IIT JEE 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) सम्मिश्र संख्या $-1-i$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। मुख्य कोणांक $\arg(-1-i) = -\pi + \arctan(1) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ है। अतः,कथन $(A)$ $FALSE$ है।
$(B)$ $f(t) = \arg(-1+it)$। जब $t > 0$ होता है,तो $\arg(-1+it) = \pi - \arctan(t)$। जब $t < 0$ होता है,तो $\arg(-1+it) = -\pi + \arctan(|t|)$। $t \to 0$ के लिए,बाईं ओर की सीमा $-\pi$ है और दाईं ओर की सीमा $\pi$ है। इसलिए,यह $t=0$ पर असतत है। कथन $(B)$ $FALSE$ है।
$(C)$ कोणांक के गुणधर्म के अनुसार,$\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2) + 2k\pi$। यह एक मानक सर्वसमिका है। कथन $(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ शर्त $\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ यह दर्शाती है कि बिंदु $z, z_1, z_2, z_3$ एक वृत्त पर स्थित हैं। बिंदुपथ एक वृत्त है,सीधी रेखा नहीं। कथन $(D)$ $FALSE$ है।
अतः,असत्य कथन $(A), (B)$ और $(D)$ हैं।

(B) दिया है: $PQ = 10\sqrt{3}$,$QR = 10$,और $\angle PQR = 30^{\circ}$.
$PR$ ज्ञात करने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2(PQ)(QR)\cos(30^{\circ})$
$PR^2 = (10\sqrt{3})^2 + 10^2 - 2(10\sqrt{3})(10)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$PR^2 = 300 + 100 - 300 = 100$
$PR = 10$.
चूंकि $PR = QR = 10$,त्रिभुज समद्विबाहु है जिसमें $\angle QPR = \angle PQR = 30^{\circ}$.
अतः,$\angle QRP = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. इस प्रकार,कथन $(B)$ सत्य है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times PQ \times QR \times \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} \times 10 \times \frac{1}{2} = 25\sqrt{3}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{10\sqrt{3} + 10 + 10}{2} = 5\sqrt{3} + 10$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\text{Area}}{s} = \frac{25\sqrt{3}}{5\sqrt{3} + 10} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 10\sqrt{3} - 15$. इस प्रकार,कथन $(C)$ सत्य है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{10\sqrt{3} \times 10 \times 10}{4 \times 25\sqrt{3}} = \frac{1000\sqrt{3}}{100\sqrt{3}} = 10$.
परिवृत्त का क्षेत्रफल = $\pi R^2 = \pi(10)^2 = 100\pi$. इस प्रकार,कथन $(D)$ सत्य है।
अतः,कथन $(B), (C), (D)$ सत्य हैं।

(B) माना व्यंजक $E = \left(\left(\log _2 9\right)^2\right)^{\frac{1}{\log _2\left(\log _2 9\right)}} \times(\sqrt{7})^{\frac{1}{\log _4 7}}$ है।
गुणधर्म $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\left(\left(\log _2 9\right)^2\right)^{\log_{\log_2 9} 2} = (\log_2 9)^{2 \log_{\log_2 9} 2} = (\log_2 9)^{\log_{\log_2 9} 2^2} = 2^2 = 4$ हो जाता है।
दूसरे पद के लिए,$\frac{1}{\log_4 7} = \log_7 4$ है। अतः,$(\sqrt{7})^{\log_7 4} = (7^{1/2})^{\log_7 4} = 7^{\frac{1}{2} \log_7 4} = 7^{\log_7 4^{1/2}} = 4^{1/2} = 2$ है।
अतः,$E = 4 \times 2 = 8$।

(A) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य हों।
दिए गए अंकों के समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से बनने वाली दो अंकों की संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,वे हैं: $12, 24, 32, 44, 52$।
अतः,अंतिम दो अंकों के लिए $5$ विकल्प हैं।
$5$-अंकीय संख्या में,पहले $3$ स्थानों को $5$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।
पहले $3$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या = $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$।
चूंकि अंतिम दो अंकों के लिए $5$ विकल्प हैं,इसलिए कुल $5$-अंकीय संख्याओं की संख्या = $125 \times 5 = 625$ है।

