IIT JEE 2000 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્ર માટે બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો દર (કદ પ્રતિ સેકન્ડ) $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
$y$ ઊંડાઈએ રહેલા ચોરસ છિદ્ર માટે:
ક્ષેત્રફળ $A_1 = L^2$
વેગ $v_1 = \sqrt{2gy}$
$Q_1 = L^2 \sqrt{2gy}$
$4y$ ઊંડાઈએ રહેલા ગોળાકાર છિદ્ર માટે:
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2$
વેગ $v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$
$Q_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$
આપેલ છે કે $Q_1 = Q_2$:
$L^2 \sqrt{2gy} = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$
$L^2 = 2\pi R^2$
$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$
$R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો વચ્ચેના અંતર $a$,$a$,અને $a\sqrt{2}$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{k(Q)(q)}{a} + \frac{k(q)(q)}{a} + \frac{k(Q)(q)}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kq}{a}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$Q + q + \frac{Q}{\sqrt{2}} = 0$
$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q$
$Q(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}) = -q$
$Q = \frac{-q\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$Q = \frac{-2q}{2 + \sqrt{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $\omega$ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરે ત્યારે ઉત્પન્ન થતો અસરકારક પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = iA = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{1}{2}q\omega r^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કણનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega = (mr^2)\omega = m\omega r^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2}q\omega r^2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{M}{L}$ માત્ર કણના વિદ્યુતભાર $q$ અને દળ $m$ પર આધાર રાખે છે.

(C) એસિડિક માધ્યમમાં $KI$ સાથે $K_2Cr_2O_7$ ની પ્રક્રિયામાં,$Cr$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+6$ થી બદલાઈને $+3$ થાય છે.
$Cr_2O_7^{2-} + 14H^+ + 6e^- \rightarrow 2Cr^{3+} + 7H_2O$
અહીં $Cr$ ના $2$ પરમાણુઓ સંકળાયેલા હોવાથી,ઓક્સિડેશન આંકમાં કુલ ફેરફાર $2 \times (6 - 3) = 6$ થાય છે.
તેથી,$K_2Cr_2O_7$ માટે $n$-ફેક્ટર $6$ છે.
તુલ્ય વજન = $\frac{\text{આણ્વીય દળ (MW)}}{n\text{-ફેક્ટર}} = \frac{MW}{6}$.

(B) આપેલ ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ છે.
આ રચના ક્રોમિયમ $(Cr)$ તત્વને અનુરૂપ છે,જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $24$ છે.
આઉફબાઉના સિદ્ધાંત મુજબ,અપેક્ષિત રચના $3d^4 4s^2$ છે,પરંતુ અર્ધ-પૂર્ણ $d$-કક્ષકોની વધારાની સ્થિરતાને કારણે,$4s$ કક્ષકનો એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ કક્ષકમાં જાય છે.
તેથી,$3d^5 4s^1$ એ $Cr$ ની સ્થાયી ભૂમિ અવસ્થા (ground state) છે.

(A) કોઈપણ ઓર્બિટલમાં નોડલ પ્લેનની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર,$l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p$ ઓર્બિટલ માટે,$l$ નું મૂલ્ય $1$ છે.
તેથી,$p_x$ ઓર્બિટલમાં નોડલ પ્લેનની સંખ્યા $l = 1$ છે.
$p_x$ ઓર્બિટલ માટે નોડલ પ્લેન $yz$-સમતલ છે.

(D) $S$ પરમાણુ પર $1$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મને કારણે $SF_4$ નો આકાર સી-સો (see-saw) છે.
$CF_4$ માં $C$ પરમાણુ પર $0$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સાથે ટેટ્રાહેડ્રલ ભૂમિતિ છે.
$XeF_4$ માં $Xe$ પરમાણુ પર $2$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સાથે સ્ક્વેર પ્લેનર બંધારણ છે.
તેથી,આણ્વિય આકારો અલગ છે,જેમાં અનુક્રમે $1, 0$ અને $2$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ છે.

(B) સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV_m}{RT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $STP$ પર $Z < 1$,જ્યાં $P = 1 \ atm$ અને $T = 273 \ K$.
આદર્શ વાયુ માટે,$V_{ideal} = \frac{RT}{P} = \frac{0.0821 \times 273}{1} \approx 22.4 \ L$.
કારણ કે $Z = \frac{V_{real}}{V_{ideal}} < 1$,તેથી $V_{real} < V_{ideal}$ થાય.
તેથી,$V_m < 22.4 \ L$.

(C) વરાળનું કદ = $1\ L = 10^3\ cm^3$.
$10^3\ cm^3$ વરાળનું દળ = $\text{ઘનતા} \times \text{કદ} = 0.0006\ g\ cm^{-3} \times 10^3\ cm^3 = 0.6\ g$.
$H_2O$ અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ વાસ્તવિક કદ એ સમાન દળ ધરાવતા પ્રવાહી પાણીના કદ જેટલું હોય છે.
$H_2O$ અણુઓનું વાસ્તવિક કદ = $\frac{\text{વરાળનું દળ}}{\text{પ્રવાહી પાણીની ઘનતા}} = \frac{0.6\ g}{1.0\ g\ cm^{-3}} = 0.6\ cm^3$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(U)$ નું સૂત્ર $U = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ હોવાથી,$P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \cdot \frac{RT}{M}$ મળે,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે.
તેથી,$\frac{RT}{M} = \frac{P}{d}$.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,$U = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ મળે છે.
અચળ દબાણે $(P)$,$U \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ થાય છે.

