IIT JEE 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) परवलय $y^2 = 12x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{3}{m}$ है।
इस रेखा के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,इसे $c^2 = a^2m^2 + b^2$ शर्त को पूरा करना होगा,जहाँ $c = \frac{3}{m}$,$a^2 = 6$,और $b^2 = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{3}{m})^2 = 6m^2 + 3 \implies \frac{9}{m^2} = 6m^2 + 3 \implies 3 = 2m^4 + m^2 \implies 2m^4 + m^2 - 3 = 0$ है।
मान लीजिए $u = m^2$,तो $2u^2 + u - 3 = 0 \implies (2u + 3)(u - 1) = 0$ है। चूँकि $u = m^2 > 0$,इसलिए $m^2 = 1$,जिसका अर्थ है $m = \pm 1$ है।
स्पर्श रेखाएँ $y = x + 3$ और $y = -x - 3$ हैं। दोनों $x$-अक्ष पर $(-3, 0)$ पर मिलती हैं। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
$T_1: y = x + 3$ के लिए,$P$ पर स्पर्श बिंदु $A_1(3, 6)$ है और $E$ पर $A_2(-2, 1)$ है।
$T_2: y = -x - 3$ के लिए,$P$ पर स्पर्श बिंदु $A_4(3, -6)$ है और $E$ पर $A_3(-2, -1)$ है।
चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ $A_1 A_4$ (लंबाई $6 - (-6) = 12$) और $A_2 A_3$ (लंबाई $1 - (-1) = 2$) हैं। ऊँचाई $x = 3$ और $x = -2$ के बीच की दूरी है,जो $3 - (-2) = 5$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (12 + 2) \times 5 = \frac{1}{2} \times 14 \times 5 = 35$ वर्ग इकाई है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(B) दिया गया समुच्चय $X = \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} < 1 \text{ और } y^2 < 5x\}$ है।
सीमा समीकरणों $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} = 1$ और $y^2 = 5x$ को हल करने पर,$y^2 = 5x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2}{8} + \frac{5x}{20} = 1 \implies \frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} = 1 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0$. चूँकि $y^2 < 5x$ है,इसलिए $x > 0$ होना चाहिए,अतः $x = 2$. $x = 2$ के लिए,$y^2 < 10$,इसलिए $y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. $x = 1$ के लिए,$y^2 < 5$,इसलिए $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
समुच्चय $X$ में $12$ बिंदु हैं: $X = \{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, -3), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$.
$3$ बिंदु चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ होता है। चूँकि बिंदु रेखाओं $x=1$ और $x=2$ पर स्थित हैं,यदि आधार की लंबाई सम संख्या है तो क्षेत्रफल पूर्णांक होगा।
अनुकूल मामलों की गणना करने पर: $46 + 22 + 5 = 73$.
अतः,प्रायिकता $\frac{73}{220}$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है। $P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
$x$-अक्ष के लिए,$y = 0$ रखने पर,$0 = -tx + 2at + at^3$,जिससे $x = 2a + at^2$ प्राप्त होता है। अतः,$Q$ $(2a + at^2, 0)$ है।
नाभि $F$ $(a, 0)$ है।
$\triangle PFQ$ का क्षेत्रफल $= a^2|t|(1 + t^2)$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -t$ है,इसलिए $t = -m$। चूँकि $m > 0$,इसलिए $|t| = m$।
क्षेत्रफल $= a^2 m(1 + m^2) = 120$।
यदि $a = 2$ और $m = 3$ लें,तो क्षेत्रफल $= 2^2 \times 3(1 + 3^2) = 4 \times 3(10) = 120$।
अतः,युग्म $(a, m)$ $(2, 3)$ है।

(C) मान लीजिए $k$-वां पद $T_k = 75 \ldots 57$ है।
$9S = 75 \ldots 57 + 1210$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m = 1210$ और $n = 9$ है।
अतः $m + n = 1210 + 9 = 1219$.

(A) दिया गया है $A = \frac{1967 + 1686 i \sin \theta}{7 - 3 i \cos \theta}$।
अंश से $281$ उभयनिष्ठ लेने पर: $A = \frac{281(7 + 6 i \sin \theta)}{7 - 3 i \cos \theta}$।
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7 + 3 i \cos \theta)$ से गुणा करने पर:
$A = \frac{281(49 + 21 i \cos \theta + 42 i \sin \theta - 18 \sin \theta \cos \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta}$।
$A$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$21 \cos \theta + 42 \sin \theta = 0 \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$।
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ का उपयोग करके,$\sin 2 \theta = -\frac{4}{5}$ और $\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $A$ के वास्तविक भाग में रखने पर:
$A = \frac{281(49 - 9 \sin 2 \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta} = \frac{281(49 + 36/5)}{49 + 36/5} = 281$।
अतः,एकमात्र धनात्मक पूर्णांक $n = 281$ है।

(B) $(ax^2 + \frac{70}{27bx})^4$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^4C_r (ax^2)^{4-r} (\frac{70}{27bx})^r = {}^4C_r a^{4-r} (\frac{70}{27b})^r x^{8-3r}$ है।
$x^5$ के गुणांक के लिए,$8-3r = 5$ रखने पर,$r=1$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^4C_1 a^3 (\frac{70}{27b}) = 4a^3 \cdot \frac{70}{27b} = \frac{280a^3}{27b}$ है।
$(ax - \frac{1}{bx^2})^7$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^7C_r (ax)^{7-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^7C_r a^{7-r} (-\frac{1}{b})^r x^{7-3r}$ है।
$x^{-5}$ के गुणांक के लिए,$7-3r = -5$ रखने पर,$3r = 12$,अर्थात $r=4$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^7C_4 a^3 (-\frac{1}{b})^4 = 35 \cdot \frac{a^3}{b^4} = \frac{35a^3}{b^4}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर: $\frac{35a^3}{b^4} = \frac{280a^3}{27b}$।
$35a^3$ से भाग देने पर (चूंकि $a \neq 0$),$\frac{1}{b^3} = \frac{8}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^3 = \frac{27}{8}$,जिसका अर्थ है $b = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$2b = 2(\frac{3}{2}) = 3$।