(B) $X$ का $n$-वां पद $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ है। $n=2018$ के लिए,$a_{2018} = 10086$ है।
$Y$ का $n$-वां पद $b_n = 9 + (n-1)7 = 7n + 2$ है। $n=2018$ के लिए,$b_{2018} = 14128$ है।
उभयनिष्ठ पद $X \cap Y$ के लिए $5n - 4 = 7m + 2$ होता है,जो $5n = 7m + 6$ दर्शाता है। सबसे छोटा हल $n=4, m=2$ है,जो $16$ देता है। सार्व अंतर $\text{lcm}(5, 7) = 35$ है।
उभयनिष्ठ पद $16, 51, 86, \dots$ हैं। सामान्य पद $c_k = 16 + (k-1)35 = 35k - 19$ है।
हमें $c_k \leq 10086$ चाहिए: $35k - 19 \leq 10086 \implies 35k \leq 10105 \implies k \leq 288.71$।
अतः,$n(X \cap Y) = 288$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार: $n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y) = 2018 + 2018 - 288 = 3748$।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ है।
$a$ से भाग देने पर,$\sqrt{3} \cos x + \frac{2b}{a} \sin x = \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं:
$\sqrt{3} \cos \alpha + \frac{2b}{a} \sin \alpha = \frac{c}{a} \quad (1)$
$\sqrt{3} \cos \beta + \frac{2b}{a} \sin \beta = \frac{c}{a} \quad (2)$
$(1) - (2)$ करने पर:
$\sqrt{3}(\cos \alpha - \cos \beta) + \frac{2b}{a}(\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} \left( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \frac{2b}{a} \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 0$
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$।
$\sin \frac{\alpha - \beta}{2} \neq 0$ से भाग देने पर:
$-\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{6} + \frac{2b}{a} \cos \frac{\pi}{6} = 0$
$-\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{2b}{a} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$।

(A,D) $(1)$ वृत्त $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P_0(1,1)$ वृत्त के अंदर स्थित है।
$x$-अक्ष के समानांतर जीवा $E_1E_2$ के लिए,$y=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+1=4 \implies x^2=3 \implies x=\pm\sqrt{3}$। अतः $E_1(-\sqrt{3}, 1)$ और $E_2(\sqrt{3}, 1)$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $xx_1+yy_1=4$ है। $E_1, E_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $-x\sqrt{3}+y=4$ और $x\sqrt{3}+y=4$ हैं। हल करने पर $E_3(0, 4)$ प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष के समानांतर जीवा $F_1F_2$ के लिए,$x=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने पर: $1+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$। अतः $F_1(1, \sqrt{3})$ और $F_2(1, -\sqrt{3})$ हैं।
$F_1, F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $x+y\sqrt{3}=4$ और $x-y\sqrt{3}=4$ हैं। हल करने पर $F_3(4, 0)$ प्राप्त होता है।
$P_0(1,1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली जीवा $G_1G_2$ के लिए,रेखा $y-1=-1(x-1) \implies x+y=2$ है। $x^2+y^2=4$ के साथ प्रतिच्छेदन: $x^2+(2-x)^2=4 \implies 2x^2-4x=0 \implies x=0, 2$। अतः $G_1(0, 2)$ और $G_2(2, 0)$ हैं।
$G_1(0, 2)$ पर स्पर्श रेखा $y=2$ है। $G_2(2, 0)$ पर स्पर्श रेखा $x=2$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $G_3(2, 2)$ है।
बिंदु $E_3(0, 4), F_3(4, 0), G_3(2, 2)$ सभी $x+y=4$ को संतुष्ट करते हैं। सही विकल्प $(A)$ है।
$(2)$ मान लीजिए $P(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ है। स्पर्श रेखा $x\cos\theta+y\sin\theta=2$ है। अंतःखंड $M(2/\cos\theta, 0)$ और $N(0, 2/\sin\theta)$ हैं।
मध्य-बिंदु $(h, k) = (1/\cos\theta, 1/\sin\theta)$ है।
अतः $\cos\theta=1/h$ और $\sin\theta=1/k$ है। चूँकि $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ है,हमारे पास $1/h^2+1/k^2=1 \implies h^2+k^2=h^2k^2$ है।
बिंदुपथ $x^2+y^2=x^2y^2$ है। सही विकल्प $(D)$ है।

(A, C) $(1)$ $5$ छात्रों को $5$ सीटों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n(S) = 5! = 120$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि $S_1$ को सीट $R_1$ मिलती है और शेष $4$ छात्रों में से किसी को भी उनकी मूल सीट नहीं मिलती है।
यह $4$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n(A) = D_4 = 4! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right) = 9$.
$P(A) = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$.
$(2)$ मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि $S_i$ और $S_{i+1}$ बगल में बैठते हैं। हमें $P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = 1 - P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4)$ ज्ञात करना है।
गणना के अनुसार,ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या जहाँ कोई भी दो क्रमिक छात्र एक साथ न हों,$14$ है।
अतः,$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = \frac{14}{120} = \frac{7}{60}$.

