IIT JEE 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। एक शीर्ष $A$,$x$-अक्ष $(y=0)$ और रेखा $x+y+1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $A(-1,0)$ देता है।
माना शीर्ष $B$ रेखा $x+y+1=0$ पर स्थित है,अतः $B(\alpha, -\alpha-1)$।
$B$ से $AC$ ($x$-अक्ष पर स्थित) पर डाला गया लंब $H(1,1)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए इसका समीकरण $x=1$ है। चूँकि $B$ इस रेखा पर स्थित है,$\alpha=1$,अतः $B(1,-2)$।
माना शीर्ष $C$,$x$-अक्ष पर स्थित है,अतः $C(\beta, 0)$।
$A(-1,0)$ से $BC$ पर डाला गया लंब $H(1,1)$ से गुजरता है। $AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{1-0}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{-2-0}{1-\beta} = \frac{2}{\beta-1}$ है।
चूँकि $AH \perp BC$,$m_{AH} \cdot m_{BC} = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\beta-1} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -1$ $\Rightarrow \beta=0$। अतः $C(0,0)$।
शीर्ष $A(-1,0)$,$B(1,-2)$,और $C(0,0)$ हैं।
परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2+gx+fy+c=0$ है। चूँकि यह $(0,0)$ से गुजरता है,$c=0$।
$(-1,0)$ से गुजरने पर: $1-g=0 \Rightarrow g=1$।
$(1,-2)$ से गुजरने पर: $1+4+g-2f=0$ $\Rightarrow 5+1-2f=0$ $\Rightarrow 2f=6$ $\Rightarrow f=3$।
समीकरण $x^2+y^2+x+3y=0$ है।

(C) दिया गया है $|z_1| = |z_2| = \ldots = |z_{10}| = 1$।
इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं $z_a$ और $z_b$ के बीच की दूरी $|z_a - z_b| = 2 \sin(\frac{\Delta \theta}{2})$ है,जहाँ $\Delta \theta$ उनके बीच का कोण है।
चूंकि $x \geq 0$ के लिए $\sin(x) \leq x$,इसलिए $|z_k - z_{k-1}| = 2 \sin(\frac{\theta_k}{2}) \leq 2(\frac{\theta_k}{2}) = \theta_k$।
इनका योग करने पर,$\sum_{k=1}^{10} |z_{k+1} - z_k| \leq \sum_{k=1}^{10} \theta_k = 2 \pi$ (जहाँ $z_{11} = z_1$)। अतः,$P$ सत्य है।
$Q$ के लिए,मान लीजिए $w_k = z_k^2 = e^{i 2 \phi_k}$,जहाँ $\phi_k = \sum_{j=1}^k \theta_j$ है। $w_k$ और $w_{k-1}$ के बीच का कोण $2 \theta_k$ है।
इसी प्रकार,$|w_k - w_{k-1}| = |z_k^2 - z_{k-1}^2| = 2 \sin(\frac{2 \theta_k}{2}) = 2 \sin(\theta_k) \leq 2 \theta_k$।
इनका योग करने पर,$\sum |z_k^2 - z_{k-1}^2| \leq \sum 2 \theta_k = 2(2 \pi) = 4 \pi$। अतः,$Q$ भी सत्य है।

(A) मान लें $P(x, y)$ है। $L_1$ और $L_2$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x\sqrt{2} + y - 1|}{\sqrt{3}}$ और $d_2 = \frac{|x\sqrt{2} - y + 1|}{\sqrt{3}}$ हैं।
दिया गया है $d_1 d_2 = \lambda^2$,इसलिए $\frac{|(x\sqrt{2})^2 - (y-1)^2|}{3} = \lambda^2$,जो $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2$ देता है।
रेखा $y = 2x + 1$ के लिए,$y-1 = 2x$ को बिंदुपथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $|2x^2 - (2x)^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow |-2x^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow x^2 = \frac{3\lambda^2}{2}$।
बिंदुओं $R$ और $S$ के $x$-निर्देशांक $x_1 = \sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ और $x_2 = -\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ हैं।
दूरी $RS = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (2(x_1-x_2))^2} = \sqrt{5}|x_1-x_2| = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}} = \sqrt{30\lambda^2}$।
दिया गया है $\sqrt{30\lambda^2} = \sqrt{270} \Rightarrow 30\lambda^2 = 270 \Rightarrow \lambda^2 = 9$।
$RS$ का मध्यबिंदु $T$ $(0, 1)$ है।
$RS$ की ढाल $2$ है,इसलिए लंब समद्विभाजक की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 - 2y$ है।
$x = 2(1-y)$ को $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2 = 27$ में प्रतिस्थापित करें:
$|2(4(1-y)^2) - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow |8(y-1)^2 - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow 7(y-1)^2 = 27 \Rightarrow (y-1)^2 = \frac{27}{7}$।
दूरी $D = (x_1^{\prime}-x_2^{\prime})^2 + (y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(4(y-1)^2) = 20 \cdot \frac{27}{7} = \frac{540}{7} \approx 77.14$।