(A) सबसे पहले,डेटा को $x_i$ के आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$x_i: 3, 4, 5, 8, 10, 11$
$f_i: 5, 4, 4, 2, 2, 3$
कुल आवृत्ति $N = \Sigma f_i = 5 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 20$.
$(P)$ माध्य $(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{(3 \times 5) + (4 \times 4) + (5 \times 4) + (8 \times 2) + (10 \times 2) + (11 \times 3)}{20} = \frac{15 + 16 + 20 + 16 + 20 + 33}{20} = \frac{120}{20} = 6$.
$(Q)$ माध्यिका: चूंकि $N=20$ (सम) है,माध्यिका $10^{th}$ और $11^{th}$ अवलोकनों का औसत है। संचयी आवृत्तियाँ $5, 9, 13, 15, 17, 20$ हैं। $10^{th}$ और $11^{th}$ दोनों अवलोकन $5$ मान में आते हैं। अतः,माध्यिका $= 5$.
$(R)$ माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 6|}{N} = \frac{5|3-6| + 4|4-6| + 4|5-6| + 2|8-6| + 2|10-6| + 3|11-6|}{20} = \frac{5(3) + 4(2) + 4(1) + 2(2) + 2(4) + 3(5)}{20} = \frac{15 + 8 + 4 + 4 + 8 + 15}{20} = \frac{54}{20} = 2.7$.
$(S)$ माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 5|}{N} = \frac{5|3-5| + 4|4-5| + 4|5-5| + 2|8-5| + 2|10-5| + 3|11-5|}{20} = \frac{10 + 4 + 0 + 6 + 10 + 18}{20} = \frac{48}{20} = 2.4$.
मिलान: $(P) \rightarrow 3, (Q) \rightarrow 2, (R) \rightarrow 4, (S) \rightarrow 5$. सही विकल्प $(A)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ ...$(1)$
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर:
$|z|^3 + 2\bar{z}^2 + 4z - 8 = 0$ ...$(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$2(z^2 - \bar{z}^2) + 4(\bar{z} - z) = 0$
$2(z - \bar{z})(z + \bar{z}) - 4(z - \bar{z}) = 0$
चूंकि $\text{Im}(z) \neq 0$,इसलिए $z - \bar{z} \neq 0$,अतः $2(z + \bar{z}) - 4 = 0 \Rightarrow z + \bar{z} = 2$.
माना $z = x + iy$. तब $2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
$x=1$ को मूल समीकरण $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ में रखने पर:
$|z|^3 + 2(1+iy)^2 + 4(1-iy) - 8 = 0$
$|z|^3 + 2(1 - y^2 + 2iy) + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 + 2 - 2y^2 + 4iy + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 - 2y^2 - 2 = 0$
चूंकि $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1 + y^2$,इसलिए $|z|^3 = (1+y^2)^{3/2}$.
$(1+y^2)^{3/2} - 2(y^2 + 1) = 0$
$(1+y^2) [\sqrt{1+y^2} - 2] = 0$
चूंकि $1+y^2 \neq 0$,इसलिए $\sqrt{1+y^2} = 2 \Rightarrow |z| = 2$.
अतः,$|z|^2 = 4$.
$1 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3}$.
$|z-\bar{z}|^2 = |2iy|^2 = 4y^2 = 4(3) = 12$.
$|z|^2 + |z+\bar{z}|^2 = 4 + |2|^2 = 4 + 4 = 8$.
$|z+1|^2 = |(1+iy)+1|^2 = |2+iy|^2 = 2^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$.
इसलिए,$P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 3, S \rightarrow 5$.

(C) मान लीजिए कि नियमित अष्टकोण के शीर्ष सम्मिश्र संख्याओं $z_k = 2e^{i(\theta_0 + \frac{2\pi(k-1)}{8})}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,जहाँ $k=1, 2, \ldots, 8$ है। सामान्यता खोए बिना,मान लीजिए $\theta_0 = 0$ है। शीर्ष समीकरण $z^8 - 2^8 = 0$ के मूल हैं।
अतः,$z^8 - 2^8 = \prod_{k=1}^8 (z - A_k)$ है।
मान लीजिए $P$ को सम्मिश्र संख्या $z = 2e^{i\theta}$ द्वारा दर्शाया गया है। दूरी $PA_k = |z - A_k|$ है।
गुणनफल $\prod_{k=1}^8 PA_k = |\prod_{k=1}^8 (z - A_k)| = |z^8 - 2^8|$ है।
$z = 2e^{i\theta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(2e^{i\theta})^8 - 2^8| = |2^8 e^{i8\theta} - 2^8| = 2^8 |e^{i8\theta} - 1|$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|e^{i\phi} - 1| = 2|\sin(\frac{\phi}{2})|$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $\phi = 8\theta$ है,इसलिए गुणनफल $2^8 \cdot 2|\sin(4\theta)| = 512 |\sin(4\theta)|$ है।
$|\sin(4\theta)|$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,गुणनफल का अधिकतम मान $512 \times 1 = 512$ है।