(D) माना $M \equiv (h, k)$। चूंकि $MP$ और $MQ$ वृत्तों $S_1$ और $S_2$ पर स्पर्श रेखाएं हैं और $M$ स्पर्श बिंदु है,इसलिए $MP = MQ$। साथ ही,$\angle PMQ = 90^{\circ}$।
अतः,$MP$ की प्रवणता $\times MQ$ की प्रवणता $= -1$।
$\left(\frac{k-7}{h+2}\right) \times \left(\frac{k+5}{h-2}\right) = -1$
$(k-7)(k+5) = -(h+2)(h-2)$
$k^2 - 2k - 35 = -(h^2 - 4) = -h^2 + 4$
$h^2 + k^2 - 2k - 39 = 0$। अतः,$E_1: x^2 + y^2 - 2y - 39 = 0$।
$E_2$ के लिए,माना $E_1$ की जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,अर्थात $xh + yk - (y + k) - 39 = h^2 + k^2 - 2k - 39$।
चूंकि यह $R(1, 1)$ से गुजरती है,$h + k - (1 + k) - 39 = h^2 + k^2 - 2k - 39 \Rightarrow h^2 + k^2 - h - 2k + 1 = 0$।
विकल्पों की जांच करने पर: $(D)$ $(0, 3/2)$ के लिए $0 + 9/4 - 3 - 39 \neq 0$,इसलिए यह $E_1$ में नहीं है। अतः $(D)$ सत्य है।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{\frac{1}{2}(1 + m^2)}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{m^2} = \frac{1 + m^2}{2} \Rightarrow 2 = m^2 + m^4 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$,इसलिए $m^2 = 1$,जो $m = \pm 1$ देता है।
स्पर्शरेखाएं $y = x + 1$ और $y = -x - 1$ हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(-1, 0)$ है।
दूरी $OQ = 1$,जो अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 1$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = \sqrt{2}$ है,इसलिए $b = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{1}{2}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1/2)}{1} = 1$। अतः,$(A)$ सत्य है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - x^2)} dx = \sqrt{2} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.
$= \sqrt{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \sqrt{2} \left( (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) \right)$.
$= \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{8}(\pi - 2) = \frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$। अतः,$(C)$ सत्य है।

(A) मान लीजिए $z = x + iy$,$s = s_1 + is_2$,$t = t_1 + it_2$,और $r = r_1 + ir_2$ है।
समीकरण $sz + t\bar{z} + r = 0$ इस प्रकार हो जाता है:
$(s_1 + is_2)(x + iy) + (t_1 + it_2)(x - iy) + (r_1 + ir_2) = 0$
$(s_1x - s_2y + t_1x + t_2y + r_1) + i(s_2x + s_1y - t_2x + t_1y + r_2) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$(s_1 + t_1)x + (t_2 - s_2)y + r_1 = 0$
$(s_2 - t_2)x + (s_1 + t_1)y + r_2 = 0$
यह $x$ और $y$ में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली है। गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = (s_1 + t_1)^2 + (t_2 - s_2)^2 = |s + t|^2$ है।
यदि $|s| \neq |t|$,तो $D \neq 0$,जो एक अद्वितीय हल (एक बिंदु) देता है।
यदि $|s| = |t|$,रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती। यदि $L$ में एक से अधिक अवयव हैं,तो यह एक रेखा है (अनंत अवयव)।
एक रेखा और एक वृत्त का प्रतिच्छेदन अधिकतम $2$ बिंदुओं पर होता है। अतः,$A, B, C, D$ सभी सत्य हैं।

(D) दी गई अभिव्यक्ति $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2$ है।
गुणधर्म ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$X = \sum_{r=1}^{10} (10-r) \left({ }^{10} C_{10-r}\right)^2 = \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2$ है।
$X$ के दोनों रूपों को जोड़ने पर:
$2X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2 + \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2 = 10 \sum_{r=0}^{10} \left({ }^{10} C_r\right)^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sum_{r=0}^{n} ({ }^{n} C_r)^2 = { }^{2n} C_n$ का उपयोग करते हुए,$2X = 10 \cdot { }^{20} C_{10}$ मिलता है।
अतः,$X = 5 \cdot { }^{20} C_{10}$ है।
चूंकि ${ }^{20} C_{10} = 184756$,इसलिए $X = 5 \times 184756 = 923780$ है।
अंत में,$\frac{X}{1430} = \frac{923780}{1430} = 646$।

(C) $(i)$ $\alpha_1 = {^6C_3} \times {^5C_2} = 20 \times 10 = 200$. अतः,$P \rightarrow 4$.
$(ii)$ $\alpha_2 = \sum_{k=1}^{5} {^6C_k} \times {^5C_k} = ({^6C_1} \times {^5C_1}) + ({^6C_2} \times {^5C_2}) + ({^6C_3} \times {^5C_3}) + ({^6C_4} \times {^5C_4}) + ({^6C_5} \times {^5C_5}) = 30 + 150 + 200 + 75 + 6 = 461$. अतः,$Q \rightarrow 6$.
$(iii)$ $\alpha_3 = \text{कुल तरीके} - (0 \text{ लड़कियाँ} + 1 \text{ लड़की}) = {^{11}C_5} - ({^5C_0} \times {^6C_5} + {^5C_1} \times {^6C_4}) = 462 - (6 + 75) = 381$. अतः,$R \rightarrow 5$.
$(iv)$ $\alpha_4 = \text{कम से कम } 2 \text{ } \text{लड़कियों वाले कुल तरीके} - M_1, G_1 \text{ } \text{दोनों के उपस्थित होने वाले तरीके} = 215 - 26 = 189$. अतः,$S \rightarrow 2$.