(D) આપેલ પ્રક્રિયા $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \rightleftharpoons 2NH_{3(g)}$ છે.
વાયુરૂપ નીપજો અને પ્રક્રિયકોના મોલની સંખ્યામાં ફેરફાર $\Delta n = 2 - (1 + 3) = -2$ છે.
$K_p$ અને $K_c$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_p = K_c(RT)^{\Delta n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$K_p = K_c(RT)^{-2}$ મળે.
તેથી,$K_c = \frac{K_p}{(RT)^{-2}}$.
અહીં $T = 500 \ ^oC = 500 + 273 = 773 \ K$ અને $R = 0.082 \ \text{L atm K}^{-1} \text{mol}^{-1}$ છે.
આમ,$K_c = \frac{1.44 \times 10^{-5}}{(0.082 \times 773)^{-2}}$.

(B) પ્રમાણિત એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta_r H^o$ ની ગણતરી નીચેના સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: $\Delta_r H^o = \sum \Delta H_f^o(\text{products}) - \sum \Delta H_f^o(\text{reactants})$.
પ્રક્રિયા $CO_{2(g)} + H_{2(g)} \to CO_{(g)} + H_2O_{(g)}$ માટે:
$\Delta_r H^o = [\Delta H_f^o(CO_{(g)}) + \Delta H_f^o(H_2O_{(g)})] - [\Delta H_f^o(CO_{2(g)}) + \Delta H_f^o(H_{2(g)})]$.
અહીં $\Delta H_f^o(H_{2(g)}) = 0 \ kJ \ mol^{-1}$ (તત્વની પ્રમાણિત અવસ્થા).
$\Delta_r H^o = [(-110.5) + (-241.8)] - [(-393.5) + 0]$.
$\Delta_r H^o = [-352.3] - [-393.5]$.
$\Delta_r H^o = -352.3 + 393.5 = +41.2 \ kJ$.

(D) મધ્યસ્થ પરમાણુની ઓક્સિડેશન અવસ્થા શોધવા માટે,આપણે લિગાન્ડ્સને ઓક્સિડેશન આંક આપીએ છીએ:
$MnO_4^-$ માં,$Mn + 4(-2) = -1 \implies Mn = +7$.
$Cr(CN)_6^{3-}$ માં,$Cr + 6(-1) = -3 \implies Cr = +3$.
$NiF_6^{2-}$ માં,$Ni + 6(-1) = -2 \implies Ni = +4$.
$CrO_2Cl_2$ માં,ધારો કે $Cr$ ની ઓક્સિડેશન અવસ્થા $x$ છે. $O$ એ $-2$ અને $Cl$ એ $-1$ હોવાથી,$x + 2(-2) + 2(-1) = 0 \implies x - 4 - 2 = 0 \implies x = +6$.
તેથી,$+6$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા ધરાવતી સ્પીસીઝ $CrO_2Cl_2$ છે.

(B) આઈસોઈલેક્ટ્રોનિક સ્પીસીઝ માટે,જેમ પરમાણુ ક્રમાંક ઘટે તેમ આયનીય ત્રિજ્યા વધે છે.
$F^{-}$,$O^{2-}$ અને $N^{3-}$ શ્રેણીમાં બધામાં $10$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
તેમના પરમાણુ ક્રમાંક $F (9)$,$O (8)$ અને $N (7)$ છે.
જેમ કે કેન્દ્રીય વીજભાર $F$ થી $N$ તરફ ઘટતો જાય છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન પરનું આકર્ષણ ઘટે છે અને આયનીય ત્રિજ્યા વધે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $F^{-} < O^{2-} < N^{3-}$ છે.

(A) સમૂહ $16$ ના તત્વોના હાઇડ્રાઇડ્સના ઉત્કલનબિંદુઓનો ક્રમ: $H_2O > H_2Te > H_2Se > H_2S$ છે.
$H_2O$ માં પ્રબળ આંતરઆણ્વીય હાઇડ્રોજન બંધની હાજરીને કારણે તેનું ઉત્કલનબિંદુ અસામાન્ય રીતે ઊંચું હોય છે,જે આ સમૂહના અન્ય હાઇડ્રાઇડ્સમાં જોવા મળતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ભૌમિતિક સમઘટકતા એવા સંયોજનો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમાં દ્વિબંધની આસપાસ પ્રતિબંધિત પરિભ્રમણ હોય અને જ્યાં દ્વિબંધના દરેક કાર્બન પરમાણુ બે અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલા હોય.
$1-$ફિનાઈલ$-2-$બ્યુટીન $(C_6H_5-CH_2-CH=CH-CH_3)$ માં,દ્વિબંધ ધરાવતા કાર્બન પરમાણુઓ અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલા છે,જે સિસ-ટ્રાન્સ સમઘટકતા માટે જરૂરી છે.
બાકીના વિકલ્પોમાં,દ્વિબંધ ધરાવતા કાર્બન પરમાણુઓમાંથી ઓછામાં ઓછો એક કાર્બન બે સમાન સમૂહો સાથે જોડાયેલો છે,તેથી તે ભૌમિતિક સમઘટકતા દર્શાવતા નથી.

(C) ન્યુક્લિયોફિલિસિટી એ ઇલેક્ટ્રોફાઇલને ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ દાન કરવાની ક્ષમતા છે.
આવર્ત કોષ્ટકના એક જ આવર્તમાં,જેમ વિદ્યુતઋણતા વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોફિલિસિટી ઘટે છે.
ઋણ વીજભાર ધરાવતા પરમાણુઓની વિદ્યુતઋણતાનો ક્રમ $C < N < O < F$ છે.
$CH_3^-$ માં સૌથી ઓછી વિદ્યુતઋણતા ધરાવતો પરમાણુ $(C)$ હોવાથી,તે તેના અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મને સૌથી ઓછી મજબૂતીથી જકડી રાખે છે અને તેથી તે શ્રેષ્ઠ ન્યુક્લિયોફાઇલ છે.
આમ,ન્યુક્લિયોફિલિસિટીનો ક્રમ $CH_3^- > NH_2^- > OH^- > F^-$ છે.