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=1$ है और $C_2$ का $(x-4)^2+(y-1)^2=r^2$ है।
दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$x^2+y^2-1 - ((x-4)^2+(y-1)^2-r^2) = 0$
$x^2+y^2-1 - (x^2-8x+16+y^2-2y+1-r^2) = 0$
$8x+2y-18+r^2 = 0$,जिसे सरल करने पर $8x+2y = 18-r^2$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा ही दोनों वृत्तों की मूलाक्ष होती है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $B$ पर मिलती है। मूलाक्ष के समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $8x = 18-r^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{18-r^2}{8}$।
अतः,$B = \left(\frac{18-r^2}{8}, 0\right)$ है।
दिया है $A=(4,1)$ और $AB=\sqrt{5}$,इसलिए $AB^2 = 5$ है।
$\left(\frac{18-r^2}{8}-4\right)^2 + (0-1)^2 = 5$
$\left(\frac{18-r^2-32}{8}\right)^2 + 1 = 5$
$\left(\frac{-(14+r^2)}{8}\right)^2 = 4$
$\frac{14+r^2}{8} = 2$ (चूंकि $r^2 > 0$,इसलिए वर्गमूल $2$ प्राप्त करने के लिए कोष्ठक के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए)
$14+r^2 = 16$,जिससे $r^2 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए त्रिभुज के कोण $A, C, B$ हैं जैसे कि $A < C < B$। दिया गया है $B - A = \frac{\pi}{2}$।
मान लीजिए भुजाएँ $n-d, n, n+d$ समांतर श्रेणी में हैं।
परिवृत्त त्रिज्या $R=1$ के साथ ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,भुजाएँ $2R \sin A, 2R \sin C, 2R \sin B$ हैं।
अतः,$n-d = 2 \sin A$,$n = 2 \sin C$,$n+d = 2 \sin B$।
चूंकि $A+B+C = \pi$ और $B = A + \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $C = \pi - (A + B) = \pi - (2A + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2A$ है।
$2n = (n-d) + (n+d) = 2 \sin A + 2 \sin B$ से,हमें $n = \sin A + \sin B = \sin A + \cos A$ प्राप्त होता है।
साथ ही $n = 2 \sin C = 2 \sin(\frac{\pi}{2} - 2A) = 2 \cos 2A$।
$n$ की तुलना करने पर: $\sin A + \cos A = 2 \cos 2A = 2(\cos^2 A - \sin^2 A) = 2(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)$।
चूंकि $\sin A + \cos A \neq 0$,हमारे पास $1 = 2(\cos A - \sin A) \Rightarrow \cos A - \sin A = \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 - 2 \sin A \cos A = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2A = \frac{3}{4}$।
क्षेत्रफल $a = \frac{1}{2} (n-d)(n+d) \sin C = \frac{1}{2} (2 \sin A)(2 \sin B) \sin C = 2 \sin A \cos A \sin C = \sin 2A \cos 2A$।
चूंकि $\sin 2A = \frac{3}{4}$,$\cos 2A = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
$a = \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$।
$(64a)^2 = (64 \times \frac{3\sqrt{7}}{16})^2 = (4 \times 3\sqrt{7})^2 = 144 \times 7 = 1008$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{a}{s} = \frac{a}{(3n/2)} = \frac{2a}{3n} = \frac{2 \sin 2A \cos 2A}{3(2 \cos 2A)} = \frac{\sin 2A}{3} = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4} = 0.25$।

(A) दिया गया है $S = (0,1) \cup (1,2) \cup (3,4)$ और $T = \{0, 1, 2, 3\}$।
$(A)$ चूंकि $S$ एक अनंत समुच्चय है और $T$ में $4$ अवयव हैं,$S$ से $T$ तक $4^{|S|}$ फलन हैं। चूंकि $|S|$ अनंत है,इसलिए अनंत फलन संभव हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(B)$ $S$ के प्रत्येक जुड़े हुए घटक के लिए,सतत फलन का प्रतिबिंब भी जुड़ा हुआ होना चाहिए। $T$ एक विविक्त समुच्चय है,इसलिए फलन को प्रत्येक घटक पर अचर होना चाहिए। $T$ परिमित है,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या परिमित है। अतः,$(B)$ असत्य है।
$(C)$ $S$ से $T$ तक एक सतत फलन को $S$ के प्रत्येक जुड़े हुए घटक पर अचर होना चाहिए। $S$ के $3$ घटक हैं और प्रत्येक के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए कुल $4 \times 4 \times 4 = 64$ फलन हैं। चूंकि $64 \le 120$,इसलिए $(C)$ सत्य है।
$(D)$ $S$ के प्रत्येक घटक पर सतत फलन अचर होता है,और एक अचर फलन अवकलनीय होता है। अतः,$(D)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(A)$,$(C)$ और $(D)$ हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
सबसे पहले,लाल क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{18} + \frac{17x}{36} \right]_0^1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{17}{36} = \frac{3 - 12 + 10 + 17}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
चूंकि वर्ग $S$ का कुल क्षेत्रफल $1 \times 1 = 1$ है,हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_G = 1 - A_R = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $A_R^-(h)$ और $A_G^-(h)$ रेखा $L_h$ के नीचे लाल और हरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल हैं। मान लीजिए $A_R^+(h)$ और $A_G^+(h)$ $L_h$ के ऊपर के क्षेत्रफल हैं।
$(B)$ के लिए: हम चाहते हैं कि $A_R^+(h) = A_R^-(h)$,जिसका अर्थ है $A_R^-(h) = \frac{1}{2} A_R = \frac{1}{4}$. चूंकि $f(x) \ge \frac{13}{36} > \frac{1}{4}$,$h = \frac{1}{4}$ के लिए,$A_R^-(h) = \int_0^1 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}$. अतः,$(B)$ सत्य है।
$(C)$ के लिए: मान लीजिए $g(h) = A_G^+(h) - A_R^-(h)$. $h = \frac{13}{36}$ पर,$A_R^-(h) = 0$ और $A_G^+(h) = \frac{1}{2}$,इसलिए $g(h) = \frac{1}{2}$. $h = \frac{181}{324}$ पर,$A_R^-(h) = \frac{1}{2}$ और $A_G^+(h) = 0$,इसलिए $g(h) = -\frac{1}{2}$. इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम द्वारा,एक ऐसा $h$ मौजूद है कि $g(h) = 0$,यानी $A_G^+(h) = A_R^-(h)$. अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ के लिए: मान लीजिए $k(h) = A_R^+(h) - A_G^-(h)$. चूंकि $A_R^+(h) + A_R^-(h) = A_R = 1/2$ और $A_G^+(h) + A_G^-(h) = A_G = 1/2$,हमारे पास $A_R^+(h) = 1/2 - A_R^-(h)$ और $A_G^-(h) = 1/2 - A_G^+(h)$ है। तब $k(h) = (1/2 - A_R^-(h)) - (1/2 - A_G^+(h)) = A_G^+(h) - A_R^-(h) = g(h)$. चूंकि $g(h)$ $1/2$ से $-1/2$ तक के मान लेता है,$k(h)$ भी $0$ मान लेता है। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $(B), (C),$ और $(D)$ सही हैं।