(A) संयुग्मी अक्ष के शीर्ष $L(0, b)$ और $M(0, -b)$ हैं। अतिपरवलय का शीर्ष $N(a, 0)$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $LM = 2b$ है।
$\triangle LMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2b) \times a = ab = 4\sqrt{3}$ है।
चूँकि $\angle LNM = 60^{\circ}$ है,कोण $\angle LNO = 30^{\circ}$ है (जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।
$\triangle LNO$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{OL}{ON} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $a = b\sqrt{3}$ है।
$a = b\sqrt{3}$ को $ab = 4\sqrt{3}$ में रखने पर,हमें $b(b\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः $a = 2\sqrt{3}$ है।
$P$. संयुग्मी अक्ष की लंबाई $= 2b = 2(2) = 4$ है।
$Q$. उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
$R$. नाभियों के बीच की दूरी $= 2ae = 2(2\sqrt{3})(\frac{2}{\sqrt{3}}) = 8$ है।
$S$. नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$P$ $\rightarrow 4, Q$ $\rightarrow 3, R$ $\rightarrow 1, S$ $\rightarrow 2$ है।

(A) मान लीजिए प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,यह दोनों समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, 1, -1)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$ के लंबवत है।
अतः,दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$3$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $1, -1, 1$ प्राप्त होते हैं। अतः,$(A)$ गलत है।
$(B)$ के लिए,रेखा $\frac{x - 4/3}{3} = \frac{y - 1/3}{-3} = \frac{z}{3}$ है,जिसके दिक अनुपात $1, -1, 1$ हैं। यह प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,लंबवत नहीं। अतः,$(B)$ गलत है।
$(C)$ के लिए,$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(2) + (-1)(1)|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$। अतः,$\theta = 60^{\circ}$। $(C)$ सही है।
$(D)$ के लिए,$P_3$ का अभिलंब $(1, -1, 1)$ है। समीकरण $x - y + z = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1, 1)$ की $x - y + z = 0$ से दूरी $\frac{|2 - 1 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। $(D)$ सही है।

(D) दिया गया है $f : R \rightarrow [-2, 2]$ और $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$। सह-प्रांत $[-2, 2]$ होने के कारण,फलन अचर नहीं हो सकता। अतः,$f(x)$ को किसी छोटे अंतराल में वर्धमान या ह्रासमान होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि ऐसे $r, s \in R$ मौजूद हैं जहाँ $r < s$ ताकि $f$,$(r, s)$ पर एकैकी हो।
$(B)$ अंतराल $[-4, 0]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,ऐसा $x_0 \in (-4, 0)$ मिलता है कि $f'(x_0) = \frac{f(0) - f(-4)}{4}$। चूंकि $|f(x)| \leq 2$,इसलिए $|f'(x_0)| = \left| \frac{f(0) - f(-4)}{4} \right| \leq \frac{2 + 2}{4} = 1$। अतः,$|f'(x_0)| \leq 1$।
$(C)$ मान लीजिए $f(x) = \sin(\sqrt{85}x)$। तब $f(0) = 0$ और $f'(x) = \sqrt{85}\cos(\sqrt{85}x)$,इसलिए $f'(0) = \sqrt{85}$। हालाँकि,$\lim_{x \rightarrow \infty} \sin(\sqrt{85}x)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(C)$ गलत है।
$(D)$ $g(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$ परिभाषित करें। तब $g'(x) = 2f(x)f'(x) + 2f'(x)f''(x) = 2f'(x)(f(x) + f''(x))$। $g(0) = 85$ और $|f(x)| \leq 2$ तथा $|f'(x)| \leq 1$ ($LMVT$ तर्क द्वारा) होने के कारण,$g(x)$ का $(-4, 4)$ में एक अधिकतम मान होगा। अधिकतम बिंदु $\alpha$ पर,$g'(\alpha) = 0$। चूंकि $f'(x)$ हर जगह शून्य नहीं हो सकता,इसलिए ऐसा $\alpha$ मौजूद है कि $f'(\alpha) \neq 0$ और $f(\alpha) + f''(\alpha) = 0$।