(C) પ્રોપીન અને પ્રોપાઇનને એમોનિયેકલ સિલ્વર નાઈટ્રેટ કસોટી દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
પ્રોપાઇન $(CH_3-C \equiv CH)$ માં ટર્મિનલ એસિડિક હાઇડ્રોજન પરમાણુ હોય છે.
ટર્મિનલ કાર્બનના $sp$ સંકરણને કારણે,હાઇડ્રોજન એસિડિક હોય છે અને તે એમોનિયેકલ $AgNO_3$ (ટોલેન્સ પ્રક્રિયક) સાથે પ્રક્રિયા કરીને સિલ્વર પ્રોપાઇનાઇડ $(CH_3-C \equiv CAg)$ ના સફેદ અવક્ષેપ આપે છે.
પ્રોપીન $(CH_3-CH=CH_2)$ માં એસિડિક હાઇડ્રોજન હોતો નથી,તેથી તે એમોનિયેકલ $AgNO_3$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને અવક્ષેપ આપતું નથી.

(A) ધારો કે $arg(z) = -\theta$,જ્યાં $\theta > 0$ અને $0 < \theta < \pi$.
કારણ કે $z$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $-z$ બીજા ચરણમાં આવશે.
$-z$ નો કોણાંક $arg(-z) = \pi - \theta$ દ્વારા મળે છે.
હવે,$arg(-z) - arg(z) = (\pi - \theta) - (-\theta)$.
$= \pi - \theta + \theta = \pi$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$ અને $C(2, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1+3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંતઃકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અંતઃકેન્દ્ર $= \left( \frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \left( 1, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) વક્ર $y = f(x)$ ના કોઈ બિંદુ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ અભિલંબ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = \frac{3\pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ અને સ્પર્શકનો ઢાળ $(f'(x))$ વચ્ચેનો સંબંધ $m_n = -\frac{1}{f'(x)}$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(3)$ છે.
તેથી,$-1 = -\frac{1}{f'(3)}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $f'(3) = 1$ મળે છે.

(A) $K_p$ અને $K_c$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K_p = K_c(RT)^{\Delta n}$.
$K_c$ માટે સૂત્ર: $K_c = K_p / (RT)^{\Delta n}$.
પ્રક્રિયા $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \rightleftharpoons 2NH_{3(g)}$ માટે,વાયુના મોલનો ફેરફાર $\Delta n = 2 - (1 + 3) = -2$.
તાપમાન $T = 500 \, ^\circ C = 500 + 273 = 773 \, K$.
વાયુ અચળાંક $R = 0.082 \, \text{L atm K}^{-1} \text{mol}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $K_c = 1.44 \times 10^{-5} / (0.082 \times 773)^{-2}$.

(D) મધ્યગા $PS$ એ શિરોબિંદુ $P$ ને બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $S$ સાથે જોડે છે.
મધ્યબિંદુ $S = \left( \frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, 1 \right)$.
$PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1 - 2}{\frac{13}{2} - 2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$.
$(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $PS$ ને સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ $m = -\frac{2}{9}$ થશે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$.
$9(y + 1) = -2(x - 1) \implies 9y + 9 = -2x + 2$.
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) સંકરણ નક્કી કરવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [V + M - C + A]$,જ્યાં $V$ એ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે,$M$ એ એકસંયોજક પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$C$ એ ધન વીજભાર છે,અને $A$ એ ઋણ વીજભાર છે.
$1$. $NO_2^+$ માટે: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [5 + 0 - 1 + 0] = 2$,જે $sp$ સંકરણ દર્શાવે છે.
$2$. $NO_3^-$ માટે: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [5 + 0 - 0 + 1] = 3$,જે $sp^2$ સંકરણ દર્શાવે છે.
$3$. $NH_4^+$ માટે: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [5 + 4 - 1 + 0] = 4$,જે $sp^3$ સંકરણ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો ક્રમ અનુક્રમે $sp$,$sp^2$,અને $sp^3$ છે.

(A) આલ્કીનનું ઉદ્દીપકીય હાઇડ્રોજનીકરણ તેની સ્થિરતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વધારે વિસ્થાપિત આલ્કીન વધુ સ્થિર હોય છે,તેથી તે $H_2$ સાથે ધીમી પ્રક્રિયા કરે છે.
આલ્કીનની સ્થિરતાનો ક્રમ: ટેટ્રાસબસ્ટીટ્યુટેડ > ટ્રાયસબસ્ટીટ્યુટેડ > ડાયસબસ્ટીટ્યુટેડ > મોનોસબસ્ટીટ્યુટેડ.
તેથી,પ્રતિક્રિયાશીલતાનો ક્રમ: મોનોસબસ્ટીટ્યુટેડ > ડાયસબસ્ટીટ્યુટેડ > ટ્રાયસબસ્ટીટ્યુટેડ > ટેટ્રાસબસ્ટીટ્યુટેડ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલ્કીનમાં સૌથી ઓછા $R$ સમૂહ (સૌથી વધુ $H$ પરમાણુ) હશે તે સૌથી ઝડપથી પ્રક્રિયા કરશે.

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_1 = 1, f_1 = k, c_1 = 6$
વર્તુળ $2$: $g_2 = 0, f_2 = k, c_2 = k$
શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$2k^2 = 6 + k$
$2k^2 - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2k + 3)(k - 2) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = -\frac{3}{2}$.

