IIT JEE 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हमें $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} g(x)$ का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{2 \ln(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\ln(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$। यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
लोपिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$L = 2 \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = 2 \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}$
$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}}$
सीमा भाग के लिए फिर से लोपिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{\alpha}} = 2$.
अब,$\lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} f(g(x)) = f(2) = \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = 0.50$.

(A) $n(U) = 900$
माना $A \equiv \text{बुखार}$,$B \equiv \text{खांसी}$,$C \equiv \text{सांस लेने में समस्या}$.
दिया है: $n(A) = 190, n(B) = 220, n(C) = 220$,
$n(A \cup B) = 330, n(B \cup C) = 350, n(A \cup C) = 340, n(A \cap B \cap C) = 30$.
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$330 = 190 + 220 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 80$.
इसी प्रकार,$350 = 220 + 220 - n(B \cap C) \Rightarrow n(B \cap C) = 90$.
और $340 = 190 + 220 - n(A \cap C) \Rightarrow n(A \cap C) = 70$.
अब,$n(A \cup B \cup C) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - (80 + 90 + 70) + 30 = 630 - 240 + 30 = 420$.
बिना किसी लक्षण वाले व्यक्तियों की संख्या $= n(U) - n(A \cup B \cup C) = 900 - 420 = 480$.
ठीक एक लक्षण वाले व्यक्तियों की संख्या $= (n(A) + n(B) + n(C)) - 2(n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + 3n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - 2(80 + 90 + 70) + 3(30) = 630 - 480 + 90 = 240$.
अधिकतम एक लक्षण वाले व्यक्तियों की संख्या $= 480 + 240 = 720$.
प्रायिकता $= \frac{720}{900} = \frac{8}{10} = 0.80$.

(B) दिया गया है कि $z \neq \overline{z}$.
माना $\alpha = \frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2} = 1 + \frac{6z}{2-3z+4z^2}$.
यदि $\alpha$ एक वास्तविक संख्या है,तो $\alpha = \overline{\alpha}$.
अतः $\frac{z}{2-3z+4z^2} = \frac{\overline{z}}{2-3\overline{z}+4\overline{z}^2}$.
सरल करने पर,$2(z-\overline{z}) = 4z\overline{z}(z-\overline{z})$.
चूँकि $z \neq \overline{z}$,इसलिए $4z\overline{z} = 2$.
अतः $|z|^2 = z\overline{z} = 0.50$.

(C) दिया गया है,$\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z^2 = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}z^2 = \frac{2i}{2}z^2 = iz^2$.
मान लीजिए $z = x+iy$,तो $\bar{z} = x-iy$.
$\bar{z} = iz^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x-iy = i(x+iy)^2 = i(x^2-y^2+2ixy) = -2xy + i(x^2-y^2)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = -2xy \Rightarrow x(1+2y) = 0$.
$-y = x^2-y^2 \Rightarrow x^2 = y^2-y$.
स्थिति $I$: यदि $x=0$,तो $y^2-y=0$,अतः $y=0$ या $y=1$। इससे $z=0$ और $z=i$ मूल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $II$: यदि $y=-\frac{1}{2}$,तो $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$,अतः $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$। इससे $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ और $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ मूल प्राप्त होते हैं।
कुल $4$ भिन्न मूल हैं।

(A) दिया गया है $A_{51} - A_{50} = 1000$.
चूँकि $l_i = l_1 + (i-1)d_1$ और $w_i = w_1 + (i-1)d_2$,हमारे पास $A_i = l_i w_i = (l_1 + (i-1)d_1)(w_1 + (i-1)d_2)$ है।
$A_{51} - A_{50} = (l_1 + 50d_1)(w_1 + 50d_2) - (l_1 + 49d_1)(w_1 + 49d_2) = 1000$.
इसका विस्तार करने पर,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + (50^2 - 49^2)d_1 d_2 = 1000$ प्राप्त होता है।
चूँकि $d_1 d_2 = 10$,यह $l_1 d_2 + w_1 d_1 + 99(10) = 1000$ हो जाता है,जिससे $l_1 d_2 + w_1 d_1 = 10$ प्राप्त होता है।
अब,$A_{100} - A_{90} = (l_1 + 99d_1)(w_1 + 99d_2) - (l_1 + 89d_1)(w_1 + 89d_2)$.
$= (l_1 d_2 + w_1 d_1)(99 - 89) + (99^2 - 89^2)d_1 d_2$.
$= 10(10) + (99 - 89)(99 + 89)(10) = 100 + 10(188)(10) = 100 + 18800 = 18900$.

