IIT JEE 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ है,अतः इसका केंद्र $C(3, -2)$ है।
माना $R$ जीवा $PQ$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $R$ रेखा $y=mx+1$ पर स्थित है,इसके निर्देशांक $(x_R, mx_R+1)$ हैं। दिया गया है कि $x_R = -\frac{3}{5}$,इसलिए $y_R = m(-\frac{3}{5}) + 1 = \frac{-3m+5}{5}$।
अतः,$R = (-\frac{3}{5}, \frac{-3m+5}{5})$।
रेखाखंड $CR$ जीवा $PQ$ पर लंब है। $PQ$ की ढाल $m$ है,इसलिए $CR$ की ढाल $-\frac{1}{m}$ होनी चाहिए।
$CR$ की ढाल $= \frac{y_R - (-2)}{x_R - 3} = \frac{\frac{-3m+5}{5} + 2}{-\frac{3}{5} - 3} = \frac{-3m+5+10}{-3-15} = \frac{-3m+15}{-18} = \frac{m-5}{6}$।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{m-5}{6} = -\frac{1}{m}$।
$m(m-5) = -6 \Rightarrow m^2 - 5m + 6 = 0$।
$(m-2)(m-3) = 0$,अतः $m=2$ या $m=3$।
दोनों मान $m=2$ और $m=3$ शर्त $2 \leq m < 4$ को संतुष्ट करते हैं।

(B) प्रतिबंध $|z-(2-i)| \geq \sqrt{5}$ केंद्र $C(2, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ वाले वृत्त के बाहर या वृत्त पर के क्षेत्र को दर्शाता है।
$\frac{1}{|z-1|}$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $|z-1|$ को न्यूनतम करना होगा,जो बिंदु $A(1, 0)$ से $z$ की दूरी है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $z_0$ जो $A(1, 0)$ के सबसे निकट है,वह $A(1, 0)$ और $C(2, -1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।
रेखा $AC$ का समीकरण $y = -x+1$ है।
इस रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन से हमें $z_0$ प्राप्त होता है। $z_0 = x_0 + iy_0$ लेने पर,$z_0 - \bar{z}_0 = 2iy_0$ और $z_0 + \bar{z}_0 = 2x_0$ होता है।
व्यंजक $\frac{4-2x_0}{2iy_0+2i} = \frac{2-x_0}{i(y_0+1)}$ बन जाता है।
यहाँ $y_0 = 1-x_0$ होने के कारण,$y_0+1 = 2-x_0$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{2-x_0}{i(2-x_0)} = \frac{1}{i} = -i$ हो जाता है।
$-i$ का मुख्य कोणांक $-\frac{\pi}{2}$ है।

(D) $E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ लें। अंतर्निहित आयत $R_1$ का क्षेत्रफल $A_1 = (2 \cdot 3 \cos \theta)(2 \cdot 2 \sin \theta) = 24 \sin \theta \cos \theta = 12 \sin 2 \theta$ है। यह अधिकतम तब होता है जब $\sin 2 \theta = 1$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$R_1$ के शीर्ष $(\pm \frac{3}{\sqrt{2}}, \pm \frac{2}{\sqrt{2}})$ हैं।
$R_{n-1}$ में अंतर्निहित $E_n$ के लिए,अर्ध-अक्ष $a_n, b_n$ का पालन करते हैं $a_n = \frac{a_{n-1}}{\sqrt{2}}$ और $b_n = \frac{b_{n-1}}{\sqrt{2}}$।
चूंकि अनुपात $\frac{b_n}{a_n} = \frac{b_1}{a_1} = \frac{2}{3}$ सभी $n$ के लिए स्थिर है,इसलिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_n^2}{a_n^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ सभी $E_n$ के लिए स्थिर है। इसलिए,$(1)$ गलत है।
$E_9$ के लिए,$a_9 = \frac{3}{(\sqrt{2})^8} = \frac{3}{16}$ और $b_9 = \frac{2}{(\sqrt{2})^8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ है।
केंद्र से नाभि की दूरी $a_9 e = \frac{3}{16} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{16}$ है। इसलिए,$(2)$ गलत है।
$E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2 b_9^2}{a_9} = \frac{2 (1/8)^2}{3/16} = \frac{2/64}{3/16} = \frac{1}{32} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{6}$ है। इसलिए,$(3)$ सही है।
$R_n$ का क्षेत्रफल $A_n = 4 a_n b_n = 4 \cdot \frac{3}{(\sqrt{2})^{n-1}} \cdot \frac{2}{(\sqrt{2})^{n-1}} = \frac{24}{2^{n-1}}$ है।
योग $\sum_{n=1}^N A_n = 24 (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{N-1}}) = 24 \cdot \frac{1 - (1/2)^N}{1 - 1/2} = 48 (1 - \frac{1}{2^N}) = 48 - \frac{48}{2^N}$ है। यह हमेशा $48$ से कम है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $(3)$ और $(4)$ सही हैं।