(B) બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,${\log _a}b = \frac{{\log b}}{{\log a}}$.
આ સૂત્રને પદાવલિમાં લાગુ કરતા:
${\log _3}4 \times {\log _4}5 \times {\log _5}6 \times {\log _6}7 \times {\log _7}8 \times {\log _8}9 = \frac{{\log 4}}{{\log 3}} \times \frac{{\log 5}}{{\log 4}} \times \frac{{\log 6}}{{\log 5}} \times \frac{{\log 7}}{{\log 6}} \times \frac{{\log 8}}{{\log 7}} \times \frac{{\log 9}}{{\log 8}}$
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને દૂર કરતા:
$= \frac{{\log 9}}{{\log 3}}$
$= {\log _3}9$
$= {\log _3}({3^2})$
$= 2{\log _3}3$
$= 2(1) = 2$.

(D) તારની રેખીય દળ ઘનતા $\rho$ છે.
$L$ લંબાઈના તારનું કુલ દળ $M = \rho L$ છે.
તારને વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવતા,તેનો પરિઘ $2\pi R = L$ થાય,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ મળે.
વર્તુળાકાર રિંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$XX'$ અક્ષ (જે લૂપને સ્પર્શક છે અને વ્યાસને સમાંતર છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$.
તેથી,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$M = \rho L$ અને $R = \frac{L}{2\pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}\rho L \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ઊર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ગતિઊર્જા $(KE)$: $KE = -E_n = \frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n > 1)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,તેમ $n$ ઘટે છે,તેથી $KE$ વધે છે.
$2$. સ્થિતિઊર્જા $(U)$: $U = 2E_n = -\frac{27.2}{n^2} \text{ eV}$. જેમ $n$ ઘટે છે,તેમ $|U|$ નું મૂલ્ય વધે છે,પરંતુ $U$ ઋણ હોવાથી,$U$ ની કિંમત વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે તે ઘટે છે.
$3$. કુલ ઊર્જા $(E)$: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$. જેમ $n$ ઘટે છે,તેમ $|E_n|$ નું મૂલ્ય વધે છે,પરંતુ $E_n$ ઋણ હોવાથી,$E_n$ ની કિંમત વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે તે ઘટે છે.
તેથી,ગતિઊર્જા વધે છે,જ્યારે સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જા ઘટે છે.

(C) ભૌમિતિક સમઘટકતા દર્શાવવા માટે,$C=C$ દ્વિબંધના દરેક કાર્બન પરમાણુ બે અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલા હોવા જોઈએ.
$1-$ફિનાઇલ$-2-$બ્યુટીન $(C_6H_5-CH_2-CH=CH-CH_3)$ માં,દ્વિબંધના કાર્બન પરમાણુઓ અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલા છે ($H$ અને $CH_3$ એક બાજુ; $H$ અને $CH_2C_6H_5$ બીજી બાજુ).
તેથી,તે $cis-$ અને $trans-$ સમઘટકો તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે.

(A) કિરણ સપાટી $CD$ માંથી બહાર આવે તે માટે,તેણે સપાટી $AD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવવું જોઈએ નહીં. મર્યાદિત સ્થિતિ એ છે કે સપાટી $AD$ પરનો આપાતકોણ $(r_2)$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ.
સપાટી $AB$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_2 \sin \alpha_{\max} = n_1 \sin r_1 \Rightarrow \sin \alpha_{\max} = \frac{n_1}{n_2} \sin r_1$ --- $(i)$
સ્લેબની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,$r_1 + r_2 = 90^{\circ}.$ કિરણ $CD$ માંથી બહાર આવે તે માટે,$r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{n_2}{n_1}.$
આમ,$r_1 = 90^{\circ} - C = 90^{\circ} - \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right).$
સમીકરણ $(i)$ માં $r_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha_{\max} = \sin^{-1}\left[\frac{n_1}{n_2} \sin\left(90^{\circ} - \sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}\right)\right]$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta,$
$\alpha_{\max} = \sin^{-1}\left[\frac{n_1}{n_2} \cos\left(\sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}\right)\right].$

(A) નોડલ પ્લેન એ એક કાલ્પનિક સમતલ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે.
કોણીય નોડ્સ (નોડલ પ્લેન) ની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p$-ઓર્બિટલ માટે,$l$ નું મૂલ્ય $1$ છે. તેથી,તેમાં $1$ નોડલ પ્લેન હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$p_x$ ઓર્બિટલ માટે,નોડલ પ્લેન $yz$-સમતલ છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા શૂન્ય હોય છે.

(B) આપેલ ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ છે.
આ રચના ક્રોમિયમ ($Cr$,પરમાણુ ક્રમાંક $24$) તત્વની છે.
આઉફબાઉના સિદ્ધાંત મુજબ,અપેક્ષિત રચના $3d^4 4s^2$ છે,પરંતુ અર્ધ-ભરાયેલી $d$-કક્ષકોની વધારાની સ્થિરતાને કારણે,$4s$ કક્ષકનો એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ કક્ષકમાં જાય છે.
આ તટસ્થ પરમાણુ માટે સૌથી સ્થિર ગોઠવણી હોવાથી,તે તેની ભૂમિ અવસ્થા (ground state) દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $Q$ થી $M$ નું અંતર $d$ છે. બિંદુ $M$ એ $QR$ ના વિસ્તરણ પર આવેલું છે. તેથી,$QR$ વિભાગને કારણે $M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_1$ માત્ર $PQ$ વિભાગને કારણે છે. અર્ધ-અનંત વાયર માટે બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વાયરના છેડાથી $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ મળે છે.
બીજા કિસ્સામાં,વાહક $QS$ ઉમેરવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I$ એ $Q$ પાસે વિભાજિત થાય છે. $PQ$ અને $QS$ એક જ રેખામાં હોવાથી અને $QR$ તેમને લંબ હોવાથી,પ્રવાહ $I$ એ $PQ$ માં $I/2$ અને $QS$ માં $I/2$ તરીકે વહેંચાય છે. $QR$ વિભાગમાં હવે કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
$M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_2$ એ $PQ$ અને $QS$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$H_2 = H_{PQ} + H_{QS} + H_{QR}$
$H_{PQ} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$
$H_{QS} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$ (કારણ કે $M$ એ $QS$ ની રેખા પર $Q$ થી $d$ અંતરે છે)
$H_{QR} = 0$
આમ,$H_2 = \frac{1}{2} H_1 + \frac{1}{2} H_1 = H_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $H_1/H_2 = 1$ થાય છે.