(C) $x \in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)$ के लिए,$f(x) = \sqrt{n}$ है। जैसे $x \rightarrow 0$,$n \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$.
दिया गया है $\int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt < g(x) < 2\sqrt{x}$।
मान लीजिए $I(x) = \int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt$ है। $t = \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dt = 2\sin \theta \cos \theta d\theta$,हमें $\int 2\cos^2 \theta d\theta = \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta = \arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(x) = [\arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}]_{x^2}^x = \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} - \arcsin x - x\sqrt{1-x^2}$ है।
जैसे $x \rightarrow 0$,$I(x) \approx \sqrt{x} + \sqrt{x} - 0 - 0 = 2\sqrt{x}$।
चूंकि $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $f(x)g(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (2\sqrt{x}) = 2$ है।
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)g(x) = 2$ है।

(A) मान लीजिए घन $Q$ के शीर्ष $(x_1, x_2, x_3)$ हैं जहाँ $x_i \in \{0, 1\}$ है।
मुख्य विकर्ण $OG$ पर विचार करें जो $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ को जोड़ता है। इसका दिशा सदिश $\vec{v}_1 = (1, 1, 1)$ है। रेखा $OG$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ है।
एक फलक विकर्ण पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$z=0$ फलक पर विकर्ण $AB$ जो $(1,0,0)$ और $(0,1,0)$ को जोड़ता है। इसका दिशा सदिश $\vec{v}_2 = (-1, 1, 0)$ है।
दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी $d$ जिनके दिशा सदिश $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ और बिंदु $P_1, P_2$ हैं,$d = \frac{|(\vec{P}_2 - \vec{P}_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-1)) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ है।
$P_1 = (0,0,0)$ और $P_2 = (1,0,0)$ लेने पर,$\vec{P}_2 - \vec{P}_1 = (1,0,0)$ है।
दूरी $d = \frac{|(1,0,0) \cdot (-1, -1, 2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।
फलक विकर्णों और मुख्य विकर्णों के अन्य संयोजनों के लिए,दूरी या तो $0$ (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं) या $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है। अतः,अधिकतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$
सर्वसमिका $1+\cos(2x) = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} \tan^{-1}(\tan x)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sqrt{2}|\cos x| = \sqrt{2} \tan^{-1}(\tan x)$ या $|\cos x| = \tan^{-1}(\tan x)$ हो जाता है।
हमें प्रांत $D = \left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में $y = |\cos x|$ और $y = \tan^{-1}(\tan x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
$1$. $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\tan^{-1}(\tan x) = x$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x$ है। चूँकि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \setminus \{0\}$ के लिए $|\cos x| > 0$ है और $x=0$ पर $|\cos 0| = 1 \neq 0$ है,इसलिए $x > 0$ के लिए एक हल मिलता है और $x \leq 0$ के लिए कोई हल नहीं मिलता।
$2$. $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में,$\tan^{-1}(\tan x) = x - \pi$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x - \pi$ है। इस अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
$3$. $\left(-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right)$ में,$\tan^{-1}(\tan x) = x + \pi$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x + \pi$ है। इस अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
कुल हलों की संख्या $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) वक्रों $x=0, x=1, y=0$ और $y=f(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} |f(x)| dx$ द्वारा प्राप्त होता है। दिए गए ग्राफ के अनुसार,क्षेत्रफल तीन त्रिभुजाकार क्षेत्रों $I, II, III$ और एक समलंब चतुर्भुज क्षेत्र से बना है।
क्षेत्र $I$ का क्षेत्रफल (आधार $\frac{1}{2n}$ और ऊँचाई $n$ वाला त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
क्षेत्र $II$ का क्षेत्रफल (आधार $\frac{1}{2n}$ और ऊँचाई $n$ वाला त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
क्षेत्र $III$ का क्षेत्रफल (समांतर भुजाओं $n$ और $0$ तथा ऊँचाई $1-\frac{1}{n}$ वाला समलंब चतुर्भुज): $\frac{1}{2} \times (n+0) \times (1-\frac{1}{n}) = \frac{n}{2} \times \frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{2}$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{n-1}{2} = 4$.
$\frac{1}{2} + \frac{n-1}{2} = 4 \implies \frac{n}{2} = 4 \implies n = 8$.
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $n = 8$ है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\overrightarrow{u}|$,अतः $\triangle UVW$ एक समबाहु त्रिभुज है।
मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है। सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए वे $O$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाले गोले पर स्थित हैं।
समतल $P: \sqrt{3}x + 2y + 3z = 16$ की मूलबिंदु $O(0,0,0)$ से दूरी $OQ = \frac{|0+0+0-16|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{3+4+9}} = \frac{16}{4} = 4$ है।
$S$ में किसी भी बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $P$ से दूरी $\frac{7}{2}$ दी गई है। मान लीजिए $Q$,$O$ का $P$ पर प्रक्षेप है। चूँकि $U, V, W$ समतल $P$ से समान दूरी पर हैं,वे एक वृत्त पर स्थित हैं जो गोले और $P$ के समानांतर एक समतल के प्रतिच्छेदन से बनता है। मान लीजिए यह समतल $P'$ है। $O$ से $P'$ की दूरी $OP = OQ - PQ = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$ है।
गोले और समतल $P'$ के प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $\triangle UVW$ समबाहु है और $R$ त्रिज्या वाले इस वृत्त में अंतर्निहित है,इसकी भुजा की लंबाई $a = 2R \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ है।
$\triangle UVW$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ है।
शीर्षों $O, U, V, W$ वाले चतुष्फलक का आयतन $= \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle UVW) \times OP = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$ है।
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $V = 6 \times \text{चतुष्फलक का आयतन} = 6 \times \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ है।
अतः,$\frac{80}{\sqrt{3}} V = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} = 5 \times 9 = 45$।