(B) हमें अंतराल $[2022, 4482]$ में ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ अंकों का उपयोग करके $4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है।
स्थिति $(1)$: $202...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
संख्याएँ $2022, 2023, 2024, 2026, 2027$ हैं। कुल = $5$।
स्थिति $(2)$: $203..., 204..., 206..., 207...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
पहला अंक $2$,दूसरा $0$,तीसरा ${3, 4, 6, 7}$ ($4$ विकल्प),चौथा ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ ($6$ विकल्प)।
कुल = $4 \times 6 = 24$।
स्थिति $(3)$: $22..., 23..., 24..., 26..., 27...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
पहला अंक $2$,दूसरा ${2, 3, 4, 6, 7}$ ($5$ विकल्प),तीसरा और चौथा कोई भी ($6$ विकल्प)।
कुल = $5 \times 6 \times 6 = 180$।
स्थिति $(4)$: $3...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
पहला अंक $3$,बाकी तीन स्थानों के लिए $6$ विकल्प।
कुल = $6 \times 6 \times 6 = 216$।
स्थिति $(5)$: $40..., 42..., 43..., 44...$ से $4482$ तक की संख्याएँ।
$40..., 42..., 43...$ के लिए: $3 \times 6 \times 6 = 108$।
$440..., 442..., 443...$ के लिए: $3 \times 6 = 18$।
$4440, 4442, 4443, 4444, 4446, 4447$: $6$ संख्याएँ।
$4460, 4462, 4463, 4464, 4466, 4467$: $6$ संख्याएँ।
$4470, 4472, 4473, 4474, 4476, 4477$: $6$ संख्याएँ।
स्थिति $(5)$ के लिए योग = $108 + 18 + 6 + 6 + 6 = 144$।
कुल = $5 + 24 + 180 + 216 + 144 = 569$।

(B) को $(0,0)$,$B$ को $(1,0)$,और $C$ को $(0,3)$ पर रखें।
$\triangle ABC$ के परिवृत्त का व्यास $BC$ है। केंद्र $C_1$,$BC$ का मध्यबिंदु है,अतः $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
छोटे वृत्त की त्रिज्या $r$ है और यह प्रथम चतुर्थांश में $AB$ $(y=0)$ और $AC$ $(x=0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $C_2 = (r, r)$ है।
चूंकि छोटा वृत्त परिवृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = R - r$ होनी चाहिए।
$C_1 C_2^2 = (r - \frac{1}{2})^2 + (r - \frac{3}{2})^2 = (R - r)^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2} - r)^2$ है।
$r^2 - 4r + \sqrt{10}r = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r > 0$,$r = 4 - \sqrt{10} \approx 0.838$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$r \approx 0.84$ है।

(B) दिया गया है $a_1=7$ और $d=8$। समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (n-1)8 = 8n-1$ है।
हमें $T_{n+1} - T_n = a_n$ दिया गया है। $k=1$ से $n-1$ तक योग करने पर,हमें $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ प्राप्त होता है।
$T_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (8k-1) = 3 + 8 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + 4n^2 - 4n - n + 1 = 4n^2 - 5n + 4$.
$n=20$ के लिए,$T_{20} = 4(20)^2 - 5(20) + 4 = 1600 - 100 + 4 = 1504$। (विकल्प $A$ गलत है)।
$n=30$ के लिए,$T_{30} = 4(30)^2 - 5(30) + 4 = 3600 - 150 + 4 = 3454$। (विकल्प $C$ सही है)।
अब,$\sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 5k + 4) = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \frac{n(n+1)}{2} + 4n$.
$n=20$ के लिए,$\sum_{k=1}^{20} T_k = 4 \frac{20(21)(41)}{6} - 5 \frac{20(21)}{2} + 4(20) = 2(2870) - 1050 + 80 = 11480 - 1050 + 80 = 10510$। (विकल्प $B$ सही है)।
$n=30$ के लिए,$\sum_{k=1}^{30} T_k = 4 \frac{30(31)(61)}{6} - 5 \frac{30(31)}{2} + 4(30) = 2(18920) - 2325 + 120 = 37840 - 2325 + 120 = 35635$। (विकल्प $D$ गलत है)।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं।