(A) दिया गया है $x^2-x-1=0$,मूल $\alpha, \beta$ हैं। अतः $\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=-1$.
$a_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$.
$(1)$ के लिए: $a_{n+2} = a_{n+1}+a_n$. अतः $\sum_{i=1}^n a_i = a_{n+2}-a_2 = a_{n+2}-1$. कथन $(1)$ सही है।
$(2)$ के लिए: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$. कथन $(2)$ सही है।
$(4)$ के लिए: $b_n = a_{n-1}+a_{n+1} = \alpha^n+\beta^n$. कथन $(4)$ सही है।
अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c} = 2(1) = 2$.
दिया है $p=\sqrt{3}, q=1$, अतः $\sin P = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin Q = \frac{1}{2}$.
चूंकि $p > q$, इसलिए $P > Q$. $P$ के संभावित मान $60^{\circ}$ या $120^{\circ}$ हैं, और $Q$ के $30^{\circ}$ या $150^{\circ}$ हैं।
यदि $P=60^{\circ}, Q=30^{\circ}$ हो, तो $R=90^{\circ}$ होगा (जो गैर-समकोण होने के कारण संभव नहीं है)।
यदि $P=120^{\circ}, Q=30^{\circ}$ हो, तो $R=30^{\circ}$ होगा। अतः, $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $q=r=1$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}qr \sin P = \frac{1}{2}(1)(1)\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{\sqrt{3}+1+1}{2} = \frac{\sqrt{3}+2}{2}$.
अंतःत्रिज्या $r_{in} = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{3}/4}{(\sqrt{3}+2)/2} = \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$. (विकल्प $2$ सही है)।
माध्यिका $RS$ की लंबाई $= \frac{1}{2}\sqrt{2p^2+2q^2-r^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2(3)+2(1)-1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$. (विकल्प $3$ सही है)।
$PE$ भुजा $QR$ पर शीर्षलंब है। $PE = q \sin R = 1 \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$O$ त्रिभुज $\triangle PQR$ का केंद्रक है (चूंकि $PQR$ समद्विबाहु है), इसलिए $OE = \frac{1}{3}PE = \frac{1}{6}$. (विकल्प $4$ सही है)।
$\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \Delta = \frac{\sqrt{3}}{24}$. (विकल्प $1$ गलत है)।

(A) बिंदु $A(2,3)$ की रेखा $8x-6y-23=0$ से दूरी $d = \frac{|8(2)-6(3)-23|}{\sqrt{8^2+(-6)^2}} = \frac{|-25|}{10} = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि $B$,$A$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $AB = 2d = 5$ होगा।
वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_A = 2$ और $r_B = 1$ हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,$\frac{CA}{CB} = \frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ होता है।
अतः $CA = 2CB$ और $CA = CB + AB$ होने के कारण,$CA = \frac{CA}{2} + 5$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{CA}{2} = 5$,अर्थात $CA = 10$।

(D) तीनों समांतर श्रेणियों के सामान्य पद $x = 3m + 1$,$x = 5n + 2$,और $x = 7k + 3$ हैं।
हमें सर्वांगसमता (congruences) की प्रणाली को हल करना है:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{5}$
$x \equiv 3 \pmod{7}$
हल करने पर $x = 15n + 7$ और अंततः $x = 105k + 52$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम पद $a = 52$ और सार्व अंतर $d = \text{lcm}(3, 5, 7) = 105$ है।
इसलिए,$a + d = 52 + 105 = 157$.

(B) हम जानते हैं कि $|a + b\omega + c\omega^2|^2 = (a + b\omega + c\omega^2)(\overline{a + b\omega + c\omega^2})$.
चूंकि $\overline{\omega} = \omega^2$ और $\overline{\omega^2} = \omega$,यह $(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega)$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक को $\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
भिन्न शून्येतर पूर्णांकों $a, b, c$ के लिए,अंतर के सबसे छोटे संभावित मान $1$ और $2$ हैं (उदाहरण के लिए,$a=1, b=2, c=3$)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2}[(1 - 2)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 1)^2] = \frac{1}{2}[1 + 1 + 4] = \frac{6}{2} = 3$ प्राप्त होता है।

(B) सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \sin^2 A = 1 - \cos(2A)$ का उपयोग करते हुए:
$f(n) = \frac{\sum_{k=0}^n [\cos(\frac{\pi}{n+2}) - \cos(\frac{2k+3}{n+2}\pi)]}{\sum_{k=0}^n [1 - \cos(\frac{2k+2}{n+2}\pi)]}$
चूंकि $\sum_{k=0}^n \cos(\frac{2k+2}{n+2}\pi) = 0$ और $\sum_{k=0}^n \cos(\frac{2k+3}{n+2}\pi) = -\cos(\frac{\pi}{n+2})$,व्यंजक का सरलीकरण:
$f(n) = \frac{(n+1) \cos(\frac{\pi}{n+2}) + \cos(\frac{\pi}{n+2})}{n+1} = \cos(\frac{\pi}{n+2})$.
$(1)$ $f(5) = \cos(\frac{\pi}{7}) \implies \sin(7 \cos^{-1} f(5)) = \sin(7 \cdot \frac{\pi}{7}) = \sin(\pi) = 0$. (सही)
$(2)$ $f(4) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. (सही)
$(3)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \cos(\frac{\pi}{n+2}) = \cos(0) = 1 \neq \frac{1}{2}$. (गलत)
$(4)$ $f(6) = \cos(\frac{\pi}{8}) \implies \alpha = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$. तब $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = (\sqrt{2}-1)^2 + 2(\sqrt{2}-1) - 1 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) + (2\sqrt{2} - 2) - 1 = 0$. (सही)
अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

(A) मान लीजिए कि $n$ शीर्षों वाले एक चक्र ग्राफ को $k$ रंगों से इस प्रकार रंगने के तरीकों की संख्या $P(n, k)$ है कि कोई भी दो आसन्न शीर्ष समान रंग के न हों।
यह सूत्र $P(n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 5$ (व्यक्तियों की संख्या) और $k = 3$ (रंगों की संख्या) है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$P(5, 3) = 2^5 - 2$
$P(5, 3) = 32 - 2 = 30$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $30$ है।