(D) ધારો કે બે ચુંબકો $1$ અને $2$ છે. બિંદુ $P$ દરેક ચુંબકના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે છે.
ચુંબક $1$ માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે. ચુંબક $1$ ને કારણે $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ છે.
ચુંબક $2$ માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે. ચુંબક $2$ ને કારણે $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ છે.
અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{\left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{5}M}{d^3}$.

(D) પાણીના પ્રવાહનો દર (કદ પ્રતિ સેકન્ડ) સાતત્યના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = A v$.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ચોરસ છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_1 = L^2$,ઊંડાઈ $h_1 = y$. તેથી,$v_1 = \sqrt{2gy}$.
પ્રવાહ દર $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$.
ગોળાકાર છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2$,ઊંડાઈ $h_2 = 4y$. તેથી,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$.
પ્રવાહ દર $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$.
આપેલ છે કે પ્રવાહ દર સમાન છે,તેથી $Q_1 = Q_2$:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2gy}$ વડે ભાગતા,આપણને $L^2 = 2\pi R^2$ મળે છે.
$R$ માટે ઉકેલતા,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વીય હોવાથી,તેમની એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ સમાન છે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે,તેથી $v_s \propto \sqrt{\frac{1}{M}}$.
તેથી,વાયુ $1$ માં ધ્વનિની ઝડપ અને વાયુ $2$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ થાય.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
કેન્દ્રથી $r > a$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માટે,આપણે ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર માર્ગ વિચારીએ છીએ.
આ વર્તુળાકાર માર્ગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ એ માત્ર $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે: $\phi_B = B(t) \cdot \pi a^2$.
ફેરાડેના નિયમના સંકલન સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા:
$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right| = \pi a^2 \frac{dB}{dt}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$E = \frac{a^2}{2r} \frac{dB}{dt}$.
અહીં $a$ અને $\frac{dB}{dt}$ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ એ $\frac{1}{r}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{1}{r}$ મુજબ ઘટે છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
કેન્દ્રથી $r > a$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માટે,આપણે ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર માર્ગ વિચારીએ છીએ.
સંમિતિ દ્વારા,આ માર્ગ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ અચળ રહે છે અને $\vec{E}$ એ માર્ગને સ્પર્શક છે.
તેથી,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$.
આ માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ ફક્ત $a$ ત્રિજ્યાના પ્રદેશ સુધી મર્યાદિત છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે:
$\Phi_B = B(t) \cdot (\pi a^2)$
તેથી,$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right| = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$ મળે છે.
ચોક્કસ સમય માટે $a$ અને $\frac{dB}{dt}$ અચળ હોવાથી,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $E \propto \frac{1}{r}$.
આમ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{1}{r}$ મુજબ ઘટે છે.

(B) ધારો કે બે તાર $XX'$ અક્ષ પર $x = -d$ અને $x = +d$ સ્થાન પર છે. બંને કાગળના સમતલની બહારની દિશામાં $I$ પ્રવાહ વહન કરે છે.
એક તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાગળમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$x = -d$ પરના તાર માટે,ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+d)}$ છે ($x > -d$ માટે ઉપરની તરફ).
$x = +d$ પરના તાર માટે,ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x-d)}$ છે ($x > d$ માટે ઉપરની તરફ,પરંતુ $x < d$ માટે નીચેની તરફ).
મધ્યબિંદુ $(x=0)$ પર,ક્ષેત્રો સમાન અને વિરુદ્ધ છે,તેથી કુલ ક્ષેત્ર $0$ છે.
$x = -d$ ની ડાબી બાજુએ,બંને ક્ષેત્રો નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે. $x = +d$ ની જમણી બાજુએ,બંને ક્ષેત્રો ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તારની વચ્ચે,ક્ષેત્રો એકબીજાનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે એક વળાંક મળે છે જે કેન્દ્રમાં શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે અને ચિહ્ન બદલે છે. સાચો આલેખ વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $C_6H_5CH_2NH_2$ (બેન્ઝાઈલએમાઈન) માં,નાઈટ્રોજન પરમાણુ પરના અબંધકારક ઈલેક્ટ્રોન યુગ્મ (lone pair) સ્થાનિકીકૃત છે કારણ કે તે બેન્ઝીન વલય સાથે સંસ્પંદનમાં નથી.
અન્ય વિકલ્પોમાં,નાઈટ્રોજન પરનું ઈલેક્ટ્રોન યુગ્મ બેન્ઝીન વલય સાથે સંસ્પંદનને કારણે વિસ્થાનિકીકૃત થાય છે,જે બેઝિકતા ઘટાડે છે.
વધુમાં,$-NO_2$ સમૂહ એ ઈલેક્ટ્રોન આકર્ષક સમૂહ છે જે એનિલિન વ્યુત્પન્નોની બેઝિકતામાં વધુ ઘટાડો કરે છે.
તેથી,$C_6H_5CH_2NH_2$ સૌથી પ્રબળ બેઇઝ છે.