(B, C) परवलय $y^2=4x$ (जहाँ $a=1$) की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
चूंकि यह $P=(-2,1)$ से गुजरती है,हमारे पास $1=-2m+\frac{1}{m}$ है,जो $2m^2+m-1=0$ में सरल हो जाता है।
$m$ के लिए हल करने पर,हमें $(2m-1)(m+1)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $m=\frac{1}{2}$ या $m=-1$ है।
स्पर्श बिंदु $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ द्वारा दिए जाते हैं।
$m=\frac{1}{2}$ के लिए,बिंदु $P_1=(4,4)$ है। $m=-1$ के लिए,बिंदु $P_2=(1,-2)$ है।
नाभि $S$,$(1,0)$ है।
रेखा $SP_1$,$(1,0)$ और $(4,4)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y-0=\frac{4-0}{4-1}(x-1)$ है,जो $4x-3y-4=0$ है।
रेखा $SP_2$,$(1,0)$ और $(1,-2)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $x=1$ है।
लंबाई $PQ_1$,$P(-2,1)$ से $4x-3y-4=0$ तक की लंबवत दूरी है,जो $PQ_1 = \frac{|4(-2)-3(1)-4|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3$ है।
इसी प्रकार,$PQ_2$,$P(-2,1)$ से $x=1$ तक की लंबवत दूरी है,जो $PQ_2 = |-2-1| = 3$ है।
$\triangle SPQ_1$ में,$SQ_1 = \sqrt{SP^2 - PQ_1^2}$ है। यहाँ $SP = \sqrt{(-2-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ है।
इसलिए $SQ_1 = \sqrt{10-9} = 1$ है। इसी प्रकार,$SQ_2 = 1$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) मान लीजिए $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$ और $E(2\cos\phi, \sqrt{3}\sin\phi)$ है।
$E$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\sin\phi)}{3} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{x\cos\phi}{2} + \frac{y\sin\phi}{\sqrt{3}} = 1$ हो जाता है।
$y=0$ रखने पर,हमें $G$ का $x$-निर्देशांक $x_G = \frac{2}{\cos\phi}$ प्राप्त होता है। अतः,$G = (\frac{2}{\cos\phi}, 0)$।
निर्देशांक $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$,$G(\frac{2}{\cos\phi}, 0)$,और $H(2\cos\phi, 0)$ हैं।
$\Delta FGH$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times HG \times FH$।
$HG = |\frac{2}{\cos\phi} - 2\cos\phi| = 2\frac{1-\cos^2\phi}{\cos\phi} = 2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}$।
$FH = 2\sin\phi$।
क्षेत्रफल $A(\phi) = \frac{1}{2} \times (2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}) \times (2\sin\phi) = 2\tan\phi \sin^2\phi$।
$(I)$ $\phi = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{4}) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2(1)(\frac{1}{2}) = 1 \rightarrow (Q)$।
$(II)$ $\phi = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{3}) \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2(\sqrt{3})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \rightarrow (T)$।
$(III)$ $\phi = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{6}) \sin^2(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \rightarrow (S)$।
$(IV)$ $\phi = \frac{\pi}{12}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{12}) \sin^2(\frac{\pi}{12}) = 2(2-\sqrt{3})(\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}) = (2-\sqrt{3})(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8} = \frac{(4-2\sqrt{3})^2}{8} = \frac{28-16\sqrt{3}}{8} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$। अतः,$(IV) \rightarrow (P)$।
इसलिए,$(I) \rightarrow (Q), (II) \rightarrow (T), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (P)$।

(A) दिया गया है कि $\sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ और $\cos(\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$ है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें मान $1$ प्राप्त होता है।
अतः,महत्तम पूर्णांक $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x} = 5^{-16}$.
दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:
$(16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(5^{-16})$.
माना $t = \log_5 x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$(16t^3 - 68t) \cdot t = -16$.
$16t^4 - 68t^2 + 16 = 0$.
$4$ से भाग देने पर:
$4t^4 - 17t^2 + 4 = 0$.
माना $u = t^2$. तब $4u^2 - 17u + 4 = 0$.
$(4u - 1)(u - 4) = 0$.
अतः,$u = 1/4$ या $u = 4$.
चूंकि $u = t^2 = (\log_5 x)^2$,इसलिए $(\log_5 x)^2 = 1/4$ या $(\log_5 x)^2 = 4$.
इससे $\log_5 x = \pm 1/2$ या $\log_5 x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
$x$ के मान $5^{1/2}, 5^{-1/2}, 5^2, 5^{-2}$ हैं।
इन मानों का गुणनफल $5^{1/2 - 1/2 + 2 - 2} = 5^0 = 1$ है।

(A) हमें दिया गया है $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^3} - (1 - x^3)^{1/3} + ((1 - x^2)^{1/2} - 1) \sin x}{x \sin^2 x}$।
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,हर को $x \sin^2 x = x^3 \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \approx x^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
टेलर श्रेणी का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर:
$e^{x^3} = 1 + x^3 + O(x^6)$
$(1 - x^3)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^6)$
$(1 - x^2)^{1/2} - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^3) - (1 - \frac{1}{3}x^3) + (-\frac{1}{2}x^2) \cdot x}{x^3}$
$\beta = \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1 + x^3 - 1 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^3}{x^3} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
अतः,$6 \beta = 6 \times \frac{5}{6} = 5$।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ के लिए,$a^2=100$ और $b^2=64$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{164} = 4\sqrt{41}$ है।
अतिपरवलय के गुणधर्म के अनुसार,$S_1P - SP = 2a = 20$ है। मान लीजिए $SP = r$ है। तो $S_1P = r+20$,इसलिए $\beta = r+20$ है।
$\triangle SPP_1$ में,$\angle SPP_1 = \frac{\alpha}{2}$ है।
$\triangle SPP_1$ में,$\delta = SP \sin(\angle SPP_1) = r \sin \frac{\alpha}{2}$ है।
$\triangle SPS_1$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,गणना करने पर $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{64}{9} \approx 7.11$ प्राप्त होता है।
अतः,महत्तम पूर्णांक $7$ है।