(A) $1$. $C_1$ और $C_2$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ है। त्रिज्याएँ $r_1=3$ और $r_2=4$ हैं। चूँकि $C_1$ और $C_2$ वृत्त $C_3$ के अंदर हैं और उसे $M$ और $N$ पर स्पर्श करते हैं,$C_3$ का व्यास $2r = MN = MC_1 + C_1C_2 + C_2N = 3 + 5 + 4 = 12$ है,इसलिए $r=6$ है।
$2$. $C_3$ का केंद्र $(0,0)$ और $(3,4)$ को जोड़ने वाली रेखा $y = \frac{4}{3}x$ पर स्थित है। केंद्र इस रेखा पर $(0,0)$ से $r_4 = 3$ की दूरी पर है,जिससे $(h, k) = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta) = (3 \cdot \frac{3}{5}, 3 \cdot \frac{4}{5}) = (\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ प्राप्त होता है। अतः,$2h+k = 2(\frac{9}{5}) + \frac{12}{5} = \frac{18+12}{5} = 6$ है। इसलिए $(I)-(P)$ सही है।
$3$. $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $XY$,$3x+4y-9=0$ है। $(0,0)$ से $XY$ की दूरी $p_1 = \frac{9}{5}$ है। $XY = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \frac{24}{5}$ है।
$4$. $C_3$ के लिए,केंद्र $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ से $3x+4y-9=0$ की दूरी $p = \frac{6}{5}$ है। $ZW = 2\sqrt{r^2-p^2} = 2\sqrt{36 - \frac{36}{25}} = \frac{48\sqrt{6}}{5}$ है।
$5$. $\frac{ZW}{XY} = 2\sqrt{6}$ है। इसलिए $(II)-(T)$ सही है।
$6$. $\frac{\text{Area } MZN}{\text{Area } ZMW} = \frac{5}{4}$ सही है। $\alpha = 10/3$ सही है।
$7$. गलत संयोजन: $(IV)-(S)$ गलत है क्योंकि $\alpha = 10/3$ है। सही संयोजन: $(I)-(P), (II)-(T), (III)-(R), (IV)-(U)$।

(B) दिया गया है $M = \alpha I + \beta M^{-1}$। $M$ से गुणा करने पर,हमें $M^2 = \alpha M + \beta I$ प्राप्त होता है,या $M^2 - \alpha M - \beta I = O$।
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$M^2 - \text{tr}(M)M + \det(M)I = O$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\alpha = \text{tr}(M) = \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\theta)$।
चूंकि $\sin^2(2\theta) \in [0, 1]$,न्यूनतम मान $\alpha^* = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
साथ ही,$-\beta = \det(M) = \sin^4 \theta \cos^4 \theta + (1+\cos^2 \theta)(1+\sin^2 \theta) = \frac{\sin^4(2\theta)}{16} + 1 + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^4(2\theta)}{16} + 2 + \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$।
मान लीजिए $t = \sin^2(2\theta) \in [0, 1]$। तो $-\beta(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$।
$\beta$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $-\beta$ का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं। चूँकि $f(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$ अंतराल $[0, 1]$ पर एक वर्धमान फलन है,इसलिए इसका अधिकतम मान $t=1$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{32}{16} = \frac{37}{16}$ है।
अतः,$\beta^* = -\frac{37}{16}$।
इसलिए,$\alpha^* + \beta^* = \frac{1}{2} - \frac{37}{16} = \frac{8-37}{16} = -\frac{29}{16}$।

(B) यह क्षेत्र $xy = 8$ (या $x = 8/y$),$y = 1$,और $y = x^2$ (या $x > 0$ के लिए $x = \sqrt{y}$) द्वारा घिरा हुआ है।
$x = 8/y$ और $x = \sqrt{y}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$\frac{8}{y} = \sqrt{y}$ रखने पर,जिसका अर्थ है $y^{3/2} = 8$,इसलिए $y = 4$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र $y$ के मान $1$ से $4$ तक की सीमा में है,जहाँ दाईं ओर की सीमा $x = 8/y$ है और बाईं ओर की सीमा $x = \sqrt{y}$ है।
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $\int_1^4 \left(\frac{8}{y} - \sqrt{y}\right) dy$ है।
$= [8 \ln|y| - \frac{2}{3} y^{3/2}]_1^4$
$= (8 \ln 4 - \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2}) - (8 \ln 1 - \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2})$
$= (8 \cdot 2 \ln 2 - \frac{2}{3} \cdot 8) - (0 - \frac{2}{3})$
$= 16 \ln 2 - \frac{16}{3} + \frac{2}{3}$
$= 16 \ln 2 - \frac{14}{3}$.

(A) माना $G$ एक हरी गेंद चुनने की घटना है। थैलों को चुनने की प्रायिकताएँ $P(B_1) = \frac{3}{10}, P(B_2) = \frac{3}{10}, P(B_3) = \frac{4}{10}$ हैं।
प्रत्येक थैले से हरी गेंद चुनने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ:
$P(G|B_1) = \frac{5}{5+5} = \frac{1}{2}$
$P(G|B_2) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$
$P(G|B_3) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$
$(1)$ $P(B_3 \cap G) = P(G|B_3) \times P(B_3) = \frac{3}{8} \times \frac{4}{10} = \frac{3}{20}$. (कथन $1$ सही है)
$(2)$ $P(G) = P(G|B_1)P(B_1) + P(G|B_2)P(B_2) + P(G|B_3)P(B_3) = \frac{3}{20} + \frac{15}{80} + \frac{12}{80} = \frac{39}{80}$. (कथन $2$ सही है)
$(3)$ $P(G|B_3) = \frac{3}{8}$. (कथन $3$ सही है)
$(4)$ $P(B_3|G) = \frac{P(B_3 \cap G)}{P(G)} = \frac{3/20}{39/80} = \frac{4}{13}$. (कथन $4$ सही है)