(A) दिया गया है: $P(E) = \frac{1}{8}, P(F) = \frac{1}{6}, P(G) = \frac{1}{4}, P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$.
$(A)$ हम जानते हैं कि $P(E) = P(E \cap F \cap G) + P(E \cap F \cap G^C) + P(E \cap F^C \cap G) + P(E \cap F^C \cap G^C)$.
अतः,$P(E \cap F \cap G^C) \leq P(E) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{8} - \frac{1}{10} = \frac{5-4}{40} = \frac{1}{40}$. इसलिए,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ इसी प्रकार,$P(E^C \cap F \cap G) \leq P(F) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. इसलिए,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ $P(E \cup F \cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - [P(E \cap F) + P(F \cap G) + P(G \cap E)] + P(E \cap F \cap G)$.
चूंकि $P(E \cap F), P(F \cap G), P(G \cap E) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,इसलिए $P(E \cup F \cup G) \leq \frac{1}{8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - 3(\frac{1}{10}) + \frac{1}{10} = \frac{3+4+6}{24} - \frac{2}{10} = \frac{13}{24} - \frac{1}{5} = \frac{65-24}{120} = \frac{41}{120} \leq \frac{13}{24}$. इसलिए,$(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ $P(E^C \cap F^C \cap G^C) = 1 - P(E \cup F \cup G)$. चूंकि $P(E \cup F \cup G) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,इसलिए $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0.9$. कथन $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq \frac{5}{12} \approx 0.416$ हमेशा सत्य नहीं है। इसलिए,$(D)$ $FALSE$ है।
अतः,सही विकल्प $A, B, C$ हैं।

(C) हमारे पास $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \tan^{-1}\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करके,हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan^{-1}\left(\frac{(k+1)x - kx}{1 + ((k+1)x)(kx)}\right) = \tan^{-1}((k+1)x) - \tan^{-1}(kx)$.
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:
$S_n(x) = (\tan^{-1}(2x) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)) + \dots + (\tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(nx))$
$S_n(x) = \tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)x - x}{1 + (n+1)x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{nx}{1+(n+1)x^2}\right)$.
$(A)$ $n=10$ के लिए,$S_{10}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{10x}{1+11x^2}\right)$. चूँकि $y > 0$ के लिए $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1/y)$,इसलिए $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ $\cot(S_n(x)) = \frac{1}{\tan(S_n(x))} = \frac{1+(n+1)x^2}{nx} = \frac{1}{nx} + \frac{n+1}{n}x$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$\cot(S_n(x)) \rightarrow 0 + 1 \cdot x = x$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ $S_3(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x}{1+4x^2}\right) = \frac{\pi}{4} \implies \frac{3x}{1+4x^2} = 1 \implies 4x^2 - 3x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 < 0$. कोई वास्तविक मूल मौजूद नहीं है। अतः,$(C)$ $FALSE$ है।
$(D)$ मान लीजिए $f(x) = \tan(S_n(x)) = \frac{nx}{1+(n+1)x^2}$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = \frac{n(1+(n+1)x^2) - nx(2(n+1)x)}{(1+(n+1)x^2)^2} = \frac{n - n(n+1)x^2}{(1+(n+1)x^2)^2}$. $f'(x)=0$ रखने पर,$x^2 = \frac{1}{n+1}$,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. अधिकतम मान $f\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = \frac{n/\sqrt{n+1}}{1+(n+1)/(n+1)} = \frac{n}{2\sqrt{n+1}}$ है। $n=3$ के लिए,मान $3/(2\sqrt{4}) = 3/4 > 1/2$ है। अतः,$(D)$ $FALSE$ है।

(D) प्रतिबंध $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ एक वृत्त के चाप का प्रतिनिधित्व करता है जो $(-\alpha, 0)$ और $(-\beta, 0)$ बिंदुओं से गुजरता है,जहाँ चाप पर किसी भी बिंदु $z$ पर इन बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा द्वारा बनाया गया कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ के लिए,$y=0$ रखकर $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2+5x+4=0 \Rightarrow (x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x=-1, x=-4$.
इस प्रकार,बिंदु $(-\alpha, 0)$ और $(-\beta, 0)$ बिंदु $(-1, 0)$ और $(-4, 0)$ हैं।
इसका अर्थ है कि ${-\alpha, -\beta} = {-1, -4}$,इसलिए ${\alpha, \beta} = {1, 4}$ है।
$\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को धनात्मक होने के लिए,बिंदुओं का क्रम ऐसा होना चाहिए कि सदिश $(z+\beta)$ से $(z+\alpha)$ तक का घूर्णन वामावर्त (counter-clockwise) हो। मानक रूप $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ के साथ तुलना करने पर,हम $\alpha=1$ और $\beta=4$ प्राप्त करते हैं। विकल्पों की जाँच करने पर,$\beta=4$ और $\alpha\beta = 1 \times 4 = 4$ विकल्प $(B)$ और $(D)$ के साथ सुसंगत हैं।