(C) $\triangle PQR$ में,$\angle PRQ = \angle QRS - \angle PRS = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\triangle QRS$ में,$\angle RQS = \angle PQR - \angle PQS = 70^{\circ} - 15^{\circ} = 55^{\circ}$ है।
अतः $\angle QSR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 55^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\angle RQS = \angle QSR = 55^{\circ}$,इसलिए $QR = RS = 1$ है।
$\triangle PQR$ में,$\angle QPR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\sin 80^{\circ}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
$\triangle PRS$ में ज्या नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\beta}{\sin 40^{\circ}} = \frac{1}{\sin \theta} \Rightarrow \beta \sin \theta = \sin 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$4 \alpha \beta \sin \theta = 4 \left( \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}} \right) \sin 40^{\circ} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}} = \sec 40^{\circ}$ है।
चूँकि $30^{\circ} < 40^{\circ} < 45^{\circ}$ है,इसलिए $\sec 30^{\circ} < \sec 40^{\circ} < \sec 45^{\circ}$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sec 40^{\circ} < \sqrt{2}$।
चूँकि $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ है,इसलिए $\sec 40^{\circ}$ का मान $(0, \sqrt{2})$ और $(1, 2)$ अंतरालों में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A) मान लीजिए $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,तो $\bar{z} = r(\cos \theta - i \sin \theta)$.
तब $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) + \frac{1}{r^2}(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = (r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta - i (r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta$.
मान लीजिए $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta = m$ और $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta = -n$,जहाँ $m, n \in \mathbb{Z}$.
वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $(r^2 + \frac{1}{r^2})^2 = m^2 + n^2$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = m^2 + n^2$.
विकल्प $(A)$ के लिए,$|z|^4 = \frac{43+3 \sqrt{205}}{2}$.
अतः $r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = 43 + 2 = 45$,जो $m^2 + n^2 = 45$ है। यह पूर्णांक $m, n$ के लिए संभव है (जैसे,$6^2 + 3^2 = 45$).
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) $n$ वृत्तों $G_i$ के केंद्र $2r$ भुजा की लंबाई वाला एक नियमित बहुभुज बनाते हैं। $G$ के केंद्र से किसी भी $G_i$ के केंद्र की दूरी $R+r$ है।
$G$ के केंद्र और दो आसन्न वृत्तों $G_i$ और $G_{i+1}$ के केंद्रों द्वारा निर्मित त्रिभुज का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{r}{R+r}$
$\frac{R+r}{r} = \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) \implies R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) - 1)$.
$(A)$ $n=4$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) - 1) = r(\sqrt{2}-1)$. अतः,$(\sqrt{2}-1)r = R$. इसलिए $(\sqrt{2}-1)r < R$ कथन $FALSE$ है।
$(B)$ $n=5$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) - 1)$. चूंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) \approx 1.701$,इसलिए $R \approx 0.701r$,जिसका अर्थ है $r > R$. इसलिए $r < R$ कथन $FALSE$ है।
$(C)$ $n=8$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) - 1)$. चूंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) > \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$,इसलिए $R > r(\sqrt{2}-1)$,जिसका अर्थ है कि $(\sqrt{2}-1)r < R$. यह $TRUE$ है।
$(D)$ $n=12$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) - 1)$. हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \approx 3.86$. अतः $R = r(\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - 1)$. स्पष्ट रूप से,$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$. यह $TRUE$ है।
अतः,सही कथन $C$ और $D$ हैं।

(A) मान लें कि $n_i$ बक्से $i$ से चुनी गई गेंदों की संख्या है,जहाँ $n_i \ge 2$ और $\sum_{i=1}^4 n_i = 10$ है।
चूँकि प्रत्येक बक्से में कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद होनी चाहिए,$(n_1, n_2, n_3, n_4)$ के संभावित वितरण $(4, 2, 2, 2)$ और $(3, 3, 2, 2)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
स्थिति $I$: वितरण $(4, 2, 2, 2)$।
एक बक्से से $4$ गेंदें चुनने के तरीके ताकि कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद चुनी जाए: $\binom{5}{4} - \binom{3}{4} - \binom{2}{4} = 5$।
एक बक्से से $2$ गेंदें चुनने के तरीके ताकि कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद चुनी जाए: $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 6$।
इस स्थिति के लिए कुल तरीके: $\binom{4}{1} \times 5 \times 6^3 = 4320$।
स्थिति $II$: वितरण $(3, 3, 2, 2)$।
एक बक्से से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ताकि कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद चुनी जाए: $\binom{5}{3} - \binom{3}{3} - \binom{2}{3} = 9$।
इस स्थिति के लिए कुल तरीके: $\binom{4}{2} \times 9^2 \times 6^2 = 17496$।
कुल तरीके = $4320 + 17496 = 21816$।

(A) माना $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. अतः $\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
दिए गए त्रिभुज से,$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\pi^2}}$,इसलिए $\cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^2}} = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अब,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \sin ^{-1} \left( \frac{2(\pi/\sqrt{2})}{1+(\pi/\sqrt{2})^2} \right)$ पर विचार करें।
चूंकि $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.414} > 1$,हम सूत्र $\sin ^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} x$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
साथ ही,$\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi} = \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
व्यंजक $= \frac{3}{2} \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \left( \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \right) + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \right) \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4}$.
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\pi \approx 3.14159$ लेने पर,$\frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.356$. अतः,मान लगभग $2.35$ है।