(A) दिया है कि $(\operatorname{adj} M)_{11} = 2 - 3b = -1 \Rightarrow b = 1$.
साथ ही,$(\operatorname{adj} M)_{22} = -3a = -6 \Rightarrow a = 2$.
अतः,$a+b = 2+1 = 3$. इसलिए,$(1)$ सही है।
अब,$\operatorname{det} M = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 8 - 10 = -2$.
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = (\operatorname{det}(\operatorname{adj} M))^2 = ((\operatorname{det} M)^2)^2 = ((-2)^2)^2 = 16 \neq 81$. इसलिए,$(2)$ गलत है।
चूँकि $M^{-1} = \frac{\operatorname{adj} M}{\operatorname{det} M}$,हमारे पास $\operatorname{adj} M = -2M^{-1}$ है।
अतः $(\operatorname{adj} M)^{-1} = ( -2M^{-1} )^{-1} = -\frac{1}{2}M$.
साथ ही,$\operatorname{adj}(M^{-1}) = \operatorname{det}(M^{-1}) (M^{-1})^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} M} M = -\frac{1}{2}M$.
इस प्रकार,$(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj}(M^{-1}) = -\frac{1}{2}M - \frac{1}{2}M = -M$. इसलिए,$(3)$ सही है।
$M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ के लिए,$\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{\operatorname{adj} M}{-2} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
अतः $\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1$. तब $\alpha - \beta + \gamma = 1 - (-1) + 1 = 3$. इसलिए,$(4)$ सही है।

(B) सबसे पहले,हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = (x+1)^5 - 2x$। जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$,और जैसे $x \rightarrow 0^-$,$f(x) \rightarrow 1$। अतः,$x < 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-\infty, 1)$ है।
$f^{\prime}(x) = 5(x+1)^4 - 2$। $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $(x+1)^4 = 2/5$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -1 \pm (2/5)^{1/4}$। चूंकि $f^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ में अपना चिह्न बदलता है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर एकदिष्ट (monotonic) नहीं है। अतः,कथन $(3)$ गलत है।
$x \geq 3$ के लिए,$f(x)$ सतत है,$f(3) = 1/3$,और $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$। परिसर $[1/3, \infty)$ है।
सभी अंतरालों के परिसरों को मिलाने पर,हम पाते हैं कि $f(x)$ का परिसर $R$ है,इसलिए $f$ आच्छादक है। कथन $(2)$ सही है।
अब,$x = 1$ के निकट $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें:
$0 \leq x < 1$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 2x - 1$। अतः,$\lim_{x \rightarrow 1^-} f^{\prime}(x) = 2(1) - 1 = 1$।
$1 \leq x < 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 2x^2 - 8x + 7$। अतः,$f^{\prime}(1) = 2(1)^2 - 8(1) + 7 = 1$।
जब $x, 1$ से थोड़ा बड़ा होता है,तो $f^{\prime}(x) = 2x^2 - 8x + 7$। $f^{\prime}(x)$ का अवकलज $f^{\prime\prime}(x) = 4x - 8$ है। $x=1$ पर,$f^{\prime\prime}(1^+) = -4$।
चूंकि $x=1$ पर $f^{\prime}$ का बायां अवकलज $2$ है और दायां अवकलज $-4$ है,इसलिए $f^{\prime}$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। कथन $(4)$ सही है।
साथ ही,चूंकि $f^{\prime}(x)$ बढ़कर $x=1$ पर $1$ हो जाता है और $x > 1$ के लिए घटता है,इसलिए $f^{\prime}$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है। कथन $(1)$ सही है।
अतः,कथन $(1), (2),$ और $(4)$ सही हैं।

(B) वक्र $\Gamma$ के बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$X=0$ रखें: $Y_p = y - xy^{\prime}$.
बिंदु $Y_p$ निर्देशांक $(0, y-xy^{\prime})$ है। $PY_p$ की दूरी $1$ दी गई है,इसलिए $(x, y)$ और $(0, y-xy^{\prime})$ के बीच की दूरी $1$ है।
$\sqrt{(x-0)^2 + (y - (y-xy^{\prime}))^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + (xy^{\prime})^2} = 1 \Rightarrow x^2 + x^2(y^{\prime})^2 = 1$
$(y^{\prime})^2 = \frac{1-x^2}{x^2} \Rightarrow y^{\prime} = \pm \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
चूंकि वक्र प्रथम चतुर्थांश में है और $(1,0)$ से गुजरता है,ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए। अतः,$y^{\prime} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
यह अवकल समीकरण $xy^{\prime} + \sqrt{1-x^2} = 0$ देता है,जो विकल्प $(2)$ से मेल खाता है।
$dy = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx$ का समाकलन करने पर:
$x = \sin\theta$ रखें,तो $dx = \cos\theta d\theta$.
$y = -\int \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} d\theta = \int \sin\theta d\theta - \int \csc\theta d\theta$
$y = -\cos\theta - \ln|\csc\theta - \cot\theta| + C = -\sqrt{1-x^2} - \ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right| + C$
$y(1)=0$ का उपयोग करने पर,$C=0$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$y = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - \sqrt{1-x^2}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $(1)$ से मेल खाता है।