(A) दिए गए समीकरण निकाय:
$x+2y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2x-3y+\beta z=\gamma$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 2 & -3 & \beta \end{vmatrix} = 1(0 - (-3\alpha)) - 2(\beta - 2\alpha) + 1(-3 - 0) = 3\alpha - 2\beta + 4\alpha - 3 = 7\alpha - 2\beta - 3$ है।
यदि $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ है,तो $\Delta = 0$ होगा।
$(P)$ के लिए: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ और $\gamma = 28$ है। $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ की गणना करने पर,वे सभी $0$ प्राप्त होते हैं। अतः,निकाय के अनंत हल हैं। $(P \rightarrow 3)$।
$(Q)$ के लिए: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ और $\gamma \neq 28$ है। चूँकि $\Delta = 0$ है और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्यतर है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है। $(Q \rightarrow 2)$।
$(R)$ के लिए: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$,इसलिए $\Delta \neq 0$ है। निकाय का एक अद्वितीय हल है। $(R \rightarrow 1)$।
$(S)$ के लिए: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ और $\alpha = 1, \gamma = 28$ है। चूँकि $\Delta \neq 0$ है,एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है। $x=11, y=-2, z=0$ को समीकरणों में रखने पर: $11+2(-2)+0 = 7$ (सत्य),$11+1(0) = 11$ (सत्य),$2(11)-3(-2)+\beta(0) = 22+6 = 28 = \gamma$ (सत्य)। अतः,$(x=11, y=-2, z=0)$ अद्वितीय हल है। $(S \rightarrow 4)$।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \vec{r}_1 = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $L_2: \vec{r}_2 = (\hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{k})$ हैं।
$L_1$ को समाहित करने वाला कोई भी समतल $H$ मूल बिंदु $(0,0,0)$ से होकर गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$L_1$ के दिशा सदिश $(1,1,1)$ के लंबवत होता है। मान लीजिए समतल $ax+by+cz=0$ है,जहाँ $a+b+c=0$ है।
$L_2$ से $H$ की दूरी $d(H)$ केवल तभी गैर-शून्य होती है यदि $L_2$,$H$ के समानांतर हो। यदि $L_2$,$H$ के समानांतर नहीं है,तो दूरी $0$ है। $d(H)$ को अधिकतम करने के लिए,$L_2$ को $H$ के समानांतर होना चाहिए। अतः,अभिलंब $\vec{n} = (a,b,c)$ को $L_2$ के दिशा सदिश $(1,0,1)$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,$a+c=0$ है। चूँकि $a+b+c=0$ और $a+c=0$ है,हमें $b=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $a=1$,तो $c=-1$ है। समतल $H_0$,$x-z=0$ है।
$(P)$ $d(H_0)$,$L_2$ पर किसी भी बिंदु (उदाहरण के लिए,$(0,1,-1)$) से $H_0$ की दूरी है: $d = \frac{|0 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः,$P \rightarrow 5$।
$(Q)$ $(0,1,2)$ की $x-z=0$ से दूरी $\frac{|0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है। अतः,$Q \rightarrow 4$।
$(R)$ चूँकि $H_0$,$x-z=0$ है,यह मूल बिंदु $(0,0,0)$ से होकर गुजरता है। इसलिए,दूरी $0$ है। $R \rightarrow 3$।
$(S)$ $y=z, x=1, x-z=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=1$ और $x-z=0$ से,$z=1$ है। $y=z$ से,$y=1$ है। बिंदु $(1,1,1)$ है। मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ है। अतः,$S \rightarrow 1$।
इसलिए,सही मिलान $(P) \rightarrow (5), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (1)$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 f(x) = x f'(x) - x^2 \implies x f'(x) - 2 f(x) = x^2$.
$x$ से भाग देने पर $(x \geq 1)$:
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है:
$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int x \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$.
अतः,$f(x) = x^2 \ln x + C x^2$.
शर्त $f(1) = \frac{1}{3}$ का उपयोग करने पर:
$f(1) = 1^2 \ln(1) + C(1)^2 = \frac{1}{3} \implies 0 + C = \frac{1}{3} \implies C = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$f(x) = x^2 \ln x + \frac{x^2}{3}$.
$f(e)$ की गणना करने पर:
$f(e) = e^2 \ln(e) + \frac{e^2}{3} = e^2(1) + \frac{e^2}{3} = \frac{3e^2 + e^2}{3} = \frac{4e^2}{3}$.