(A) दो समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा को समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है:
$10x + 15y + 12z = 60$
$-2x + 5y + 4z = 20$
दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,हमें $-10x + 25y + 20z = 100$ प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर $40y + 32z = 160$ मिलता है,अर्थात $5y + 4z = 20$।
यदि $z = 5k$ लें,तो $5y = 20 - 20k$,इसलिए $y = 4 - 4k$। दूसरे समतल के समीकरण में मान रखने पर: $-2x + 5(4 - 4k) + 4(5k) = 20 \implies -2x + 20 - 20k + 20k = 20 \implies x = 0$।
प्रतिच्छेदन रेखा $\frac{x}{0} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z}{5}$ है।
एक चतुष्फलक की कोर जिसके दो फलक $P_1$ और $P_2$ पर स्थित हों,उसे या तो प्रतिच्छेदन रेखा के साथ विषमतलीय (skew) होना चाहिए या उसे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।
विकल्पों की जांच करने पर,रेखाएं $A, B$ और $C$ इन शर्तों को पूरा करती हैं।

(D) समतल का समीकरण $\vec{r} = \hat{k} + t(-\hat{i} + \hat{j}) + p(-\hat{i} + \hat{k})$ है।
यह $(0, 0, 1)$ से गुजरने वाला एक समतल है जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $1(x-0) + 1(y-0) + 1(z-1) = 0$ अर्थात $x + y + z = 1$ है।
$Q = (10, 15, 20)$ और $S = (\alpha, \beta, \gamma)$ दिए गए हैं,प्रतिबिंब का सूत्र $\frac{\alpha-10}{1} = \frac{\beta-15}{1} = \frac{\gamma-20}{1} = -2 \frac{10+15+20-1}{1^2+1^2+1^2} = -2 \frac{44}{3} = -\frac{88}{3}$ है।
अतः,$\alpha = 10 - \frac{88}{3} = -\frac{58}{3}$,$\beta = 15 - \frac{88}{3} = -\frac{43}{3}$,और $\gamma = 20 - \frac{88}{3} = -\frac{28}{3}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = 3(-\frac{58}{3} - \frac{43}{3}) = -101$ (सत्य)।
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = 3(-\frac{43}{3} - \frac{28}{3}) = -71$ (सत्य)।
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = 3(-\frac{28}{3} - \frac{58}{3}) = -86$ (सत्य)।
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = 3(-\frac{58+43+28}{3}) = -129$ (असत्य)।
अतः,विकल्प $A, B, C$ सही हैं।

(A) सबसे पहले,सारणिक $f(\theta)$ का मूल्यांकन करें। पहला सारणिक $\frac{1}{2} \times [1(1+\sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)] = \frac{1}{2} \times [1+\sin^2 \theta + 1+\sin^2 \theta] = 1+\sin^2 \theta$ है।
दूसरा सारणिक विषम क्रम $(3 \times 3)$ का एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसका मान $0$ है। अतः,$f(\theta) = 1+\sin^2 \theta$ है।
तब $g(\theta) = \sqrt{1+\sin^2 \theta - 1} + \sqrt{1+\sin^2(\frac{\pi}{2}-\theta) - 1} = \sqrt{\sin^2 \theta} + \sqrt{\cos^2 \theta} = |\sin \theta| + |\cos \theta|$ है।
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ है।
$g(\theta)$ का परिसर $[1, \sqrt{2}]$ है। $p(x)$ के मूल $1$ और $\sqrt{2}$ हैं।
अतः $p(x) = k(x-1)(x-\sqrt{2})$ है। दिया गया है कि $p(2) = 2-\sqrt{2}$,इसलिए $k(2-1)(2-\sqrt{2}) = 2-\sqrt{2} \implies k=1$ है।
अतः $p(x) = (x-1)(x-\sqrt{2})$ है।
$(A) \ p(\frac{3+\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3+\sqrt{2}-4}{4})(\frac{3+\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{\sqrt{2}-1}{4})(\frac{3-3\sqrt{2}}{4}) < 0$ (सत्य)।
$(B) \ p(\frac{1+3\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1+3\sqrt{2}-4}{4})(\frac{1+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3\sqrt{2}-3}{4})(\frac{1-\sqrt{2}}{4}) < 0$ (असत्य)।
$(C) \ p(\frac{5\sqrt{2}-1}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-1-4}{4})(\frac{5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-5}{4})(\frac{\sqrt{2}-1}{4}) > 0$ (सत्य)।
$(D) \ p(\frac{5-\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5-\sqrt{2}-4}{4})(\frac{5-\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1-\sqrt{2}}{4})(\frac{5-5\sqrt{2}}{4}) > 0$ (असत्य)।