(B) કેપેસિટરને ત્રણ કેપેસિટરોના સંયોજન તરીકે જોઈ શકાય છે. $K_1$ અને $K_2$ ધરાવતો ભાગ એકબીજા સાથે સમાંતરમાં છે,અને આ સંયોજન $K_3$ ધરાવતા ભાગ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/2) K_1}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 A K_1}{d}$
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2) K_2}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 A K_2}{d}$
ત્રીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_3 = \frac{\varepsilon_0 A K_3}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A K_3}{d}$
$C_1$ અને $C_2$ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2)$ છે.
હવે,$C_p$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે,તેથી સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{\varepsilon_0 A (K_1 + K_2)} + \frac{d}{2 \varepsilon_0 A K_3}$
જો એક જ ડાયઇલેક્ટ્રિક $K$ નો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$,તેથી $\frac{1}{C} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A}$.
$\frac{1}{C}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{d}{K \varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3} \right)$
તેથી,$\frac{1}{K} = \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3}$.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{n_L}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1$ ઋણ છે અને $R_2$ ધન છે,તેથી $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) < 0$ થાય.
લેન્સ પ્રકાશને અપસારી કરે તે માટે,તેણે અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોવી જોઈએ.
આ માટે $(\frac{n_L}{n_m} - 1) > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $n_L > n_m$.
આપેલ છે કે $n_2 > n_1 > 1$,જો લેન્સને $L_2$ $(n_L = n_2)$ વડે ભરવામાં આવે અને $L_1$ $(n_m = n_1)$ માં ડૂબાડવામાં આવે,તો $n_L > n_m$ ની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,લેન્સ પ્રકાશના સમાંતર કિરણપુંજને અપસારી કરશે.

(B) પ્રક્રિયા માટે પ્રમાણિત એન્થાલ્પી ફેરફારનું સૂત્ર: $\Delta H^o = \sum \Delta H_f^o(\text{products}) - \sum \Delta H_f^o(\text{reactants})$.
પ્રક્રિયા $CO_{2(g)} + H_{2(g)} \to CO_{(g)} + H_2O_{(g)}$ માટે:
$\Delta H^o = [\Delta H_f^o(CO_{(g)}) + \Delta H_f^o(H_2O_{(g)})] - [\Delta H_f^o(CO_{2(g)}) + \Delta H_f^o(H_{2(g)})]$.
અહીં $\Delta H_f^o(H_{2(g)}) = 0 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
$\Delta H^o = [-110.5 + (-241.8)] - [-393.5 + 0]$.
$\Delta H^o = -352.3 + 393.5 = 41.2 \ kJ$.

(B) ધારો કે બંને તત્વો માટે રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર તત્વ $X_1$ માટે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_1(t) = N_0 e^{-10 \lambda t}$ છે.
સમય $t$ પર તત્વ $X_2$ માટે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
તેમના પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-9 \lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ગુણોત્તર $\frac{1}{e} = e^{-1}$ થાય છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-9 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{9 \lambda}$.

(D) વક્ર $y=f(x)$ ના કોઈ બિંદુ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $\tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ અભિલંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $\tan \left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ અને સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\text{અભિલંબનો ઢાળ} = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ મળે છે.
આથી,$f^{\prime}(3) = 1$ થાય.

(C) '$m$' દળ ધરાવતો કણ '$r$' ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં '$\omega$' કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતો હોય ત્યારે તેનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega = (mr^2)\omega$ થાય છે.
પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર સાથે સંકળાયેલી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = IA$ છે,જ્યાં $I$ એ સમતુલ્ય પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi/\omega} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
તેથી,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{1}{2}q\omega r^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2}q\omega r^2}{mr^2\omega} = \frac{q}{2m}$ થાય છે.
આમ,આ ગુણોત્તર માત્ર કણના વિદ્યુતભાર '$q$' અને દળ '$m$' પર આધાર રાખે છે.

(A) વોલ્યુમ ફ્લો રેટ (પ્રતિ સેકન્ડ પાણીનો જથ્થો) $Q = A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ચોરસ છિદ્ર માટે: $A_1 = L^2$ અને $v_1 = \sqrt{2gy}$.
તેથી,$Q_1 = L^2 \sqrt{2gy}$.
ગોળાકાર છિદ્ર માટે: $A_2 = \pi R^2$ અને $v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$.
તેથી,$Q_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$.
આપેલ છે કે $Q_1 = Q_2$,તેથી:
$L^2 \sqrt{2gy} = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$
$L^2 = 2\pi R^2$
$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$
$R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$.

(A) વક્ર $y=f(x)$ ના બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ અભિલંબ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = 3\pi/4$ આપેલ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(3\pi/4) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ અને વિકલિત વચ્ચેનો સંબંધ $m_n = -1/f'(x_0)$ છે.
આપેલ બિંદુ $(3,4)$ નો ઉપયોગ કરતા,$m_n = -1/f'(3)$ મળે.
અભિલંબના ઢાળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-1/f'(3) = -1$.
આથી,$f'(3) = 1$ મળે છે.