(B) माना $P(H) = \frac{1}{3}$ और $P(T) = \frac{2}{3}$ है।
प्रयोग चित पर समाप्त होता है यदि हमें $HH$ प्राप्त हो या $HTHH, HTHTHH, \dots$ या $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ जैसी अनुक्रम प्राप्त हों।
स्थिति $1$: $H$ से शुरू होने वाले और $HH$ पर समाप्त होने वाले अनुक्रम $HH, HTHH, HTHTHH, \dots$ हैं।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{9}$ है।
योग $= \frac{1/9}{1 - 2/9} = \frac{1}{7}$ है।
स्थिति $2$: $T$ से शुरू होने वाले और $HH$ पर समाप्त होने वाले अनुक्रम $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ हैं।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{27}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{9}$ है।
योग $= \frac{2/27}{1 - 2/9} = \frac{2}{21}$ है।
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{7} + \frac{2}{21} = \frac{5}{21}$ है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{c} = \frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}$,और $\vec{d} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
व्यंजक $\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3} = \frac{(3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) + 2(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ पर विचार करें।
अब,$PR$ को $5:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\frac{5\vec{c} + 4\vec{a}}{5+4} = \frac{5(\frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}) + 4(\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})}{9} = \frac{(17\hat{i} + 16\hat{j} + 35\hat{k}) + (4\hat{i} + 8\hat{j} - 20\hat{k})}{9} = \frac{21\hat{i} + 24\hat{j} + 15\hat{k}}{9} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ है।
चूंकि दोनों व्यंजक समान सदिश प्रदान करते हैं,इसलिए $\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3}$ द्वारा दर्शाया गया बिंदु $PR$ को $5:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विकल्प $D$ के लिए,$|\vec{b} \times \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{d}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{d})^2 = (3^2 + 6^2 + 3^2)(2^2 + 1^2 + 1^2) - (3(2) + 6(1) + 3(1))^2 = 54 \times 6 - (15)^2 = 324 - 225 = 99$ है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ है।
मान लीजिए $x = \frac{6y}{9-y^2}$ है। तब समीकरण $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{2\pi}{3}$ हो जाता है।
स्थिति $I$: यदि $x > 0$ है,तो $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \tan^{-1}(x)$ होता है। समीकरण $2\tan^{-1}(x) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$ बन जाता है।
$\frac{6y}{9-y^2} = \sqrt{3} \Rightarrow 6y = 9\sqrt{3} - \sqrt{3}y^2 \Rightarrow \sqrt{3}y^2 + 6y - 9\sqrt{3} = 0 \Rightarrow y^2 + 2\sqrt{3}y - 9 = 0$ है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{12} = -\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x > 0$ है,हमें $y \in (0, 3)$ चाहिए,इसलिए $y = \sqrt{3}$ है।
स्थिति $II$: यदि $x < 0$ है,तो $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \tan^{-1}(x) + \pi$ होता है। समीकरण $2\tan^{-1}(x) + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2\tan^{-1}(x) = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(x) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ बन जाता है।
$\frac{6y}{9-y^2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 6\sqrt{3}y = -9 + y^2 \Rightarrow y^2 - 6\sqrt{3}y - 9 = 0$ है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 + 36}}{2} = 3\sqrt{3} \pm \sqrt{36} = 3\sqrt{3} \pm 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x < 0$ है,हमें $y \in (-3, 0)$ चाहिए,इसलिए $y = 3\sqrt{3} - 6$ है।
हलों का योग: $\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$ है।

(A) सबसे पहले,हम शर्त $a_{ij} = 1$ यदि $i$,$(j+1)$ को विभाजित करता है,और अन्यथा $0$ के आधार पर आव्यूह $M$ का निर्माण करते हैं।
$i=1$ के लिए: $j=1, 2, 3$ के लिए $j+1$,$1$ से विभाज्य है। अतः,$a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=1$.
$i=2$ के लिए: $j=1, 3$ के लिए $j+1$,$2$ से विभाज्य है। अतः,$a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1$.
$i=3$ के लिए: $j=2$ के लिए $j+1$,$3$ से विभाज्य है। अतः,$a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=0$.
अतः,$M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$(A)$ सारणिक ज्ञात करें: $|M| = 1(0-1) - 1(0-0) + 1(1-0) = -1 + 1 = 0$. चूंकि $|M| = 0$,$M$ अव्युत्क्रमणीय है। ($A$ असत्य है)।
$(B)$ हम $M X = -X$ को हल करते हैं,जो $(M + I)X = 0$ है।
$M+I = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$. सारणिक $|M+I| = 2(1-1) - 1(1-0) + 1(1-0) = 0$. चूंकि सारणिक $0$ है,एक शून्येतर हल $X$ का अस्तित्व है। ($B$ सत्य है)।
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ $M$ के शून्य समष्टि (null space) को दर्शाता है। चूंकि $|M| = 0$,शून्य समष्टि शून्येतर है। ($C$ सत्य है)।
$(D)$ $M - 2I = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
$|M-2I| = -1(4-1) - 1(-2-0) + 1(1-0) = -3 + 2 + 1 = 0$. अतः,$(M-2I)$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। ($D$ असत्य है)।
अतः,सही कथन $B$ और $C$ हैं।