(A) दिया गया समीकरण $3x^2 + x - 1 = 4|x^2 - 1|$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \in [-1, 1]$,तो $|x^2 - 1| = 1 - x^2$ होगा।
समीकरण $3x^2 + x - 1 = 4 - 4x^2 \Rightarrow 7x^2 + x - 5 = 0$ बन जाता है।
माना $f(x) = 7x^2 + x - 5$ है। यहाँ $f(-1) = 1$ और $f(1) = 3$ है। चूँकि $f(0) = -5 < 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के $(-1, 1)$ अंतराल में दो वास्तविक मूल हैं।
स्थिति $2$: यदि $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$,तो $|x^2 - 1| = x^2 - 1$ होगा।
समीकरण $3x^2 + x - 1 = 4x^2 - 4 \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$ बन जाता है।
इसके मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ हैं,जो दोनों अंतराल में स्थित हैं।
अतः,कुल $4$ वास्तविक मूल हैं।

(B) दी गई भुजाएँ $c = AB = \sqrt{23}$,$a = BC = 3$ और $b = CA = 4$ हैं।
भुजाओं और क्षेत्रफल $\Delta$ के संदर्भ में $\cot$ के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}$,और $\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}$.
अब,व्यंजक की गणना करें:
$\frac{\cot A + \cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + b^2 - c^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
$= \frac{2b^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
मान $a = 3$,$b = 4$,$c = \sqrt{23}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2(4^2)}{3^2 + (\sqrt{23})^2 - 4^2}$
$= \frac{2(16)}{9 + 23 - 16}$
$= \frac{32}{32 - 16} = \frac{32}{16} = 2$.

(C) $n_1 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.
$(B)$ शर्त $1 \leq i < j + 2 \leq 10$ है,जिसका अर्थ है $i < j + 2$ और $j \leq 8$। चूँकि $i \geq 1$,प्रत्येक $j \in \{1, 2, \ldots, 8\}$ के लिए,$i$ का मान $1$ से $j+1$ तक हो सकता है।
योग: $\sum_{j=1}^{8} (j+1) = 2 + 3 + \ldots + 9 = 44$। अतः,$n_2 = 44$.
$(C)$ $n_3$ उन तरीकों की संख्या है जिनसे $10$ में से $4$ भिन्न अवयव इस प्रकार चुने जाएँ कि $i < j < k < l$,जो $\binom{10}{4} = 210$ है। अतः,$n_3 = 210 \neq 220$.
$(D)$ $n_4$ $10$ में से $4$ भिन्न अवयवों के क्रमचय (permutations) की संख्या है,जो $P(10, 4) = 5040$ है।
अतः $\frac{n_4}{12} = \frac{5040}{12} = 420$।
इस प्रकार,कथन $(A), (B), (D)$ सत्य हैं।

(D) कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos P = \frac{q^2+r^2-p^2}{2qr} = \frac{q^2+r^2}{2qr} - \frac{p^2}{2qr}$. चूँकि $q^2+r^2 \geq 2qr$ ($AM \geq GM$ द्वारा),हमारे पास $\frac{q^2+r^2}{2qr} \geq 1$ है। अतः,$\cos P \geq 1 - \frac{p^2}{2qr}$। इसलिए,$(A)$ सही है।
$(B)$ असमानता $(p+q) \cos R \geq (q-r) \cos P + (p-r) \cos Q$ को $(p \cos R + r \cos P) + (q \cos R + r \cos Q) \geq q \cos P + p \cos Q$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करते हुए,यह $q + p \geq r$ में सरल हो जाता है,जो त्रिभुज असमानता द्वारा सत्य है। इसलिए,$(B)$ सही है।
$(C)$ साइन के नियम के अनुसार,$\frac{q+r}{p} = \frac{\sin Q + \sin R}{\sin P}$। चूँकि $\sin Q + \sin R \geq 2 \sqrt{\sin Q \sin R}$,हमारे पास $\frac{q+r}{p} \geq 2 \frac{\sqrt{\sin Q \sin R}}{\sin P}$ है। इसलिए,$(C)$ गलत है।
$(D)$ शर्त $\cos Q > \frac{p}{r}$ का अर्थ है $\sin R \cos Q > \sin P$,जो $\sin P + \sin(R-Q) > 2 \sin P$,या $\sin(R-Q) > \sin P$ में सरल हो जाता है। यह उन सभी त्रिभुजों के लिए आवश्यक रूप से सत्य नहीं है जहाँ $p < q$ और $p < r$ है। इसलिए,$(D)$ गलत है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।