(C) Hall-Heroult પ્રક્રિયામાં એલ્યુમિના $(Al_2O_3)$ નું વિદ્યુતવિભાજનીય રિડક્શન થાય છે.
શુદ્ધ એલ્યુમિનાનું ગલનબિંદુ ખૂબ ઊંચું હોય છે અને તે વિદ્યુતનું મંદ વાહક છે.
આ સમસ્યાને દૂર કરવા માટે,એલ્યુમિનાને ક્રાયોલાઈટ $(Na_3AlF_6)$ અને ફ્લોસ્પાર $(CaF_2)$ ના પીગળેલા મિશ્રણમાં ઓગાળવામાં આવે છે.
આ મિશ્રણ બે મુખ્ય કાર્યો કરે છે:
$1$. તે મિશ્રણનું ગલનબિંદુ ઘટાડીને આશરે $1240 \ K$ કરે છે.
$2$. તે પીગળેલા મિશ્રણની વિદ્યુત વાહકતા વધારે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) એમોનિયા $(NH_3)$ એક બેઝિક વાયુ છે.
બેઝિક વાયુને સૂકવવા માટે,આપણે બેઝિક સૂકવણીકારકનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
જો એસિડિક સૂકવણીકારકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો તે એમોનિયા સાથે પ્રક્રિયા કરીને ક્ષાર બનાવશે.
$CaCl_2$ એ $NH_3$ સાથે એડક્ટ $(CaCl_2 \cdot 8NH_3)$ બનાવે છે.
$P_2O_5$ અને $H_2SO_4$ એસિડિક છે અને તે $NH_3$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને એમોનિયમ ક્ષાર બનાવે છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $CaO$ (ક્વિકલાઈમ) એકમાત્ર યોગ્ય બેઝિક સૂકવણીકારક છે.

(C) ચક્રીય મેટાફોસ્ફોરિક એસિડનું સૂત્ર $(HPO_3)_3$ અથવા $H_3P_3O_9$ છે.
તેની ચક્રીય રચનામાં,ત્રણ $PO_4$ ટેટ્રાહેડ્રા ઓક્સિજન પરમાણુઓ દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે.
આ રચનામાં $P$ અને $O$ પરમાણુઓની એકાંતરે ગોઠવણી ધરાવતી છ-સભ્યની રીંગ હોય છે,જેના પરિણામે $3$ $P-O-P$ બંધ બને છે.

(D) આપેલ પ્રક્રિયા માટે,વેગનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $\text{Rate} = k [N_2O_5]$.
અહીં વેગ અચળાંક $k = 3 \times 10^{-5} \, s^{-1}$ અને પ્રક્રિયાનો વેગ $2.40 \times 10^{-5} \, mol \, L^{-1} \, s^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2.40 \times 10^{-5} = (3 \times 10^{-5}) \times [N_2O_5]$
$[N_2O_5]$ માટે ગણતરી કરતા:
$[N_2O_5] = \frac{2.40 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-5}} = 0.8 \, mol \, L^{-1}$.

(B) $M|M^{+}||X^{-}|X$ કોષ માટે કોષ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
એનોડ (ઓક્સિડેશન): $M \to M^{+} + e^{-}$,${E^{o}}_{ox} = -0.44 \ V$
કેથોડ (રિડક્શન): $X + e^{-} \to X^{-}$,${E^{o}}_{red} = 0.33 \ V$
કોષ પ્રક્રિયા: $M + X \to M^{+} + X^{-}$
${E^{o}}_{cell} = {E^{o}}_{cathode} - {E^{o}}_{anode} = 0.33 \ V - 0.44 \ V = -0.11 \ V$
${E^{o}}_{cell}$ ઋણ હોવાથી,પુરોગામી પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ નથી.
તેથી,પ્રતિગામી પ્રક્રિયા,$M^{+} + X^{-} \to M + X$,સ્વયંભૂ છે.

(D) . પ્રથમ,કાર્બન જે દળેલા હેમેટાઇટ અયસ્ક સાથે ઉમેરવામાં આવે છે તેનું $CO$ (અને $CO_2$) માં ઓક્સિડેશન થાય છે.
બીજું,ઉત્પન્ન થયેલ $CO$ એ હેમેટાઇટ $(Fe_2O_3)$ ના આયર્નમાં રિડક્શન માટે મુખ્ય રિડક્શનકર્તા તરીકે કાર્ય કરે છે,જેને પછી સ્ટીલમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.

(B) આ પ્રક્રિયામાં હાઈડ્રોક્સિલ ગ્રુપ $(-OH)$ ની હાજરીમાં કીટોન ગ્રુપ $(-COCH_3)$ નું આલ્કાઈલ ગ્રુપ $(-CH_2CH_3)$ માં રિડક્શન થાય છે.
$1$. $Zn(Hg), HCl$ એ ક્લેમેન્સન રિડક્શન માટેનો પ્રક્રિયક છે,જે એસિડિક છે. એસિડિક પરિસ્થિતિમાં,$-OH$ ગ્રુપ નિર્જલીકરણ (dehydration) પામીને આલ્કીન બનાવી શકે છે.
$2$. $NH_2NH_2, OH^-$ એ વુલ્ફ-કિશનર રિડક્શન માટેનો પ્રક્રિયક છે,જે બેઝિક છે. $-OH$ ગ્રુપ બેઝિક પરિસ્થિતિમાં સ્થિર રહે છે.
તેથી,આ રૂપાંતરણ માટે $NH_2NH_2, OH^-$ યોગ્ય પ્રક્રિયક છે.

(B) $2, 4-$હેક્ઝેનડાયોન એ $1, 3-$ડાયકીટોન છે,જેમાં બે કાર્બોનિલ સમૂહોની વચ્ચે સક્રિય મિથિલીન હાઇડ્રોજન હોય છે.
આ હાઇડ્રોજન સૌથી વધુ એસિડિક છે કારણ કે પરિણામી કાર્બેનિયન બંને કાર્બોનિલ સમૂહો સાથે રેઝોનન્સ દ્વારા સ્થિર થાય છે.
$\text{CH}_3-\text{C}(=\text{O})-\text{CH}_2-\text{C}(=\text{O})-\text{CH}_2\text{CH}_3$ $\xrightarrow{-\text{H}^+} \text{CH}_3-\text{C}(=\text{O})-\text{CH}^--\text{C}(=\text{O})-\text{CH}_2\text{CH}_3$.
ઋણ વીજભાર બે ઓક્સિજન પરમાણુઓ પર વિસ્થાનિકૃત થાય છે,જે અન્ય વિકલ્પોની તુલનામાં નોંધપાત્ર સ્થિરતા પ્રદાન કરે છે.