(B) फलन $f(x) = [4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < \frac{1}{4} \\ (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2} \\ 2(x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} \leq x < \frac{3}{4} \\ 3(x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{3}{4} \leq x < 1 \end{cases}$
$1$. सांतत्य: फलन $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{4}$ पर असतत है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाईं और दाईं सीमाएँ समान नहीं हैं। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
$2$. अवकलनीयता: फलन $x = \frac{1}{4}$ पर सतत है लेकिन वहां अवकलनीय नहीं है। यह $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{4}$ पर असतत है। इस प्रकार,ठीक एक बिंदु $(x = \frac{1}{4})$ है जहाँ यह सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है। कथन $(B)$ सत्य है।
$3$. अनवकलनीयता: फलन $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ पर अवकलनीय नहीं है। ये ठीक तीन बिंदु हैं। कथन $(C)$ गलत है।
$4$. न्यूनतम मान: $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ के लिए,$f(x) = (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$। मान लीजिए $t = x-\frac{1}{4}$,तो $f(t) = t^2(t-\frac{1}{4}) = t^3 - \frac{1}{4}t^2$। $f'(t) = 3t^2 - \frac{1}{2}t = t(3t - \frac{1}{2})$। $f'(t) = 0$ रखने पर,हमें $t = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। मान $(\frac{1}{6})^2(\frac{1}{6}-\frac{1}{4}) = \frac{1}{36}(-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{432}$ है। अतः,कथन $(D)$ गलत है।

(A) मान लीजिए $S$,$R \rightarrow R$ पर सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f$ का समुच्चय है,ताकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{dx^2} > 0$ हो।
इसका अर्थ है कि $f$ का आलेख अंतराल $(-1, 1)$ पर सख्ती से अवतल ऊपर की ओर (concave upward/convex) है।
मान लीजिए $\phi(x) = f(x) - x$ है। तब $\phi''(x) = f''(x) - 0 = f''(x) > 0$,सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए।
चूंकि $\phi''(x) > 0$ है,फलन $\phi(x)$ सख्ती से उत्तल (strictly convex) है।
एक सख्ती से उत्तल फलन $x$-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है।
इसलिए,समीकरण $\phi(x) = 0$,जो $f(x) = x$ के समान है,के अंतराल $(-1, 1)$ में अधिकतम दो हल हो सकते हैं।
अतः,प्रत्येक $f \in S$ के लिए $X_f \leq 2$ होता है,जो कथन $(B)$ को सत्य बनाता है।
उपयुक्त उत्तल फलनों को चुनकर,हम ऐसे उदाहरण बना सकते हैं जहाँ $X_f = 0$ (जैसे,$f(x) = x^2 + 2$),$X_f = 1$ (जैसे,$f(x) = x^2 + x + 0.1$),और $X_f = 2$ (जैसे,$f(x) = x^2 + 0.1$)।
चूंकि $X_f$ का मान $0, 1,$ या $2$ हो सकता है,कथन $(A)$ सत्य है,कथन $(C)$ सत्य है,और कथन $(D)$ असत्य है।
इसलिए,सही कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ हैं।

(B) फलन $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा दिया गया है।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ प्राप्त किया जा सकता है।
हालाँकि,फलन की संरचना को देखते हुए,हम ध्यान देते हैं कि $x=0$ के लिए,$f(0) = \int_0^0 \dots dt = 0$ होता है।
$x \neq 0$ के लिए,$x \tan^{-1} x > 0$ होता है क्योंकि $\tan^{-1} x$ का चिह्न $x$ के समान ही होता है।
चूंकि समाकल्य (integrand) $\frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}}$,$t \geq 0$ के लिए धनात्मक है,और ऊपरी सीमा $x \tan^{-1} x$ हमेशा अ-ऋणात्मक (non-negative) है,इसलिए समाकलन $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अ-ऋणात्मक है।
विशेष रूप से,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ और $f(0) = 0$ है।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $0$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ है।
$(x^2-5)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2x}{x^2-5}$ और $Q(x) = -2x(x^2-5)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{2x}{x^2-5} dx} = e^{-\ln|x^2-5|} = \frac{1}{x^2-5}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y \cdot \frac{1}{x^2-5} = \int -2x(x^2-5) \cdot \frac{1}{x^2-5} dx + c$.
$\frac{y}{x^2-5} = \int -2x dx + c = -x^2 + c$.
चूँकि $y(2) = 7$ दिया गया है,हमें $\frac{7}{2^2-5} = -2^2 + c \Rightarrow \frac{7}{-1} = -4 + c \Rightarrow c = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y}{x^2-5} = -x^2 - 3$,जिसका अर्थ है $y = -(x^2-5)(x^2+3) = -x^4 + 2x^2 + 15$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $t = x^2$ जहाँ $t \ge 0$ है। तो $y = -t^2 + 2t + 15$.
यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$ पर है।
चूँकि $t=1$ डोमेन $t \ge 0$ में है,अधिकतम मान $y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16$ है।