(D) परवलय $y^2=8x$ है,इसलिए $4a=8$,जिससे $a=2$ प्राप्त होता है। नाभि $F$,$(2,0)$ है और नियता $x=-2$ है।
बिंदु $P=(-2,4)$ नियता $x=-2$ पर स्थित है।
यह एक ज्ञात गुण है कि नियता पर स्थित किसी बिंदु से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे पर लंब होती हैं,और स्पर्श जीवा $QQ^{\prime}$ नाभि $F$ से होकर गुजरती है।
चूंकि $PQ$ और $PQ^{\prime}$,$P$ से परवलय पर स्पर्श रेखाएं हैं,$\angle QPQ^{\prime} = 90^{\circ}$,इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।
स्पर्श जीवा $QQ^{\prime}$ नाभि $F$ से होकर गुजरती है,इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।
दूरी $PF = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है। अतः,$(C)$ $FALSE$ है।
परवलय के लिए,स्पर्श जीवा द्वारा नाभि पर बनाया गया कोण $180^{\circ}$ होता है यदि स्पर्श रेखाएं लंबवत हों,लेकिन त्रिभुज $PFQ$ बिंदु $Q$ पर समकोण है क्योंकि $Q$ पर स्पर्श रेखा नाभि और स्पर्श बिंदु को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$(A)$ $TRUE$ है।
अतः,सही कथन $(A), (B),$ और $(D)$ हैं।

(A) मान लीजिए वृत्त $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त $R$ में निहित है,इसलिए इसे परवलय $y^2 = 4-x$ को किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श करना चाहिए।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4-x$ प्रतिस्थापित करने पर: $(x-h)^2 + 4-x = r^2$,जो सरल होकर $x^2 - (2h+1)x + (h^2+4-r^2) = 0$ हो जाता है।
स्पर्श के लिए,विविक्तकर शून्य होना चाहिए: $D = (2h+1)^2 - 4(h^2+4-r^2) = 0$.
$4h^2 + 4h + 1 - 4h^2 - 16 + 4r^2 = 0 \Rightarrow 4h + 4r^2 = 15 \Rightarrow h = \frac{15-4r^2}{4}$.
साथ ही,वृत्त को $x \geq 0$ में निहित होना चाहिए,इसलिए सबसे बायाँ बिंदु $h-r \geq 0 \Rightarrow h \geq r$.
$h$ का मान रखने पर: $\frac{15-4r^2}{4} \geq r \Rightarrow 15-4r^2 \geq 4r \Rightarrow 4r^2 + 4r - 15 \leq 0$.
$4r^2 + 4r - 15 = 0$ को हल करने पर: $r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-15)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.
चूँकि $r > 0$,इसलिए $r = \frac{12}{8} = 1.5$.
$r = 1.5$ के लिए,$h = \frac{15 - 4(2.25)}{4} = \frac{15-9}{4} = 1.5$.
वृत्त $(x-1.5)^2 + y^2 = 2.25$ है। $y^2 = 4-x$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $(x-1.5)^2 + 4-x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 3x + 2.25 + 4 - x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = 2$.

(D,B) गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ के लिए,योग $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2^{i-1}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
$(1)$ वृत्त $C_n$ का केंद्र $(S_{n-1}, 0) = (2 - \frac{1}{2^{n-2}}, 0)$ और त्रिज्या $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
$C_n$,$M$ के अंदर है यदि मूल बिंदु से वृत्त के सबसे दूर के बिंदु की दूरी $\leq r$ है।
सबसे दूर का बिंदु $|S_{n-1}| + a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ की दूरी पर है।
दिए गए $r = \frac{1025}{513} \approx 1.998$ के लिए,$2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1025}{513} \implies \frac{1}{2^{n-1}} \geq \frac{1}{513}$ है।
चूंकि $2^9 = 512 < 513 \leq 2^{10}$,इसलिए $n-1 \leq 9$,अतः $n \leq 10$ है। इस प्रकार $k = 10$ है।
चूंकि वृत्त $C_n$ स्पर्शरेखा हैं,इसलिए कोई भी दो वृत्त न काटने वाले वृत्तों की अधिकतम संख्या $l = 5$ है।
$3k + 2l = 3(10) + 2(5) = 40$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$(2)$ वृत्त $D_n$ का केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
$D_n$,$M$ के अंदर है यदि $\sqrt{S_{n-1}^2 + S_{n-1}^2} + a_n \leq r \implies S_{n-1}\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq r$ है।
$(2 - \frac{1}{2^{n-2}})\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq (2 - \frac{1}{2^{198}})\sqrt{2}$ है।
यह $n-1 \leq 198$ के लिए सत्य है,इसलिए $n \leq 199$ है। इस प्रकार वृत्तों की संख्या $199$ है। सही विकल्प $(B)$ है।

(B) मान लीजिए $A$,$\{1, 2, \ldots, 2000\}$ सीमा में $3$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है।
$n(A) = \lfloor \frac{2000}{3} \rfloor = 666$.
मान लीजिए $B$,$\{1, 2, \ldots, 2000\}$ सीमा में $7$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है।
$n(B) = \lfloor \frac{2000}{7} \rfloor = 285$.
मान लीजिए $A \cap B$,$3$ और $7$ दोनों से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $\text{lcm}(3, 7) = 21$ से विभाज्य।
$n(A \cap B) = \lfloor \frac{2000}{21} \rfloor = 95$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 666 + 285 - 95 = 856$.
प्रायिकता $p = \frac{n(A \cup B)}{2000} = \frac{856}{2000}$.
अतः,$500p = 500 \times \frac{856}{2000} = \frac{856}{4} = 214$.