(A) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (1, 0, 0) + \lambda(-1, 2, 2)$ और $L_2: \overrightarrow{r} = \mu(2, -1, 2)$ हैं।
मान लीजिए $A$,$L_1$ पर एक बिंदु है और $B$,$L_2$ पर एक बिंदु है। $A = (1-\lambda, 2\lambda, 2\lambda)$ और $B = (2\mu, -\mu, 2\mu)$।
सदिश $\overrightarrow{AB} = (2\mu + \lambda - 1, -\mu - 2\lambda, 2\mu - 2\lambda)$ है।
उभयनिष्ठ लंब की दिशा $\vec{v} = (-1, 2, 2) \times (2, -1, 2) = (6, 6, -6)$ है,जो $(2, 2, -1)$ के समानांतर है।
चूंकि $AB$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,इसलिए $\overrightarrow{AB}$ को $(2, 2, -1)$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\frac{2\mu + \lambda - 1}{2} = \frac{-\mu - 2\lambda}{2} = \frac{2\mu - 2\lambda}{-1} = k$।
इन समीकरणों को हल करने पर $\lambda = 1/9$ और $\mu = 2/9$ प्राप्त होता है।
तब $A = (8/9, 2/9, 2/9)$ और $B = (4/9, -2/9, 4/9)$ है।
रेखा $L_3$,$A$ और $B$ से होकर गुजरती है और इसकी दिशा $(2, 2, -1)$ है।
$L_3$ का समीकरण: $\overrightarrow{r} = A + t(2, 2, -1) = (8/9, 2/9, 2/9) + t(2, 2, -1)$।
विकल्प $(1)$,$AB$ के मध्य बिंदु $(2/3, 0, 1/3)$ से होकर गुजरता है। दिशा $(2, 2, -1)$ होने के कारण,यह $L_3$ को दर्शाता है।
विकल्प $(2)$,$B$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह $L_3$ को दर्शाता है।
विकल्प $(4)$,बिंदु $A$ यानी $(8/9, 2/9, 2/9)$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह $L_3$ को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

(B) माना $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{dx}{(1 + e^{\sin x})(2 - \cos 2x)}$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{dx}{(1 + e^{-\sin x})(2 - \cos 2x)}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{1}{2 - \cos 2x} \left( \frac{1}{1 + e^{\sin x}} + \frac{e^{\sin x}}{1 + e^{\sin x}} \right) dx = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{dx}{2 - \cos 2x}$.
चूंकि फलन सम है,$I = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi / 4} \frac{dx}{2 - \cos 2x} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x dx}{2(1 + \tan^2 x) - (1 - \tan^2 x)} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x dx}{1 + 3 \tan^2 x}$.
माना $u = \sqrt{3} \tan x$,तब $du = \sqrt{3} \sec^2 x dx$.
$I = \frac{2}{\pi \sqrt{3}} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{du}{1 + u^2} = \frac{2}{\pi \sqrt{3}} [\tan^{-1} u]_0^{\sqrt{3}} = \frac{2}{\pi \sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
अतः,$27 I^2 = 27 \cdot \frac{4}{27} = 4$.

(C) $3 \times 3$ आव्यूह में कुल $9$ अवयव होते हैं। चूँकि अवयवों का योग $7$ है और अवयव $\{0, 1\}$ से हैं,इसलिए इसमें ठीक $7$ एक और $2$ शून्य होने चाहिए।
$2$ शून्य के लिए स्थान चुनने के तरीकों की संख्या $n(E_2) = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ है।
$\operatorname{det} A = 0$ तब होता है जब आव्यूह की कोई एक पंक्ति या स्तंभ पूरी तरह से शून्य हो। चूँकि केवल $2$ शून्य हैं,सारणिक $0$ तभी होगा यदि दोनों शून्य एक ही पंक्ति या एक ही स्तंभ में हों।
$2$ शून्य को एक ही पंक्ति में रखने के तरीके: $3$ पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में $\binom{3}{2} = 3$ तरीके से शून्य रखे जा सकते हैं। अतः,$3 \times 3 = 9$ तरीके।
$2$ शून्य को एक ही स्तंभ में रखने के तरीके: $3$ स्तंभ हैं और प्रत्येक स्तंभ में $\binom{3}{2} = 3$ तरीके से शून्य रखे जा सकते हैं। अतः,$3 \times 3 = 9$ तरीके।
इस प्रकार,$n(E_1 \cap E_2) = 9 + 9 = 18$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_1 \mid E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{18}{36} = 0.50$ है।

(A) रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}$,$\overrightarrow{r} = \mu(\hat{i} + \hat{j})$,और $\overrightarrow{r} = v(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दी गई हैं।
इन्हें समतल समीकरण $x + y + z = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
रेखा $A$ के लिए: $\lambda + 0 + 0 = 1 \Rightarrow \lambda = 1$,अतः $A = (1, 0, 0)$.
रेखा $B$ के लिए: $\mu + \mu + 0 = 1 \Rightarrow 2\mu = 1 \Rightarrow \mu = 1/2$,अतः $B = (1/2, 1/2, 0)$.
रेखा $C$ के लिए: $v + v + v = 1 \Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow v = 1/3$,अतः $C = (1/3, 1/3, 1/3)$.
सदिश $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1/2, 1/2, 0)$ और $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2/3, 1/3, 1/3)$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ -2/3 & 1/3 & 1/3 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/6) - \hat{j}(-1/6) + \hat{k}(-1/6 + 1/3) = (1/6, 1/6, 1/6)$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3/36} = \frac{\sqrt{3}}{12}$.
अतः $(6 \Delta)^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{12})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3/4 = 0.75$.