(C) एक संख्या $5$ का गुणज होती है यदि उसका अंतिम अंक $0$ या $5$ हो। चूंकि समुच्चय ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ में $5$ नहीं है,इसलिए अंतिम अंक $0$ होना चाहिए।
हम इकाई स्थान पर $0$ को स्थिर रखकर ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ का उपयोग करके पांच अंकों की संख्याएँ बनाते हैं।
शेष चार अंक ${1, 2, 2, 2, 4, 4}$ में से चुने जाते हैं।
स्थिति $1$: अंक ${1, 2, 2, 2}$,क्रमचय $= \frac{4!}{3!} = 4$.
स्थिति $2$: अंक ${1, 4, 2, 2}$,क्रमचय $= \frac{4!}{2!} = 12$.
स्थिति $3$: अंक ${4, 2, 2, 2}$,क्रमचय $= \frac{4!}{3!} = 4$.
स्थिति $4$: अंक ${2, 2, 4, 4}$,क्रमचय $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
स्थिति $5$: अंक ${1, 2, 4, 4}$,क्रमचय $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$5$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $(n(A))$ $= 4 + 12 + 4 + 6 + 12 = 38$.
एक संख्या $20$ का गुणज होती है यदि वह $5$ और $4$ दोनों का गुणज हो। $4$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य होने चाहिए। चूंकि अंतिम अंक $0$ है,इसलिए दहाई का अंक $2$ या $4$ होना चाहिए।
यदि अंतिम दो अंक $20$ हैं,तो शेष तीन अंक ${1, 2, 2, 4, 4}$ में से चुने जाते हैं।
क्रमचय $= \frac{3!}{2!} = 3$.
यदि अंतिम दो अंक $40$ हैं,तो शेष तीन अंक ${1, 2, 2, 2, 4}$ में से चुने जाते हैं।
क्रमचय $= \frac{3!}{3!} = 1$ (${2, 2, 2}$ के लिए) $+ \frac{3!}{2!} = 3$ (${1, 2, 2}$ के लिए) $= 4$.
$20$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $(n(A \cap B))$ $= 3 + 4 = 7$.
इस प्रकार,$5$ से विभाज्य संख्याओं में से $20$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $38 - 7 = 31$ हैं।
सशर्त प्रायिकता $p = \frac{31}{38}$.
इसलिए,$38p = 31$.

(B) एक आव्यूह $M \in R$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका सारणिक $|M| \neq 0$ हो।
आव्यूह का सारणिक इस प्रकार है:
$|M| = a(2 \times 0 - 5 \times d) - 3(c \times 0 - 0 \times d) + b(c \times 5 - 2 \times 0)$
$|M| = a(-5d) - 3(0) + b(5c) = 5bc - 5ad = 5(bc - ad)$।
आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,$|M| \neq 0$,जिसका अर्थ है $bc - ad \neq 0$,या $bc \neq ad$।
$a, b, c, d$ के लिए मानों का समुच्चय $S = \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$ है,जिसमें $8$ तत्व हैं।
$R$ में आव्यूहों की कुल संख्या $8^4 = 4096$ है।
हमें उन मामलों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $bc = ad$ है।
मान लीजिए $X = bc$ और $Y = ad$।
$1$. यदि $ad = 0$,तो $a=0$ या $d=0$। तरीकों की संख्या = $8^2 - 7^2 = 15$।
$2$. यदि $bc = 0$,तो $b=0$ या $c=0$। तरीकों की संख्या = $8^2 - 7^2 = 15$।
$bc = ad = 0$ होने के कुल तरीके $15 \times 15 = 225$ हैं।
अब $bc = ad = k$ पर विचार करें,जहाँ $k \neq 0$।
$bc = ad \neq 0$ होने के कुल मामले $91$ हैं।
अतः,$|M| = 0$ होने के $225 + 91 = 316$ मामले हैं।
व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या = $4096 - 316 = 3780$।

(A) ग्रिड में $7 \times 7$ बिंदु हैं,इसलिए कुल $49$ बिंदु हैं।
$(1)$ मित्रों की संख्या के आधार पर बिंदुओं का वर्गीकरण:
- कोने के बिंदु: $4$ बिंदु,प्रत्येक के $2$ मित्र हैं।
- किनारे के बिंदु (कोनों को छोड़कर): $5 \times 4 = 20$ बिंदु,प्रत्येक के $3$ मित्र हैं।
- आंतरिक बिंदु: $5 \times 5 = 25$ बिंदु,प्रत्येक के $4$ मित्र हैं।
$X$ (मित्रों की संख्या) का प्रायिकता वितरण:
- $P(X=2) = \frac{4}{49}$
- $P(X=3) = \frac{20}{49}$
- $P(X=4) = \frac{25}{49}$
- $P(X=0) = P(X=1) = 0$
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 2 \times \frac{4}{49} + 3 \times \frac{20}{49} + 4 \times \frac{25}{49} = \frac{8 + 60 + 100}{49} = \frac{168}{49} = \frac{24}{7}$.
अतः,$7 E(X) = 7 \times \frac{24}{7} = 24$.
$(2)$ $2$ अलग-अलग बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{49}{2} = \frac{49 \times 48}{2} = 49 \times 24$ हैं।
मित्रों के जोड़ों की संख्या (ग्रिड में आसन्न किनारे):
- क्षैतिज किनारे: $7$ पंक्तियाँ,प्रत्येक में $6$ किनारे,इसलिए $7 \times 6 = 42$.
- ऊर्ध्वाधर किनारे: $7$ स्तंभ,प्रत्येक में $6$ किनारे,इसलिए $7 \times 6 = 42$.
कुल किनारे = $42 + 42 = 84$.
प्रायिकता $p = \frac{84}{\binom{49}{2}} = \frac{84 \times 2}{49 \times 48} = \frac{168}{2352} = \frac{1}{14}$.
अतः,$7 p = 7 \times \frac{1}{14} = 0.5$.