(A) એસિડિક પરિસ્થિતિમાં આલ્કોહોલનું નિર્જલીકરણ કાર્બોકેટાયન મધ્યવર્તીના નિર્માણ દ્વારા થાય છે. નિર્જલીકરણની સરળતા રચાયેલા કાર્બોકેટાયનની સ્થિરતા અને સંયુગ્મિત પ્રણાલી બનાવવાની ક્ષમતા પર આધાર રાખે છે. $\beta$-હાઈડ્રોક્સી કાર્બોનિલ સંયોજનો (આલ્ડોલ) ખાસ કરીને નિર્જલીકરણ માટે સંવેદનશીલ હોય છે કારણ કે પરિણામી ઉત્પાદન $\alpha, \beta$-અસંતૃપ્ત કાર્બોનિલ સંયોજન છે,જે $C=C$ દ્વિબંધ અને $C=O$ કાર્બોનિલ જૂથ વચ્ચેના સંયુગ્મન દ્વારા સ્થિર થાય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $A$ એ $\beta$-હાઈડ્રોક્સીકીટોન (આલ્ડોલ) દર્શાવે છે,જે સ્થિર સંયુગ્મિત પ્રણાલી બનાવવા માટે સૌથી સરળતાથી નિર્જલીકરણ પામશે.

(C) બેન્ઝોઈક એસિડ,થાયોનાઈલ ક્લોરાઈડ $(SOCl_2)$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને બેન્ઝોઈલ ક્લોરાઈડ બનાવે છે. પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_6H_5COOH + SOCl_2 \rightarrow C_6H_5COCl + SO_2 + HCl$
આ પદ્ધતિ પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે આડપેદાશો ($SO_2$ અને $HCl$) વાયુ સ્વરૂપે હોય છે,જે દૂર થઈ જાય છે,અને શુદ્ધ નીપજ બાકી રહે છે.

(D) એ એલિફેટિક એમાઇન છે; તેથી તે એરોમેટિક એમાઇન કરતા વધુ પ્રબળ બેઇઝ છે.
એરોમેટિક એમાઇન્સમાં,નાઇટ્રોજન પરમાણુ પરના અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ બેન્ઝીન વલય સાથે સંસ્પંદનમાં ભાગ લે છે,જે પ્રોટોનેશન માટે તેની પ્રાપ્યતા ઘટાડે છે.
વધુમાં,$o$,$p$ અને $m$-સ્થાન પર ઇલેક્ટ્રોન આકર્ષક સમૂહ $(-NO_2)$ $-I$ અને $-M$ અસરને કારણે બેઝિક ગુણધર્મ ઘટાડે છે.
$C_6H_5CH_2NH_2$ એ એલિફેટિક એમાઇન હોવાથી,તે સૌથી વધુ બેઝિક છે.
બેઝિકતાનો ક્રમ: $(D) > (A) > (C) > (B)$ છે.

(D) $S_{N}2$ પ્રક્રિયામાં,પ્રક્રિયાનો દર લિવિંગ ગ્રુપની દૂર થવાની ક્ષમતા પર આધાર રાખે છે.
લિવિંગ ગ્રુપની ક્ષમતા $C-X$ બંધની મજબૂતી અને હેલાઈડ આયન $(X^-)$ ની સ્થિરતા દ્વારા નક્કી થાય છે.
હેલોજનનું કદ વધવાની સાથે બંધની મજબૂતી ઘટે છે $(C-F > C-Cl > C-Br > C-I)$.
પરિણામે,આયોડાઈડ આયન $(I^-)$ શ્રેષ્ઠ લિવિંગ ગ્રુપ છે કારણ કે તે સૌથી નિર્બળ બેઝ છે,જ્યારે ફ્લોરાઈડ આયન $(F^-)$ સૌથી નબળું લિવિંગ ગ્રુપ છે.
તેથી,$S_{N}2$ પ્રક્રિયા માટે પ્રતિક્રિયાત્મકતાનો ક્રમ $RI > RBr > RCl > RF$ છે.

(A) આલ્ડોલ ($\beta$-હાઇડ્રોક્સી આલ્ડિહાઇડ અથવા $\beta$-હાઇડ્રોક્સી કીટોન) એસિડિક અથવા બેઝિક પરિસ્થિતિમાં નિર્જલીકરણ પામીને $\alpha,\beta$-અસંતૃપ્ત કાર્બોનિલ સંયોજનો બનાવે છે.
આનું કારણ એ છે કે પરિણામી દ્વિબંધ કાર્બોનિલ જૂથ સાથે સંયુગ્મિત (conjugated) હોય છે,જે નીપજને નોંધપાત્ર સ્થિરતા આપે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$4$-હાઇડ્રોક્સી-$2$-પેન્ટેનોન એ $\beta$-હાઇડ્રોક્સી કીટોન છે.
હાઇડ્રોક્સિલ જૂથના પ્રોટોનેશન અને ત્યારબાદ પાણીના અણુના દૂર થવાથી,તે એક સ્થિર સંયુગ્મિત પ્રણાલી બનાવે છે.
અન્ય વિકલ્પો કાં તો સાદા આલ્કોહોલ છે અથવા $\gamma$-હાઇડ્રોક્સી કીટોન છે,જે $\beta$-હાઇડ્રોક્સી કાર્બોનિલ સંયોજનો જેટલી સરળતાથી સંયુગ્મિત પ્રણાલી બનાવતા નથી.