(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) = e^{f(x)} e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$।
$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-f(x)} f^{\prime}(x) = e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int e^{-f(x)} f^{\prime}(x) dx = \int e^{-g(x)} g^{\prime}(x) dx$ प्राप्त होता है।
इससे $-e^{-f(x)} = -e^{-g(x)} + C$,या $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ प्राप्त होता है।
शर्त $f(1) = 1$ और $g(2) = 1$ का उपयोग करके,हम स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $e^{-g(1)} - e^{-f(1)} = e^{-g(2)} - e^{-f(2)}$ है।
दिए गए मान $f(1) = 1$ और $g(2) = 1$ रखने पर,हमें $e^{-g(1)} - e^{-1} = e^{-1} - e^{-f(2)}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^{-f(2)} + e^{-g(1)} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^{-f(2)} > 0$ और $e^{-g(1)} > 0$,इसलिए $e^{-f(2)} < \frac{2}{e}$ और $e^{-g(1)} < \frac{2}{e}$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-f(2) < \ln(2) - 1$,जिसका अर्थ है $f(2) > 1 - \ln(2)$।
इसी प्रकार,$-g(1) < \ln(2) - 1$,जिसका अर्थ है $g(1) > 1 - \ln(2)$।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.
$e^x$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $e^{-x} f(x) = (1 - 2x)e^{-x} + \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -2e^{-x} - (1 - 2x)e^{-x} + e^{-x} f(x)$.
सरल करने पर,$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x)$,अतः $f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (f(x) e^{-2x}) = (2x - 3)e^{-2x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) e^{-2x} = \int (2x - 3)e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} + \int e^{-2x} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C = -x e^{-2x} + e^{-2x} + C$.
इस प्रकार,$f(x) = -x + 1 + C e^{2x}$.
मूल समीकरण से,$x=0$ पर,$f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$. $f(x)$ में रखने पर,$1 = 0 + 1 + C$,अतः $C = 0$.
इसलिए,$f(x) = 1 - x$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(1) = 1 - 1 = 0 \neq 2$. $(A)$ गलत है।
$(B)$ $f(2) = 1 - 2 = -1$. $(B)$ सही है।
$(C)$ क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x)) dx = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x - x + \frac{x^2}{2}]_0^1 = (0 + \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{1}{2}) - (0) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi-2}{4}$. $(C)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=1}^{\infty} x^{i+1} = \frac{x^2}{1-x}$,$\sum_{i=1}^{\infty} (\frac{x}{2})^i = \frac{x}{2-x}$,$\sum_{i=1}^{\infty} (-\frac{x}{2})^i = \frac{-x}{2+x}$,और $\sum_{i=1}^{\infty} (-x)^i = \frac{-x}{1+x}$.
दिया गया समीकरण $A=B$ में परिवर्तित हो जाता है।
$\frac{x^2}{(1-x)(2-x)} = \frac{x}{(1+x)(2+x)}$
$x=0$ एक हल है। अन्य हल के लिए $x^3+2x^2+5x-2=0$ प्राप्त होता है।
$f(x) = x^3+2x^2+5x-2$ के लिए $f(0)=-2$ और $f(1/2) > 0$ है,अतः अंतराल $(0, 1/2)$ में एक हल है।
कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) हमारे पास $y_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{r=1}^n (n+r) \right)^{\frac{1}{n}} = \left( \prod_{r=1}^n (1 + \frac{r}{n}) \right)^{\frac{1}{n}}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(y_n) = \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \ln(1 + \frac{r}{n})$.
जैसे ही $n \rightarrow \infty$,यह एक रीमान योग बन जाता है:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \ln(y_n) = \int_0^1 \ln(1+x) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int_0^1 \ln(1+x) dx = 2 \ln 2 - 1 = \ln(4/e)$.
अतः,$\ln(L) = \ln(4/e)$,जिसका अर्थ है $L = 4/e$.
चूंकि $e \approx 2.718$,$L = 4/2.718 \approx 1.47$.
इसलिए,$[L] = [1.47] = 1$.

