - 2(4-3) + 3(2-9) = 5 - 2 - 21 = -18 \neq 0$.
अतः,पहला सारणिक शून्य होना चाहिए: $\alpha^3 + \beta^3 + (-1)^3 - 3(\alpha)(\beta)(-1) = 0$.
$\alpha^3 + \beta^3 - 1 + 3\alpha\beta = 0 \Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 + (-1)^3 = 3\alpha\beta(-1)$.
सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ का उपयोग करने पर,हमें $(\alpha+\beta-1)(\alpha^2+\beta^2+1-\alpha\beta+\alpha+\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha, \beta > 0$,दूसरा गुणनखंड हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $\alpha+\beta-1 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha+\beta = 1$.
अतः,$\alpha+\beta-3 = 1-3 = -2$.

(B) मान लीजिए $h(x) = f(g^{-1}(x))$ है। हमें $h'(2) = f'(g^{-1}(2)) \cdot (g^{-1})'(2)$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$g^{-1}(2)$ ज्ञात करें। चूँकि $g(0) = \frac{4}{1 + e^0} = \frac{4}{2} = 2$,इसलिए $g^{-1}(2) = 0$ है।
इसके बाद,$f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 4}$ ज्ञात करें। अतः,$f'(0) = \frac{2}{4} = 0.5$ है।
अब,$(g^{-1})'(2)$ ज्ञात करें। हम जानते हैं कि $(g^{-1})'(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}$ होता है।
$g'(x) = \frac{4 \cdot (-1) \cdot e^{-2x} \cdot (-2)}{(1 + e^{-2x})^2} = \frac{8e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}$ है।
$x = 0$ पर,$g'(0) = \frac{8(1)}{(1 + 1)^2} = \frac{8}{4} = 2$ है।
इसलिए,$(g^{-1})'(2) = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
अंत में,$h'(2) = f'(0) \cdot (g^{-1})'(2) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$ है।

(A) माना $\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,या $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = \frac{1}{2}, t = 2$ और जब $x = 2, t = \frac{1}{2}$.
$\alpha = \int_2^{\frac{1}{2}} \frac{\tan ^{-1}(1/t)}{2/t^2 - 3/t + 2} \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{2x^2 - 3x + 2} dx \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2\alpha = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{2x^2 - 3x + 2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\pi/2}{2x^2 - 3x + 2} dx$
$2\alpha = \frac{\pi}{4} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{dx}{x^2 - \frac{3}{2}x + 1} = \frac{\pi}{4} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{dx}{(x - 3/4)^2 + 7/16}$
$2\alpha = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x - 3/4}{\sqrt{7}/4} \right) \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{\pi}{\sqrt{7}} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{4x - 3}{\sqrt{7}} \right) \right]_{\frac{1}{2}}^2$
$2\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{7}} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{7}} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{7}} \right) \right] = \frac{\pi}{\sqrt{7}} \tan^{-1} \left( \frac{5/\sqrt{7} + 1/\sqrt{7}}{1 - (5/\sqrt{7})(-1/\sqrt{7})} \right)$
$2\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{7}} \tan^{-1} (3\sqrt{7})$
अतः,$\sqrt{7} \tan \left( \frac{2\alpha\sqrt{7}}{\pi} \right) = \sqrt{7} \tan \left( \tan^{-1}(3\sqrt{7}) \right) = \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} = 21$.