(C) मान लीजिए $A = M(P, Q)$ और $B = M(P, Q^{\prime})$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार,$A = \frac{P+Q}{2}$ और $B = \frac{P+Q^{\prime}}{2}$ है।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $|A - B| = |\frac{P+Q}{2} - \frac{P+Q^{\prime}}{2}| = |\frac{Q - Q^{\prime}}{2}| = \frac{1}{2} |Q - Q^{\prime}|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$|Q - Q^{\prime}|$ दीर्घवृत्त $E$ पर दो बिंदुओं $Q$ और $Q^{\prime}$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी उसकी दीर्घ अक्ष (major axis) की लंबाई होती है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 4 = 8$ है।
इसलिए,$|Q - Q^{\prime}|$ का अधिकतम मान $8$ है।
अतः,$M(P, Q)$ और $M(P, Q^{\prime})$ के बीच की अधिकतम दूरी $\frac{8}{2} = 4$ है।

(A) यह क्षेत्र रेखाओं $x=3y$,$x+y=2$,$y=0$,और $x=\frac{9}{4}$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x=3y$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन: $x=3y$ को $x+y=2$ में रखने पर $3y+y=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=2$,जिसका अर्थ है $y=\frac{1}{2}$ और $x=\frac{3}{2}$। अतः,$P = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$।
$2$. $x+y=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $x=2$। अतः,$Q = (2, 0)$।
$3$. $x=\frac{9}{4}$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $R = (\frac{9}{4}, 0)$।
$4$. $x=\frac{9}{4}$ और $x=3y$ का प्रतिच्छेदन: $y=\frac{x}{3} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$। अतः,$S = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$।
यह क्षेत्र एक चतुर्भुज $PQRS$ है जिसके शीर्ष $P(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,$Q(2, 0)$,$R(\frac{9}{4}, 0)$,और $S(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ हैं।
क्षेत्रफल $= \int_{3/2}^{9/4} (x/3) dx - \int_{3/2}^{2} (2-x) dx = [x^2/6]_{3/2}^{9/4} - [2x - x^2/2]_{3/2}^{2} = (\frac{27}{32} - \frac{3}{8}) - (2 - \frac{15}{8}) = \frac{15}{32} - \frac{1}{8} = \frac{11}{32}$।

(A) मान लें $B$ घटना $E_1=E_3$ है। हम $P(S_1=\{1,2\} | B) = \frac{P(S_1=\{1,2\} \cap B)}{P(B)}$ ज्ञात करना चाहते हैं।
$S_1$ के लिए संभावित समुच्चय $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ हैं,प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
दिए गए समाधान के अनुसार,गणना करने पर $P(B_{1,2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1 \times ^3C_1}{^4C_2} \times \frac{1}{^5C_2} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{60}$ प्राप्त होता है।
कुल प्रायिकता $P(B)$ की गणना करने पर,अंतिम परिणाम $p = \frac{P(B_{1,2})}{P(B)} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) $(1)$ $p_1$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान कम से कम $81$ है।
$p_1 = 1 - P(\text{अधिकतम} \leq 80) = 1 - (\frac{80}{100})^3 = 1 - (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}$.
अतः,$\frac{625}{4} p_1 = \frac{625}{4} \times \frac{61}{125} = \frac{5 \times 61}{4} = \frac{305}{4} = 76.25$.
$(2)$ $p_2$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान अधिकतम $40$ है।
$p_2 = 1 - P(\text{न्यूनतम} \geq 41) = 1 - (\frac{60}{100})^3 = 1 - (\frac{3}{5})^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125}$.
अतः,$\frac{125}{4} p_2 = \frac{125}{4} \times \frac{98}{125} = \frac{98}{4} = 24.50$.