(C) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$F'(x) = 0$ रखें,जिससे $x = 1, 2, 5$ प्राप्त होता है।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
- $x < 1$ के लिए,$F'(x) < 0$ (ह्रासमान).
- $1 < x < 2$ के लिए,$F'(x) > 0$ (वर्धमान).
- $2 < x < 5$ के लिए,$F'(x) < 0$ (ह्रासमान).
- $x > 5$ के लिए,$F'(x) > 0$ (वर्धमान).
अतः,$F$ का $x=1$ और $x=5$ पर स्थानीय न्यूनतम है,और $x=2$ पर स्थानीय अधिकतम है।
कथन $(1)$ सही है।
कथन $(2)$ सही है।
कथन $(4)$ गलत है क्योंकि $F$ के दो स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम है।
कथन $(3)$ के लिए,$F(x) = \int_0^x (t^3 - 8t^2 + 17t - 10) dt = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + \frac{17x^2}{2} - 10x$. $x=1, 2, 5$ पर $F(x)$ का मान जाँचने पर पता चलता है कि $x \in (0, 5)$ के लिए $F(x) < 0$,इसलिए $x \in (0, 5)$ के लिए $F(x) \neq 0$ है। कथन $(3)$ सही है।
अतः,विकल्प $(1), (2), (3)$ सही हैं।

(A) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^{1/3}}{n^{7/3} \sum_{r=1}^n \frac{1}{(an+r)^2}} = 54$.
अंश और हर को $n^{4/3}$ से विभाजित करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n (r/n)^{1/3}}{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{(a+r/n)^2}} = 54$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$.
अंश $\int_0^1 x^{1/3} dx = [\frac{3}{4} x^{4/3}]_0^1 = \frac{3}{4}$ हो जाता है।
हर $\int_0^1 \frac{1}{(a+x)^2} dx = [-\frac{1}{a+x}]_0^1 = -(\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a}) = \frac{1}{a(a+1)}$ हो जाता है।
अतः,समीकरण $\frac{3/4}{1/(a(a+1))} = 54$ है,जो $\frac{3}{4} a(a+1) = 54$ में सरल हो जाता है।
$a(a+1) = 54 \times \frac{4}{3} = 72$.
$a^2 + a - 72 = 0 \Rightarrow (a+9)(a-8) = 0$.
अतः,$a = -9$ या $a = 8$। दोनों $|a| > 1$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।

(D) मान लीजिए $P = (\lambda, 0, 0)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है,$Q = (0, \mu, 1)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है,और $R = (1, 1, v)$ रेखा $L_3$ पर एक बिंदु है।
चूंकि $P, Q$ और $R$ संरेख हैं,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समानुपाती होने चाहिए।
$\vec{PQ} = (0 - \lambda, \mu - 0, 1 - 0) = (-\lambda, \mu, 1)$.
$\vec{QR} = (1 - 0, 1 - \mu, v - 1) = (1, 1 - \mu, v - 1)$.
संरेखता के लिए,$\frac{-\lambda}{1} = \frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{1}{v - 1}$.
इसका अर्थ है $\lambda = -\frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{\mu}{\mu - 1}$ और $v - 1 = \frac{1 - \mu}{\mu}$,अतः $v = 1 + \frac{1 - \mu}{\mu} = \frac{1}{\mu}$.
$\lambda$ और $v$ के ये मान $\mu = 0$ और $\mu = 1$ को छोड़कर सभी $\mu \in R$ के लिए मौजूद हैं।
यदि $\mu = 0$,तो $Q = (0, 0, 1) = \hat{k}$. यदि $\mu = 1$,तो $Q = (0, 1, 1) = \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,$Q$,$\hat{k}$ और $\hat{j} + \hat{k}$ को छोड़कर $L_2$ पर कोई भी बिंदु हो सकता है।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1)$ $\hat{k} + \hat{j}$ ($\mu = 1$ के अनुरूप,वर्जित)
$(2)$ $\hat{k}$ ($\mu = 0$ के अनुरूप,वर्जित)
$(3)$ $\hat{k} + \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = 0.5$ के अनुरूप,मान्य)
$(4)$ $\hat{k} - \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = -0.5$ के अनुरूप,मान्य)
इसलिए,बिंदु $3$ और $4$ मान्य हैं।

(A) $PROPERTY \ 1$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{\sqrt{|h|}}$ की जाँच करते हैं:
$(2) \ f(x)=x^{2/3}, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2/3}-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|^{2/3}}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/6} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(2)$ सही है।
$(4) \ f(x)=|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/2} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(4)$ सही है।
$PROPERTY \ 2$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h^2}$ की जाँच करते हैं:
$(1) \ f(x)=x|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h|h|}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|}{h}$. $RHL = 1$ और $LHL = -1$ है। सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(1)$ गलत है।
$(3) \ f(x)=\sin x, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{h} = 1 \cdot \infty = \infty$. सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(3)$ गलत है।
इस प्रकार,केवल $(2)$ और $(4)$ सही हैं।

(B) मान लीजिए $Q = \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$ है।
$X = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T)$ है।
$X^T = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T)^T = \sum_{k=1}^6 (P_k Q^T P_k^T) = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T) = X$ (चूंकि $Q$ सममित है)।
अतः,$X$ एक सममित आव्यूह है। विकल्प $(4)$ सही है।
मान लीजिए $R = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ है। ध्यान दें कि सभी क्रमचय आव्यूहों $P_k$ के लिए,$P_k R = R$ और $P_k^T R = R$ होता है।
$X R = \sum_{k=1}^6 P_k Q P_k^T R = \sum_{k=1}^6 P_k Q R = (\sum_{k=1}^6 P_k) Q R$ है।
$\sum_{k=1}^6 P_k = \left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]$ और $Q R = \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 6\end{array}\right]$ है।
$X R = \left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}30 \\ 30 \\ 30\end{array}\right] = 30 R$ है। अतः,$\alpha = 30$ है। विकल्प $(3)$ सही है।
चूंकि $X R = 30 R$ है,$(X - 30I) R = 0$,जिसका अर्थ है कि $X - 30I$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। विकल्प $(1)$ गलत है।
$\text{Trace}(X) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(P_k Q P_k^T) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(P_k^T P_k Q) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(I Q) = 6 \times \text{Trace}(Q) = 6 \times (2+0+1) = 18$ है। विकल्प $(2)$ सही है।
इसलिए,विकल्प $(2), (3), (4)$ सही हैं।