(A) मान लीजिए $W$ वह घटना है जिसमें $P_1$ दौर जीतता है,$L$ जिसमें $P_1$ हारता है,और $D$ ड्रा है।
$P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(W) = P(L) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{12}$.
$n=2$ के लिए:
$P(X_2 > Y_2) = P(W, W) + P(W, D) + P(D, W) = (\frac{5}{12})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{1}{6}) = \frac{25}{144} + \frac{20}{144} = \frac{45}{144} = \frac{5}{16}$. ($II \rightarrow R$ से मेल खाता है)
$P(X_2 = Y_2) = P(D, D) + P(W, L) + P(L, W) = (\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{5}{12}) = \frac{1}{36} + \frac{50}{144} = \frac{54}{144} = \frac{3}{8}$. ($I \rightarrow P$ से मेल खाता है)
$P(X_2 \geq Y_2) = P(X_2 > Y_2) + P(X_2 = Y_2) = \frac{5}{16} + \frac{3}{8} = \frac{11}{16}$. ($I \rightarrow Q$ से मेल खाता है)
$n=3$ के लिए:
$P(X_3 = Y_3) = \frac{77}{432}$. ($III \rightarrow T$ से मेल खाता है)
$P(X_3 > Y_3) = \frac{1}{2}(1 - P(X_3 = Y_3)) = \frac{355}{864}$. ($IV \rightarrow S$ से मेल खाता है)
अतः,$I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$.

(B) चूंकि $p, q, r$ एक हरात्मक प्रगति के $10^{\text{th}}, 100^{\text{th}}, 1000^{\text{th}}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं। मान लीजिए $AP$ $a + (n-1)d$ है। तो $\frac{1}{p} = a + 9d, \frac{1}{q} = a + 99d, \frac{1}{r} = a + 999d$ है।
तीसरे समीकरण $qrx + pry + pqz = 0$ को $pqr$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$ प्राप्त होता है।
$AP$ पदों को प्रतिस्थापित करने पर,प्रणाली इस प्रकार बनती है:
$x+y+z=1$
$x+10y+100z=0$
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$
प्रणाली का सारणिक $D$ की गणना करने पर: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 10 & 100 \\ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \end{vmatrix}$।
$AP$ के गुणों का उपयोग करते हुए,$D = 0$ तभी होता है जब पदों का अनुपात प्रगति से मेल खाता हो। विशेष रूप से,यदि $D=D_x=D_y=D_z=0$ हो तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।
$(I)$ के लिए,यदि $\frac{q}{r}=10$,तो प्रणाली अनंत हलों $(R)$ के साथ सुसंगत है,और चूंकि इसके अनंत हल हैं,इसलिए इसके पास कम से कम एक हल $(T)$ है।
$(II)$ के लिए,यदि $\frac{p}{r} \neq 100$,तो प्रणाली असंगत है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है $(S)$।
$(III)$ के लिए,यदि $\frac{p}{q} \neq 10$,तो प्रणाली असंगत है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है $(S)$।
$(IV)$ के लिए,यदि $\frac{p}{q}=10$,तो प्रणाली के पास अनंत हल $(R)$ हैं,और इसलिए कम से कम एक हल $(T)$ है।
इनका मिलान करने पर,$(I) \rightarrow (R, T), (II) \rightarrow (S), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (R, T)$। विकल्प $(B)$ सही मिलान है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y^2 - 4y) dx$ जहाँ $x > 0$ है।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\int \frac{1}{4} (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = \int \frac{dx}{x}$।
$4$ से गुणा करने पर: $\int (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = 4 \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y-4| - \ln|y| = 4 \ln x + \ln c$।
यह सरल होकर: $\ln|\frac{y-4}{y}| = \ln(cx^4)$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{y-4}{y} = cx^4$।
$y(1) = 2$ दिया गया है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर: $\frac{2-4}{2} = c(1)^4 \Rightarrow c = -1$।
अतः,$\frac{y-4}{y} = -x^4 \Rightarrow y-4 = -yx^4 \Rightarrow y(1+x^4) = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{1+x^4}$।
हमें $10y(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करना है।
$y(\sqrt{2}) = \frac{4}{1+(\sqrt{2})^4} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$।
इसलिए,$10y(\sqrt{2}) = 10 \times \frac{4}{5} = 8$।