(A) समीकरणों की प्रणाली के संगत होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। गणना करने पर,संगतता की स्थिति $\alpha - 2\beta + \gamma = 0$ प्राप्त होती है। सारणिक $|M| = \alpha - 2\beta + \gamma$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,$|M| = 1$ और $D = 1.5$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,$PEP$ की गणना करें:
$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 13 & 18 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} = F$.
साथ ही,$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ के लिए,ध्यान दें कि $|E| = 0$ और $|F| = 0$ है। चूंकि $|EQ| = |E||Q| = 0$ और $|PFQ^{-1}| = |P||F||Q|^{-1} = 0$,समीकरण $|EQ + PFQ^{-1}| = 0 + 0 = 0$ सत्य है। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ के लिए,$|EF| = |E||F| = 0 \times 0 = 0$ है। अतः,$|(EF)^3| = 0$ और $|EF|^2 = 0$ है। असमिका $0 > 0$ $FALSE$ है।
$(D)$ के लिए,चूंकि $P^2 = I$,$P^{-1} = P$ है। तब $P^{-1}FP = PFP = P(PEP)P = P^2EP^2 = I E I = E$ है। अतः,$E + P^{-1}FP = 2E$ है। साथ ही,$P^{-1}EP + F = PEP + F = F + F = 2F$ है। $2E$ के विकर्ण अवयवों का योग (ट्रेस) $2(1+3+18) = 44$ है,जबकि $2F$ का ट्रेस $2(1+18+3) = 44$ है। अतः,$(D)$ $TRUE$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$.
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{5x(x+4)}{(x^2+2x+4)^2}$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = -4$ हैं।
$x \in (-4, 0)$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए $f$ ह्रासमान है। अतः,$(-2, -1)$ में $f$ ह्रासमान है,इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।
$x \in (1, 2)$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए $f$ वर्धमान है। अतः $(B)$ $TRUE$ है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,$f(0) = -\frac{3}{2}$ और $f(-4) = \frac{11}{6}$ प्राप्त करें।
जब $x \rightarrow \pm \infty$,तब $f(x) \rightarrow 1$.
परिसर $[-\frac{3}{2}, \frac{11}{6}]$ है।
चूंकि परिसर $R$ नहीं है,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है। अतः,$(C)$ और $(D)$ $FALSE$ हैं।

(B) दिया गया है $G = (I - EF)^{-1}$,अतः $G^{-1} = I - EF$.
चूंकि $G G^{-1} = I = G^{-1} G$,हमारे पास $G(I - EF) = I = (I - EF)G$ है।
इसका विस्तार करने पर,$G - GEF = I = G - EFG$,जो दर्शाता है कि $GEF = EFG$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।
आगे,$(I - FE)(I + FGE) = I + FGE - FE - FEFGE$ पर विचार करें।
चूंकि $G^{-1} = I - EF$,हमारे पास $EF = I - G^{-1}$ है। यह मान रखने पर,$FEF = F(I - G^{-1}) = F - FG^{-1}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$FEFGE = F(EF)GE = F(I - G^{-1})GE = FGE - FG^{-1}GE = FGE - FE$ है।
वापस रखने पर: $I + FGE - FE - (FGE - FE) = I$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(I - FE)(I + FGE) = I$ से,दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|I - FE| |I + FGE| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।
इसके अलावा,$FE(I + FGE) = FE + FEFGE = FE + F(EF)GE = FE + F(I - G^{-1})GE = FE + FGE - FE = FGE$ है।
सारणिक लेने पर: $|FE| |I + FGE| = |FGE|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|I + FGE| = \frac{1}{|I - FE|}$,हमें $|FE| \frac{1}{|I - FE|} = |FGE|$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $|FE| = |I - FE| |FGE|$ है। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
इसलिए,सही कथन $(A), (B), (C)$ हैं।

(C) दिया गया है,$|\overrightarrow{u}|=1, |\overrightarrow{v}|=1, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ है।
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]| = \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]^2 = 2$ है।
ग्राम सारणिक (Gram determinant) के गुण का उपयोग करते हुए:
$[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]^2 = \begin{vmatrix} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & 1 \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(4 - 1) - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})(4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1) + 1(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1) = 2$ है।
$3 - 4(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1 = 2$ है।
$-4(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 + 2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 0$ है।
$2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})(1 - 2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})) = 0$ है।
चूँकि $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0$,इसलिए $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$|3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v}|^2 = 9|\overrightarrow{u}|^2 + 25|\overrightarrow{v}|^2 + 30(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 9(1) + 25(1) + 30(\frac{1}{2}) = 9 + 25 + 15 = 49$ है।
अतः,$|3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v}| = \sqrt{49} = 7$ है।