(A) दिया गया है $R = PQP^{-1}$।
$\det(R) = \det(PQP^{-1}) = \det(P) \det(Q) \det(P^{-1}) = \det(Q)$।
$\det(Q) = 2(24 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x) = 48 - 4x^2$।
विकल्प $(1)$: $x = 1$ के लिए,$\det(R) = 48 - 4(1)^2 = 44 \neq 0$। चूंकि $\det(R) \neq 0$,समीकरण $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \mathbf{0}$ का केवल तुच्छ हल $\alpha = \beta = \gamma = 0$ है। इकाई सदिश के लिए $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$ होना चाहिए,जो असंभव है। अतः,$(1)$ गलत है।
विकल्प $(2)$: $PQ = QP \iff PQP^{-1} = Q \iff R = Q$। इसका अर्थ है $PQP^{-1} = Q$। इस विशिष्ट $P$ के लिए,$R$ किसी भी $x$ के लिए $Q$ के बराबर नहीं है। अतः,$(2)$ गलत है।
विकल्प $(3)$: $\det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8 = [2(20 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x)] + 8 = (40 - 4x^2) + 8 = 48 - 4x^2 = \det(R)$। अतः,$(3)$ सही है।
विकल्प $(4)$: $x = 0$ के लिए,$Q = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$। $P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$।
$R = PQP^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2/3 \\ 0 & 4 & 4/3 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$।
$(R - 6I) \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 0$ को हल करने पर $\begin{bmatrix} -4 & 1 & 2/3 \\ 0 & -2 & 4/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 0$ प्राप्त होता है।
$-2a + 4b/3 = 0 \implies a = 2b/3$। $-4 + a + 2b/3 = 0 \implies -4 + 2b/3 + 2b/3 = 0 \implies 4b/3 = 4 \implies b = 3, a = 2$।
$a + b = 2 + 3 = 5$। अतः,$(4)$ सही है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{\pi x^2 \cos \pi x - 2x \sin \pi x}{x^4} = \frac{x(\pi x \cos \pi x - 2 \sin \pi x)}{x^4} = \frac{\pi x \cos \pi x - 2 \sin \pi x}{x^3}$.
स्थानीय चरम बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0 \implies \pi x \cos \pi x = 2 \sin \pi x \implies \tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$.
माना $g(x) = \tan \pi x$ और $h(x) = \frac{\pi x}{2}$. इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु चरम मान देते हैं।
ग्राफ से,स्थानीय उच्चतम बिंदु $x_n$ अंतराल $(2n, 2n + 1/2)$ में स्थित हैं और स्थानीय न्यूनतम बिंदु $y_n$ अंतराल $(2n-1/2, 2n)$ में स्थित हैं।
$(1)$ $|x_n - y_n| > 1$ सत्य है क्योंकि क्रमिक चरम बिंदुओं के बीच की दूरी $1$ से अधिक है।
$(2)$ $x_1$ अंतराल $(2, 2.5)$ में है और $y_1$ अंतराल $(0.5, 1)$ में है,इसलिए $x_1 > y_1$. अतः,कथन $(2)$ असत्य है।
$(3)$ $\tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$ के विश्लेषण से $x_n \in (2n, 2n + 1/2)$ सत्य है।
$(4)$ $x_{n+1} - x_n > 2$ सत्य है क्योंकि $\tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$ के मूल कम से कम $1$ से अलग हैं,और विशेष रूप से स्थानीय उच्चतम के लिए,अंतर $2$ से अधिक है।
अतः,कथन $(1)$,$(3)$,और $(4)$ सत्य हैं।

(A) माना $S = \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)$.
सर्वसमिका $\sec A \sec B = \frac{\sin(B-A)}{\cos A \cos B \sin(B-A)}$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $B-A = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\sec A \sec B = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos A \cos B \sin(\pi/2)} = \frac{\tan B - \tan A}{\sin(\pi/2)} = \tan B - \tan A$.
यहाँ,$A = \frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}$ और $B = \frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}$.
इसलिए,योग $\sum_{k=0}^{10} (\tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}) - \tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}))$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $\tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{11 \pi}{2}) - \tan(\frac{7 \pi}{12})$.
चूँकि $\tan(\theta + \frac{11 \pi}{2}) = \tan(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cot \theta$,योग $-\cot(\frac{7 \pi}{12}) - \tan(\frac{7 \pi}{12}) = -(\frac{\cos(7 \pi / 12)}{\sin(7 \pi / 12)} + \frac{\sin(7 \pi / 12)}{\cos(7 \pi / 12)}) = -\frac{1}{\sin(7 \pi / 12) \cos(7 \pi / 12)} = -\frac{2}{\sin(7 \pi / 6)} = -\frac{2}{-1/2} = 4$ है।
व्यंजक $\sec^{-1}(\frac{1}{4} \times 4) = \sec^{-1}(1) = 0$ है।

(B) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
इसका अर्थ है $\frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} \times \frac{n(B)}{n(S)}$,इसलिए $n(A \cap B) = \frac{n(A)n(B)}{6}$.
$n(A \cap B)$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n(A)n(B)$ को $6$ का गुणज होना चाहिए.
$1 \leq |B| < |A|$ दिया गया है,हम $n(A)$ और $n(B)$ के लिए संभावित मानों की जाँच करते हैं.
$1$. यदि $n(A) = 3, n(B) = 2$,तो $n(A \cap B) = 1$. युग्मों की संख्या $= \binom{6}{3} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 180$.
$2$. यदि $n(A) = 4, n(B) = 3$,तो $n(A \cap B) = 2$. युग्मों की संख्या $= \binom{6}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} = 180$.
$3$. यदि $n(A) = 6$,तो $n(B)$ का मान $1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है. कुल युग्म $= 62$.
कुल युग्म $= 180 + 180 + 62 = 422$.