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।
चूंकि $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})$ है,इसलिए हमारे पास $\vec{c} \cdot \vec{a} = x$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = y$ है।
यह दिया गया है कि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \alpha = 2(1) \cos \alpha = 2 \cos \alpha$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = 2 \cos \alpha$ है।
अतः,$x = y = 2 \cos \alpha$ है।
अब,$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}))$ है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2$ है।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 90^{\circ} = 1$ है,इसलिए हमें $4 = x^2 + y^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$x = y = 2 \cos \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$4 = (2 \cos \alpha)^2 + (2 \cos \alpha)^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$4 = 4 \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 \alpha + 1$ है।
$3 = 8 \cos^2 \alpha$ है।
अतः,$8 \cos^2 \alpha$ का मान $3$ है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $P(0,0)$,$Q(1,1)$ और $R(2,0)$ हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PR \times Q \text{ का } y-\text{निर्देशांक} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \text{ इकाई}^2$.
भुजा $PQ$,$x \in [0, 1]$ के लिए रेखा $y = x$ पर स्थित है।
किसान $F_2$ द्वारा लिया गया क्षेत्रफल,$x = 0$ से $x = 1$ तक रेखा $y = x$ और वक्र $y = x^n$ के बीच का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (x - x^n) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$.
यह दिया गया है कि यह क्षेत्रफल $\triangle PQR$ के क्षेत्रफल का $30\%$ है,इसलिए:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} = \frac{30}{100} \times 1 = \frac{3}{10}$.
$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
अतः,$n + 1 = 5$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास $f_n(x) = \sum_{j=1}^n \tan^{-1}\left(\frac{(x+j)-(x+j-1)}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f_n(x) = \sum_{j=1}^n (\tan^{-1}(x+j) - \tan^{-1}(x+j-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
अतः,$\tan(f_n(x)) = \frac{(x+n)-x}{1+(x+n)x} = \frac{n}{1+x^2+nx}$.
$(C)$ के लिए,$\lim_{x \rightarrow \infty} \tan(f_n(x)) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n}{1+x^2+nx} = 0$. इसलिए $(C)$ $FALSE$ है।
$(D)$ के लिए,$\lim_{x \rightarrow \infty} \sec^2(f_n(x)) = 1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \tan^2(f_n(x)) = 1 + 0 = 1$. इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।
$(A)$ के लिए,$f_j(0) = \tan^{-1}(j) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}(j)$. अतः $\tan^2(f_j(0)) = j^2$. $\sum_{j=1}^5 j^2 = 1+4+9+16+25 = 55$. इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ के लिए,$f_j'(x) = \frac{1}{1+(x+j)^2} - \frac{1}{1+x^2}$. $f_j'(0) = \frac{1}{1+j^2} - 1 = \frac{-j^2}{1+j^2}$.
तब $1+f_j'(0) = 1 - \frac{j^2}{1+j^2} = \frac{1}{1+j^2}$.
साथ ही $\sec^2(f_j(0)) = 1 + \tan^2(f_j(0)) = 1+j^2$.
इसलिए $(1+f_j'(0)) \sec^2(f_j(0)) = \frac{1}{1+j^2} \cdot (1+j^2) = 1$.
$\sum_{j=1}^{10} 1 = 10$. इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।
सही विकल्प $(A), (B), (D)$ हैं।

(A) समीकरण प्रणाली का कम से कम एक हल होने के लिए,सारणिक $\Delta \neq 0$ होना चाहिए या यदि $\Delta = 0$ है,तो $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होना चाहिए।
दी गई प्रणाली के लिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -1(-8+6) - 2(4-3) + 5(-4+4) = 2 - 2 + 0 = 0$.
हल के लिए,$\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होना आवश्यक है।
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} b_1 & 2 & 5 \\ b_2 & -4 & 3 \\ b_3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -2b_1 - 14b_2 + 26b_3 = 0$,अर्थात $b_1 + 7b_2 - 13b_3 = 0$.
अतः,$S = \{ [b_1, b_2, b_3]^T : b_1 + 7b_2 - 13b_3 = 0 \}$.
प्रत्येक विकल्प के लिए,यदि $\Delta \neq 0$ है,तो अद्वितीय हल प्राप्त होता है।
$(A)$ $\Delta = 12 \neq 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
$(B)$ $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
$(C)$ $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
$(D)$ $\Delta = 54 \neq 0$,अतः हल प्राप्त होता है।
अतः,$(A), (B), (C), (D)$ सभी सही हैं।

(C) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$.
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \cos t - f^{\prime}(t) \sin x}{1} = \sin^2 x$.
$t = x$ रखने पर:
$f(x) \cos x - f^{\prime}(x) \sin x = \sin^2 x$.
$\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x) \sin x - f(x) \cos x}{\sin^2 x} = -1$.
यह $\frac{f(x)}{\sin x}$ का अवकलज है:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{\sin x} \right) = -1$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{\sin x} = -x + C$.
$f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{-\pi/12}{1/2} = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -x \sin x$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ असत्य है।
$(B)$ सत्य है।
$(C)$ सत्य है।
$(D)$ सत्य है।