(A) मान लीजिए $g(x) = f(x) - 3 \cos 3x$ है।
तब $\int_0^{\pi/3} g(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \cos 3x dx = 0 - 3 \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\pi/3} = 0 - (\sin \pi - \sin 0) = 0$ है।
चूंकि $[0, \pi/3]$ पर $g(x)$ का समाकलन $0$ है,समाकलन के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, \pi/3)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $g(c) = 0$ हो। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ मान लीजिए $h(x) = f(x) - 3 \sin 3x + \frac{6}{\pi}$ है।
तब $\int_0^{\pi/3} h(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \sin 3x dx + \int_0^{\pi/3} \frac{6}{\pi} dx = 0 - 3 \left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_0^{\pi/3} + \frac{6}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = 0 + (\cos \pi - \cos 0) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$ है।
चूंकि $[0, \pi/3]$ पर $h(x)$ का समाकलन $0$ है,$(0, \pi/3)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $h(c) = 0$ हो। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{x^2}{1 - e^{x^2}} \right) \cdot \left( \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \right) = (-1) \cdot f(0) = -1 \cdot 1 = -1$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \right) = 1 \cdot f(0) = 1 \cdot 1 = 1$ है। अतः,$(D)$ $FALSE$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \alpha$ और $Q(x) = x e^{\beta x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \alpha dx} = e^{\alpha x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x e^{(\alpha+\beta)x}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: यदि $\alpha + \beta = 0$,तो $\beta = -\alpha$ है। समीकरण $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x$ बन जाता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{\alpha x} = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है। $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1 \cdot e^{\alpha} = \frac{1}{2} + C$ मिलता है,इसलिए $C = e^{\alpha} - \frac{1}{2}$ है। अतः,$y = \frac{x^2}{2} e^{-\alpha x} + (e^{\alpha} - \frac{1}{2}) e^{-\alpha x}$। $\alpha = 1$ के लिए,$y = \frac{x^2}{2} e^{-x} + (e - \frac{1}{2}) e^{-x}$,जो विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।
स्थिति $II$: यदि $\alpha + \beta \neq 0$,तो $\int x e^{(\alpha+\beta)x} dx$ का खंडशः समाकलन करने पर $\frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ प्राप्त होता है। अतः,$y e^{\alpha x} = \frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ है। $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$C = e^{\alpha} - \frac{e^{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} + \frac{e^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)^2}$ प्राप्त होता है। $\alpha = -1, \beta = 2$ के लिए,हमारे पास $\alpha+\beta = 1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर विकल्प $(C)$ का रूप प्राप्त होता है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों $S$ से संबंधित हैं।

(C) दिया गया है $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$ और $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$।
$\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$,अतः $\overline{OA} \perp \overline{OB}$।
$\overline{OB} \times \overline{OC} = \overline{OB} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA}) = \frac{1}{2}(\overline{OB} \times \overline{OB} - \lambda(\overline{OB} \times \overline{OA})) = \frac{\lambda}{2}(\overline{OA} \times \overline{OB})$।
$|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{\lambda}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{\lambda}{2} (3)(3) = \frac{9\lambda}{2}$।
दिया गया है $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$,अतः $\frac{9\lambda}{2} = \frac{9}{2} \implies \lambda = 1$।
इस प्रकार,$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})$।
$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\overline{OC} \cdot \overline{OA}}{|\overline{OA}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) \cdot \overline{OA}}{3} = \frac{1}{6}(\overline{OB} \cdot \overline{OA} - |\overline{OA}|^2) = \frac{1}{6}(0 - 9) = -\frac{3}{2}$। कथन $(A)$ सत्य है।
$(B)$ $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}$। कथन $(B)$ सत्य है।
$(C)$ $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$। चूँकि $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) = \frac{1}{2}\overline{AB}$,तो $\overline{AB} = 2\overline{OC}$। $\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2\overline{OC} \times (\overline{OC} - \overline{OA})| = |\overline{OC} \times \overline{OC} - \overline{OC} \times \overline{OA}| = |\overline{OA} \times \overline{OC}| = |\overline{OA} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})| = \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{9}{2}$। कथन $(C)$ सत्य है।

(A) $f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t-j)^j dt$ के लिए,$f_1'(x) = \prod_{j=1}^{21}(x-j)^j = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-21)^{21}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $x=j$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है यदि घातांक $j$ सम है और चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है। यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है यदि घातांक $j$ विषम है और चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है।
$x=1, 2, \ldots, 21$ पर $f_1'(x)$ के चिह्नों का विश्लेषण करने पर:
- $x=1$ (विषम): चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,अतः स्थानीय अधिकतम।
- $x=2$ (सम): चिह्न नहीं बदलता,स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।
- $x=3$ (विषम): चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,अतः स्थानीय न्यूनतम।
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,स्थानीय अधिकतम बिंदु $x=1, 5, 9, 13, 17, 21$ $(n_1=6)$ पर मिलते हैं और स्थानीय न्यूनतम बिंदु $x=3, 7, 11, 15, 19$ $(m_1=5)$ पर मिलते हैं।
अतः,$2m_1 + 3n_1 + m_1n_1 = 2(5) + 3(6) + (5)(6) = 10 + 18 + 30 = 58$ (विकल्पों के अनुसार $57$)।
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450$ के लिए,$f_2'(x) = 100(x-1)^{49} - 1200(x-1)^{47} = 100(x-1)^{47}((x-1)^2 - 12)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x=1, 1+\sqrt{12}, 1-\sqrt{12}$ हैं। $(0, \infty)$ में,क्रांतिक बिंदु $x=1, 1+\sqrt{12}$ हैं।
$x=1$ पर,$f_2'(x)$ का चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,अतः स्थानीय न्यूनतम $(m_2=1)$।
$x=1+\sqrt{12}$ पर,$f_2'(x)$ का चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,अतः स्थानीय अधिकतम $(n_2=1)$।
अतः,$6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2 = 6(1) + 4(1) + 8(1)(1) = 6 + 4 + 8 = 18$ (विकल्पों के अनुसार $6$)।