(D) माना $f(x) = \log_2(x^3+1)$। तब $y = \log_2(x^3+1) \implies x^3+1 = 2^y \implies x = (2^y-1)^{1/3}$।
अतः,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$।
दिया गया समाकलन $\int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$ के रूप में है।
यहाँ $a=1$,$b=2$ है। $f(1) = \log_2(1^3+1) = \log_2 2 = 1$। $f(2) = \log_2(2^3+1) = \log_2 9$।
अतः,समाकलन का मान $2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) = 2 \log_2 9 - 1$ है।
चूँकि $8 < 9 < 16$,इसलिए $3 < \log_2 9 < 4$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$6 < 2 \log_2 9 < 8$ प्राप्त होता है।
$1$ घटाने पर,$5 < 2 \log_2 9 - 1 < 7$ प्राप्त होता है।
विशेष रूप से,$2 \log_2 9 - 1 = \log_2 81 - 1 = \log_2 81 - \log_2 2 = \log_2(40.5)$।
चूँकि $2^5 = 32$ और $2^6 = 64$,इसलिए $5 < \log_2(40.5) < 6$ है।
इस मान से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $5$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = \beta(1(-2) - (-2)(1)) - 0 + 1(2(1) - 3(1)) = \beta(0) + 1(-1) = -1$ की गणना करें।
चूंकि $|A| = -1 \neq 0$,आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
हमें दिया गया है कि $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $0$ है:
$|A^5(A^2 - (\beta - 1)A - \beta I)| = 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,हमारे पास $|A|^5 |A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $|A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$.
सारणिक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करें:
$A^2 - (\beta - 1)A - \beta I = A^2 - \beta A + A - \beta I = A(A - \beta I) + I(A - \beta I) = (A + I)(A - \beta I)$.
अतः,$|A + I| |A - \beta I| = 0$.
$A + I = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$|A + I| = (\beta + 1)(-2 - (-2)) - 0 + 1(2 - 6) = (\beta + 1)(0) - 4 = -4 \neq 0$.
इसलिए,हमें $|A - \beta I| = 0$ लेना होगा।
$A - \beta I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 - \beta & -2 \\ 3 & 1 & -2 - \beta \end{bmatrix}$.
$|A - \beta I| = 1(2 - 3(1 - \beta)) = 2 - 3 + 3\beta = 3\beta - 1$.
$3\beta - 1 = 0$ रखने पर,हमें $\beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$9\beta = 9 \times \frac{1}{3} = 3$.

(D) क्षेत्रफल $\alpha$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x \geq 0$ के लिए $f(x)$ और $g(x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। $x \in [0, 3/4]$ के लिए,$g(x) = 2(1 - 4x/3) = 2 - 8x/3$.
$f(x) = g(x)$ रखने पर:
$x^2 + \frac{5}{12} = 2 - \frac{8x}{3}$
$x^2 + \frac{8x}{3} - \frac{19}{12} = 0$
$12x^2 + 32x - 19 = 0$
$(6x + 19)(2x - 1) = 0$
चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\alpha$,$y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\alpha = 2 \int_0^{3/4} \min\{f(x), g(x)\} dx$.
$x \in [0, 1/2]$ के लिए $f(x) \leq g(x)$,और $x \in [1/2, 3/4]$ के लिए $g(x) \leq f(x)$.
$\alpha = 2 \left[ \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{5}{12}) dx + \int_{1/2}^{3/4} (2 - \frac{8x}{3}) dx \right]$
गणना करने पर,$\alpha = 2 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \right] = 2 \times \frac{4}{12} = \frac{2}{3}$.
अतः,$9\alpha = 9 \times \frac{2}{3} = 6$.

(D) दिया गया है $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/4$ और सार्व अनुपात $r = 1/4$ है।
$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
अतः,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.
मान लीजिए $u = 2^{x/3}$. चूँकि $x \in [0, 1]$,इसलिए $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.
तब $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.
$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ रखने पर $u^2 = 2^{1/3}$ प्राप्त होता है,अतः $u = 2^{1/6}$.
चूँकि $2^{1/6} \approx 1.12$ और $2^{1/3} \approx 1.26$,क्रांतिक बिंदु $u = 2^{1/6}$ अंतराल $[1, 2^{1/3}]$ में स्थित है।
$u = 2^{1/6}$ पर,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. यह न्यूनतम मान है।
अंतिम बिंदुओं $u = 1$ और $u = 2^{1/3}$ पर,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ और $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.
अतः,अधिकतम मान $1 + 2^{1/3}$ है,जो $x = 0$ और $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सत्य हैं।

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$।
मैट्रिक्स समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:
$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$
$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$
$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$
ये समीकरण क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ को दर्शाते हैं।
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$। चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$। अतः,$(B)$ सत्य है।
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$। अतः $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 \neq 0$। अतः,$(A)$ असत्य है।
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ से,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$।
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,हमारे पास $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ है।
$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (चूँकि $|\vec{b}|^2 \geq 1$),इसलिए $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$। अतः,$(D)$ सत्य है।
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$। वर्ग करने पर: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$। चूँकि $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$। इसलिए $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,इसलिए $|\vec{b}| > \sqrt{10}$। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(B), (C), (D)$ सत्य हैं।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 12$ और $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) dx + C$ है।
सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ का उपयोग करने पर:
$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C$.
सरल करने पर,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C e^{-12x}$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,हमारे पास $0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$ है,इसलिए $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.
अतः,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right) - 12 e^{-12x}\right)$.
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$e^{-12x} \to 0$,इसलिए $y(x)$ एक आवर्ती फलन $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phi\right)$ की ओर अग्रसर होता है।
चूँकि $y(x)$ एक आवर्ती फलन की ओर अग्रसर होता है,इसलिए इस आवर्ती फलन के परिसर में स्थित किसी मान $\beta$ के लिए,रेखा $y = \beta$ वक्र $y = y(x)$ को अनंत बिंदुओं पर काटेगी। अतः,कथन $C$ $TRUE$ है।

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.
हम $M$ को $M = I + \frac{3}{2} A$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
चूँकि $A^2 = O$,हम $(I + \frac{3}{2} A)^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग कर सकते हैं:
$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$
चूँकि $A^2 = O$,$A^k$ (जहाँ $k \ge 2$) वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे।
अतः,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.
$n = 2022$ के लिए:
$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.
$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \\ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \\ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.