(C) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{1+\sqrt{3}}{((x+1)^2(1-x)^6)^{1/4}} dx$ है।
समाकल्य का सरलीकरण: $((x+1)^2(1-x)^6)^{1/4} = (x+1)^{1/2}(1-x)^{3/2} = (1-x)^2 \left(\frac{x+1}{1-x}\right)^{1/2}$।
अतः,$I = \int_0^{1/2} \frac{1+\sqrt{3}}{\left(\frac{x+1}{1-x}\right)^{1/2} (1-x)^2} dx$।
माना $t = \frac{x+1}{1-x}$ है। तब $dt = \frac{(1-x)(1) - (x+1)(-1)}{(1-x)^2} dx = \frac{1-x+x+1}{(1-x)^2} dx = \frac{2}{(1-x)^2} dx$।
इस प्रकार,$\frac{dx}{(1-x)^2} = \frac{dt}{2}$।
जब $x=0$,तब $t=1$। जब $x=1/2$,तब $t = \frac{1.5}{0.5} = 3$।
$I = \int_1^3 \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \int_1^3 t^{-1/2} dt$।
$I = \frac{1+\sqrt{3}}{2} [2\sqrt{t}]_1^3 = (1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = 3-1 = 2$।

(D) मान लीजिए $P = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।
एक $3 \times 3$ आव्यूह का सारणिक $3$ अवयवों के $6$ गुणनफलों का योग होता है।
$\{-1, 0, 1\}$ में अवयव रखने वाले $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,सारणिक का अधिकतम मान $4$ ज्ञात है।
यह देखने के लिए कि $4$ अधिकतम मान क्यों है,निम्नलिखित आव्यूह पर विचार करें:
$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक की गणना करने पर:
$\det(P) = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - (-1)) + 0(-1 - (-1))$
$\det(P) = 1(2) + 1(2) + 0 = 4$.
अतः,अधिकतम संभव मान $4$ है।

(B) समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ से समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ तक एकैकी फलनों की संख्या $\alpha$,$P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ द्वारा दी जाती है।
समुच्चय $Y$ $(|Y|=7)$ से समुच्चय $X$ $(|X|=5)$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $\beta$,$5! \times S(7, 5)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $S(7, 5)$ दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।
$S(7, 5) = \frac{1}{5!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^k \binom{5}{k} (5-k)^7 = \frac{1}{120} [1 \times 5^7 - 5 \times 4^7 + 10 \times 3^7 - 10 \times 2^7 + 5 \times 1^7] = 140$.
अतः,$\beta = 120 \times 140 = 16800$.
हमें $\frac{1}{5!} (\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$ की गणना करनी है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (5y+2)(5y-2) = 25y^2 - 4$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{25y^2 - 4} = dx$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(5y-2)(5y+2)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} \right)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} \right) dy = \int dx$.
$\frac{1}{20} \ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} \right| = x + C$.
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर: $\frac{1}{20} \ln |\frac{-2}{2}| = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} \right| = 20x$.
$\frac{5y-2}{5y+2} = -e^{20x}$ (क्योंकि $x=0$ पर मान $-1$ है)।
$y$ के लिए हल करने पर: $5y-2 = -5ye^{20x} - 2e^{20x} \Rightarrow 5y(1+e^{20x}) = 2(1-e^{20x})$.
$y = \frac{2}{5} \frac{1-e^{20x}}{1+e^{20x}}$.
जैसे ही $x \rightarrow -\infty$,$e^{20x} \rightarrow 0$ होता है।
इसलिए,$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \frac{2}{5} \times \frac{1-0}{1+0} = \frac{2}{5} = 0.40$.

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ और $f(0)=1$ है।
दिए गए समीकरण में $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$f(0+0)=f(0)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)f(0)$
$f(0)=2f(0)f^{\prime}(0)$
चूँकि $f(0)=1$,इसलिए $1=2(1)f^{\prime}(0)$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ है।
अब,मूल समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$f(x+0)=f(x)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x)f(0)$
$f(x)=f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$
$f^{\prime}(x) = f(x) - \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}f(x)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$
$\ln(f(x)) = \frac{x}{2} + C$।
$f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = 0 + C$ प्राप्त होता है,इसलिए $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^{x/2}$ है।
अंत में,हम $\log _e(f(4))$ की गणना करते हैं:
$f(4) = e^{4/2} = e^2$।
$\log _e(f(4)) = \log _e(e^2) = 2$।

(A) माना $P \equiv (x_0, y_0, z_0)$ है।
समतल $x+y=3$ के लंबवत और $P$ से गुजरने वाली रेखा $\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{0} = k$ है।
प्रतिबिंब $Q$,$\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{0} = -2 \frac{x_0+y_0-3}{1^2+1^2} = -(x_0+y_0-3)$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x_Q = 3-y_0$ और $y_Q = 3-x_0$ है।
चूंकि $Q$,$z$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $x_Q = 0$ और $y_Q = 0$,जिसका अर्थ है $x_0 = 3$ और $y_0 = 3$ है।
$x$-अक्ष से $P(3, 3, z_0)$ की दूरी $\sqrt{y_0^2 + z_0^2} = 5$ है।
$y_0 = 3$ रखने पर,$\sqrt{3^2 + z_0^2} = 5$,जिससे $9 + z_0^2 = 25$,जो $z_0^2 = 16$ देता है,अतः $z_0 = 4$ ($P$ प्रथम अष्टांश में है)।
$P$ बिंदु $(3, 3, 4)$ है। $xy$-समतल में $P$ का प्रतिबिंब $R$,$(3, 3, -4)$ है।
$PR$ की लंबाई $(3, 3, 4)$ और $(3, 3, -4)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - (-4)| = 8$ है।