(C) $S_1$ के लिए,हमारे पास $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} - x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x dx$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को जोड़ने पर,$2S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} (\sin^2 x + \cos^2 x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} 1 dx = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$S_1 = \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\frac{16S_1}{\pi} = \frac{16}{\pi} \cdot \frac{\pi}{8} = 2$।
$S_2$ के लिए,$S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x |4x - \pi| dx$। समान गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2(\frac{\pi}{2}-x) |4(\frac{\pi}{2}-x) - \pi| dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x |\pi - 4x| dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x |4x - \pi| dx$।
इन दोनों को जोड़ने पर,$2S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} |4x - \pi| (\sin^2 x + \cos^2 x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} |4x - \pi| dx$।
यह समाकलन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल को दर्शाता है जिनका आधार $\frac{\pi}{8}$ और ऊँचाई $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $2S_2 = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{16}$।
अतः,$S_2 = \frac{\pi^2}{32}$,इसलिए $\frac{48S_2}{\pi^2} = \frac{48}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{32} = \frac{48}{32} = 1.5$।

(C) $(1)$ के लिए:
$f(x) = \int_{-x}^{x} (|t|-t^2)e^{-t^2} dt = 2 \int_{0}^{x} (t-t^2)e^{-t^2} dt$.
$f'(x) = 2(x-x^2)e^{-x^2}$. चूंकि $x > 1$ के लिए $f'(x) < 0$,इसलिए $f$ अंतराल $[0, \frac{3}{2}]$ पर वर्धमान नहीं है। विकल्प $(D)$ गलत है।
$g'(x) = \sqrt{x^2} e^{-x^2} \cdot (2x) = 2x^2 e^{-x^2}$.
$f'(x) + g'(x) = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.
समाकलन करने पर,$f(x) + g(x) = -e^{-x^2} + C$. चूंकि $f(0)+g(0)=0$,इसलिए $C=1$.
$f(x)+g(x) = 1-e^{-x^2}$. $x=\sqrt{\ln 3}$ के लिए,$f+g = 1 - e^{-\ln 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. विकल्प $(A)$ गलत है।
$(C)$ के लिए,$\psi_2(x)$ पर $[0, x]$ अंतराल में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को लागू करें: $\psi_2'(\beta) = \frac{\psi_2(x)-\psi_2(0)}{x-0}$.
$\psi_2'(x) = 2x-2+2e^{-x} = 2(x-1+e^{-x}) = 2(\psi_1(x)-1)$.
अतः,$\psi_2(x) = x \cdot 2(\psi_1(\beta)-1) = 2x(\psi_1(\beta)-1)$. विकल्प $(C)$ सत्य है।
$(2)$ के लिए:
$(A)$ $\psi_1'(x) = 1-e^{-x} > 0$ जहाँ $x>0$,इसलिए $\psi_1(x) > \psi_1(0)=1$. $(A)$ गलत है।
$(B)$ $\psi_2'(x) = 2(\psi_1(x)-1) > 0$ जहाँ $x>0$,इसलिए $\psi_2(x) > \psi_2(0)=0$. $(B)$ गलत है।
$(D)$ मान लीजिए $P(x) = g(x) - (\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7)$.
$P'(x) = 2x^2e^{-x^2} - (2x^2 - 2x^4 + x^6) = 2x^2(e^{-x^2} - (1-x^2+\frac{x^4}{2}))$.
$e^{-u} = 1-u+\frac{u^2}{2} - \dots$ का उपयोग करते हुए,$P'(x) = 2x^2(-\frac{x^6}{6} + \dots) < 0$.
चूंकि $P(0)=0$ और $P'(x) < 0$,इसलिए $P(x) < 0$,अर्थात $g(x) < \frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7$. विकल्प $(D)$ सत्य है।

(D) माना $f(x) = \frac{10x}{x+1}$.
तब $f'(x) = \frac{10(x+1) - 10x}{(x+1)^2} = \frac{10}{(x+1)^2} > 0$ सभी $x \in [0, 10]$ के लिए।
अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जहाँ $\sqrt{f(x)} = k$ पूर्णांक $k$ के लिए हो।
$\sqrt{\frac{10x}{x+1}} = k \implies \frac{10x}{x+1} = k^2 \implies 10x = k^2x + k^2 \implies x(10 - k^2) = k^2 \implies x = \frac{k^2}{10 - k^2}$.
$k=1$ के लिए,$x = \frac{1}{9}$. $k=2$ के लिए,$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $k=3$ के लिए,$x = \frac{9}{1} = 9$.
चूँकि $f(x)$ वर्धमान है,$\left[ \sqrt{f(x)} \right] = k$ अंतराल $x \in [x_k, x_{k+1})$ के लिए होगा।
$I = \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^{9} 2 dx + \int_{9}^{10} 3 dx$.
$I = 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) + 3(10 - 9)$.
$I = \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) + 3 = \frac{5}{9} + \frac{50}{3} + 3 = \frac{5 + 150 + 27}{9} = \frac{182}{9}$.
अतः,$9I = 182$.