(C) आव्यूह के अवयव हैं:
$a_{11} = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
$a_{12} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 = n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} = n(n+1)2^{n-2}$
$a_{21} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} k = n2^{n-1}$
$a_{22} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k = (1+3)^n = 4^n$
सारणिक को शून्य रखने पर:
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot 4^n - n(n+1)2^{n-2} \cdot n2^{n-1} = 0$
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot 4^n - n^2(n+1)2^{2n-3} = 0$
$n(n+1)2^{2n-3}$ से विभाजित करने पर:
$2^2 - n = 0 \implies n = 4$
अब,$\sum_{k=0}^4 \frac{{^4C_k}}{k+1} = \frac{1}{5} \sum_{k=0}^4 {^5C_{k+1}} = \frac{1}{5} ({^5C_1} + {^5C_2} + {^5C_3} + {^5C_4} + {^5C_5}) = \frac{1}{5} (2^5 - 1) = \frac{31}{5} = 6.20$

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\cos \theta}}{(\sqrt{\cos \theta}+\sqrt{\sin \theta})^5} d \theta$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3 \sqrt{\sin \theta}}{(\sqrt{\sin \theta}+\sqrt{\cos \theta})^5} d \theta$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{3(\sqrt{\cos \theta} + \sqrt{\sin \theta})}{(\sqrt{\cos \theta}+\sqrt{\sin \theta})^5} d \theta = \int_0^{\pi / 2} \frac{3}{(\sqrt{\cos \theta}+\sqrt{\sin \theta})^4} d \theta$.
अंश और हर को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$2I = 3 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2 \theta}{(1+\sqrt{\tan \theta})^4} d \theta$.
माना $1+\sqrt{\tan \theta} = t$,तब $\frac{1}{2\sqrt{\tan \theta}} \cdot \sec^2 \theta d \theta = dt$,अर्थात $\sec^2 \theta d \theta = 2(t-1) dt$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2I = 3 \int_1^{\infty} \frac{2(t-1)}{t^4} dt = 6 \int_1^{\infty} (t^{-3} - t^{-4}) dt$.
$2I = 6 \left[ \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-3}}{-3} \right]_1^{\infty} = 6 \left[ 0 - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \right] = 6 \left( \frac{1}{6} \right) = 1$.
अतः,$I = 0.50$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
तब $\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j})$.
$|\vec{a} + \vec{b}| = 3\sqrt{1^2 + 1^2} = 3\sqrt{2}$.
$(\vec{a} + \vec{b})$ पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}|} = 3\sqrt{2}$ है।
चूँकि $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$,$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + (\alpha + \beta)(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 = 6$,$|\vec{b}|^2 = 6$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.
अतः,$6\alpha + 6\beta + 3(\alpha + \beta) = 9(\alpha + \beta)$.
इस प्रकार,$\frac{9(\alpha + \beta)}{3\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies 9(\alpha + \beta) = 18 \implies \alpha + \beta = 2$.
अब,$(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
चूँकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है,इसलिए $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
अतः,व्यंजक $|\vec{c}|^2 = |\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}|^2 = 6\alpha^2 + 6\beta^2 + 6\alpha\beta = 6(\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta)$ होगा।
$\beta = 2 - \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $6(\alpha^2 + (2-\alpha)^2 + \alpha(2-\alpha)) = 6(\alpha^2 - 2\alpha + 4) = 6((\alpha - 1)^2 + 3)$.
न्यूनतम मान $6 \times 3 = 18$ है।

(C, B) $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ के लिए,$f(x) = 0 \implies \pi \cos x = n\pi \implies \cos x = n$. चूँकि $n \in \mathbb{Z}$ और $|\cos x| \le 1$,इसलिए $n \in \{-1, 0, 1\}$। अतः $x = n\pi$ या $x = n\pi \pm \frac{\pi}{2}$,जो $x = \frac{k\pi}{2}$ $(k \in \mathbb{N})$ में सरल हो जाता है। $X = \{\frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{N}\}$। यह $\frac{\pi}{2}$ के सार्व अंतर वाली एक समांतर श्रेणी है। अतः $(I) \to (Q)$।
$f'(x) = \cos(\pi \cos x) \cdot (-\pi \sin x) = 0$ के लिए। या तो $\sin x = 0 \implies x = n\pi$ या $\cos(\pi \cos x) = 0 \implies \pi \cos x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2}$। $Y = \{n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}\}$। यह समांतर श्रेणी नहीं है। $Y$ में $\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$ शामिल है। अतः $(II) \to (R), (T)$।
$g(x) = \cos(2\pi \sin x) = 0 \implies 2\pi \sin x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \sin x = \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$। यह समांतर श्रेणी नहीं है। अतः $(III) \to (R)$।
$g'(x) = -\sin(2\pi \sin x) \cdot (2\pi \cos x) = 0$ के लिए। या तो $\cos x = 0 \implies x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ या $\sin(2\pi \sin x) = 0 \implies 2\pi \sin x = n\pi \implies \sin x = \frac{n}{2}$। अतः $\sin x \in \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1\}$। $W$ में $\{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$ शामिल है। अतः $(IV) \to (S)$।
मिलान: प्रश्न $(1)$ के लिए सही विकल्प $(4)$ है और प्रश्न $(2)$ के लिए सही विकल्प $(2)$ है।