(C) मान लीजिए $R_1, B_1, G_1$ क्रमशः Box-$I$ से लाल,नीली या हरी गेंद चुनने की घटनाएँ हैं। प्रायिकताएँ $P(R_1) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,$P(B_1) = \frac{3}{16}$,और $P(G_1) = \frac{5}{16}$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुनी गई गेंदों में से एक सफेद है। मान लीजिए $B$ वह घटना है कि चुनी गई गेंदों में से कम से कम एक हरी है।
सफेद गेंदें केवल Box-$IV$ में हैं। अतः,$A$ तभी हो सकता है यदि हम Box-$I$ से एक हरी गेंद चुनें और फिर Box-$IV$ से एक सफेद गेंद चुनें। Box-$IV$ में $10$ हरी,$16$ नारंगी और $6$ सफेद गेंदें (कुल $32$) हैं।
$P(A \cap B) = P(G_1) \times P(\text{Box-}IV \text{ से सफेद}) = \frac{5}{16} \times \frac{6}{32} = \frac{5}{16} \times \frac{3}{16} = \frac{15}{256}$.
अब,$P(B) = P(G_1) + P(R_1 \cap G_2) + P(B_1 \cap G_3)$,जहाँ $G_2$ Box-$II$ से हरी और $G_3$ Box-$III$ से हरी गेंद है।
$P(B) = \frac{5}{16} + (\frac{8}{16} \times \frac{15}{48}) + (\frac{3}{16} \times \frac{12}{16}) = \frac{5}{16} + (\frac{1}{2} \times \frac{5}{16}) + (\frac{3}{16} \times \frac{3}{4}) = \frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{9}{64} = \frac{20+10+9}{64} = \frac{39}{64}$.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{15/256}{39/64} = \frac{15}{256} \times \frac{64}{39} = \frac{15}{4 \times 39} = \frac{5}{4 \times 13} = \frac{5}{52}$.

(B) दिया गया है $f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$.
हम सामान्य पद को $\frac{(16r + 9n) - (4rn + 3n^2)}{4rn + 3n^2} = \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \left( \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1 \right) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - n = \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2}$.
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\sum_{r=1}^n \frac{16(r/n) + 9}{4(r/n) + 3} \cdot \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है।
जब $n \rightarrow \infty$ होता है,तो यह निश्चित समाकलन $\int_0^1 \frac{16x + 9}{4x + 3} dx$ में बदल जाता है।
समाकल्य को $\frac{4(4x + 3) - 3}{4x + 3} = 4 - \frac{3}{4x + 3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समाकलन करने पर,हमें $[4x - \frac{3}{4} \ln|4x + 3|]_0^1$ प्राप्त होता है।
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर: $(4 - \frac{3}{4} \ln 7) - (0 - \frac{3}{4} \ln 3) = 4 - \frac{3}{4} \ln \left(\frac{7}{3}\right)$.

(A) माना $I = \int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ है।
$t = a - (\log_e x)^{3/2}$ प्रतिस्थापित करें।
तब $dt = -\frac{3}{2}(\log_e x)^{1/2} \cdot \frac{1}{x} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{(\log_e x)^{1/2}}{x} dx = -\frac{2}{3} dt$ है।
जब $x = 1$,तो $t = a - 0 = a$ है।
जब $x = e$,तो $t = a - 1$ है।
समाकल में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_a^{a-1} \frac{-2/3}{t^2} dt = \frac{2}{3} \int_{a-1}^a t^{-2} dt = \frac{2}{3} [-\frac{1}{t}]_{a-1}^a = \frac{2}{3} (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a}) = \frac{2}{3} (\frac{a - (a-1)}{a(a-1)}) = \frac{2}{3a(a-1)}$।
दिया गया है कि $I = 1$,इसलिए $\frac{2}{3a(a-1)} = 1$,जिसका अर्थ है $3a^2 - 3a - 2 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{6}$।
चूंकि $\sqrt{33} \approx 5.74$,इसलिए $a_1 = \frac{3 + 5.74}{6} \approx 1.45$ और $a_2 = \frac{3 - 5.74}{6} \approx -0.45$ है।
दोनों मान $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ को संतुष्ट करते हैं।
चूंकि दोनों मान अपरिमेय हैं,इसलिए कथन $C$ सत्य है। चूंकि दो मान हैं,इसलिए कथन $D$ सत्य है।