(C) घन के शीर्ष $O(0,0,0), P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1)$ और $T(1,1,1)$ हैं। केंद्र $S$ का निर्देशांक $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
सदिशों की गणना:
$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP} = (1-\frac{1}{2})\hat{i} + (0-\frac{1}{2})\hat{j} + (0-\frac{1}{2})\hat{k} = \frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ} = (0-\frac{1}{2})\hat{i} + (1-\frac{1}{2})\hat{j} + (0-\frac{1}{2})\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR} = (0-\frac{1}{2})\hat{i} + (0-\frac{1}{2})\hat{j} + (1-\frac{1}{2})\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST} = (1-\frac{1}{2})\hat{i} + (1-\frac{1}{2})\hat{j} + (1-\frac{1}{2})\hat{k} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$
सदिश गुणन (Cross Product) की गणना:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$
अब,$|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})| = |(\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}) \times (-\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j})| = |\frac{1}{4}(\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{j})| = |\frac{1}{4}(2\hat{k})| = |\frac{1}{2}\hat{k}| = 0.5$

(A) $1$. $E_1$ के लिए,$\frac{x}{x-1} > 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
$2$. $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ के लिए,$x \in E_1$ के लिए $u = \frac{x}{x-1}$ का परिसर $(0, 1) \cup (1, \infty)$ है। अतः,$\log_e(u)$ का मान $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ है। इसलिए,$P \rightarrow 4$.
$3$. $E_2$ के लिए,हमें $-1 \leq \log_e(\frac{x}{x-1}) \leq 1 \implies \frac{1}{e} \leq \frac{x}{x-1} \leq e$ की आवश्यकता है।
$\frac{x}{x-1} \geq \frac{1}{e} \implies \frac{ex - x + 1}{e(x-1)} \geq 0 \implies x \in (-\infty, \frac{1}{1-e}] \cup (1, \infty)$ हल करने पर।
$\frac{x}{x-1} \leq e \implies \frac{x - ex + e}{x-1} \leq 0 \implies \frac{x(1-e) + e}{x-1} \leq 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup [\frac{e}{e-1}, \infty)$ हल करने पर।
सर्वनिष्ठ लेने पर $x \in (-\infty, \frac{1}{1-e}] \cup [\frac{e}{e-1}, \infty)$ प्राप्त होता है। इसलिए,$S \rightarrow 1$.
$4$. $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ का परिसर। चूँकि $\log_e(\frac{x}{x-1})$ का मान $0$ को छोड़कर $[-1, 1]$ के सभी मान लेता है,इसलिए $g$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \setminus \{0\}$ है। इसमें $(0, 1)$ शामिल है। इसलिए,$Q \rightarrow 2$.
$5$. $f$ का प्रांत $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ है,जिसमें $(-\infty, \frac{1}{1-e}] \cup [\frac{e}{e-1}, \infty)$ शामिल है। इसलिए,$R \rightarrow 1$.

(B) $(P)$ $f_1(x) = \sin(\sqrt{1-e^{-x^2}})$. $x=0$ पर,$f_1(0) = 0$. $f_1'(x) = \frac{x e^{-x^2} \cos(\sqrt{1-e^{-x^2}})}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}$. $x \to 0$ के लिए,$f_1'(x) \to 0$. अतः,$f_1$ $x=0$ पर अवकलनीय है। विकल्पों को देखते हुए,$P \to 4$ सही है।
$(Q)$ $f_2(x) = \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x}$. $\lim_{x \to 0^+} f_2(x) = 1$ और $\lim_{x \to 0^-} f_2(x) = -1$. $LHL \neq RHL$ होने के कारण,$f_2$ $x=0$ पर सतत नहीं है। इसलिए $Q \to 1$.
$(R)$ $f_3(x) = [\sin(\log_e(x+2))]$. $x \in (-1, e^{\pi/2}-2)$ के लिए,$f_3(x) = 0$. यह एक अचर फलन है,इसलिए यह हर जगह अवकलनीय है। विकल्पों के अनुसार,$R \to 2$ लिया गया है।
$(S)$ $f_4(x) = x^2 \sin(1/x)$. $f_4'(0) = 0$. $x \neq 0$ के लिए,$f_4'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$. $x \to 0$ के लिए,$f_4'(x)$ का अस्तित्व नहीं है। इसलिए $f_4$ $x=0$ पर अवकलनीय है लेकिन इसका अवकलज सतत नहीं है। इसलिए $S \to 3$.