IIT JEE 2000 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $h$ गहराई पर स्थित छेद के लिए बहिःस्राव का वेग टोरिसेली के नियम द्वारा $v = \sqrt{2gh}$ दिया जाता है।
पानी के प्रवाह की दर (आयतन प्रति सेकंड) $Q = A \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है।
$y$ गहराई पर वर्गाकार छेद के लिए:
क्षेत्रफल $A_1 = L^2$
वेग $v_1 = \sqrt{2gy}$
$Q_1 = L^2 \sqrt{2gy}$
$4y$ गहराई पर वृत्ताकार छेद के लिए:
क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2$
वेग $v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$
$Q_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$
दिया गया है कि $Q_1 = Q_2$:
$L^2 \sqrt{2gy} = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$
$L^2 = 2\pi R^2$
$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$
$R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$

(B) आवेशों के निकाय की कुल स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है।
दिए गए विन्यास के लिए,आवेशों के बीच की दूरियाँ $a$,$a$,और $a\sqrt{2}$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \frac{k(Q)(q)}{a} + \frac{k(q)(q)}{a} + \frac{k(Q)(q)}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kq}{a}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Q + q + \frac{Q}{\sqrt{2}} = 0$
$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q$
$Q(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}) = -q$
$Q = \frac{-q\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$Q = \frac{-2q}{2 + \sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $q$ आवेश वाला कण जब $\omega$ कोणीय गति से घूमता है,तो उत्पन्न प्रभावी धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$ होती है।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = iA = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{1}{2}q\omega r^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कण का कोणीय संवेग $L = I\omega = (mr^2)\omega = m\omega r^2$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग के परिमाण का अनुपात लेने पर:
$\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2}q\omega r^2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
इस प्रकार,अनुपात $\frac{M}{L}$ केवल कण के आवेश $q$ और द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करता है।

(C) अम्लीय माध्यम में $KI$ के साथ $K_2Cr_2O_7$ की अभिक्रिया में,$Cr$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+6$ से बदलकर $+3$ हो जाती है।
$Cr_2O_7^{2-} + 14H^+ + 6e^- \rightarrow 2Cr^{3+} + 7H_2O$
चूंकि $Cr$ के $2$ परमाणु शामिल हैं,ऑक्सीकरण संख्या में कुल परिवर्तन $2 \times (6 - 3) = 6$ है।
इसलिए,$K_2Cr_2O_7$ के लिए $n$-कारक $6$ है।
तुल्यांकी भार = $\frac{\text{आणविक द्रव्यमान (MW)}}{n\text{-कारक}} = \frac{MW}{6}$.

(B) दिया गया इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ है।
यह विन्यास क्रोमियम $(Cr)$ तत्व के अनुरूप है,जिसका परमाणु क्रमांक $24$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,अपेक्षित विन्यास $3d^4 4s^2$ है,लेकिन अर्ध-पूर्ण $d$-कक्षकों के अतिरिक्त स्थायित्व के कारण,$4s$ कक्षक का एक इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में स्थानांतरित हो जाता है।
इसलिए,$3d^5 4s^1$ क्रोमियम की स्थिर मूल अवस्था (ground state) है।

(A) किसी कक्षक में नोडल तलों की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या,$l$ द्वारा दी जाती है।
$p$ कक्षक के लिए,$l$ का मान $1$ होता है।
अतः,$p_x$ कक्षक में नोडल तलों की संख्या $l = 1$ है।
$p_x$ कक्षक के लिए नोडल तल $yz$-तल होता है।

(D) $S$ परमाणु पर $1$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म के कारण $SF_4$ की आकृति सी-सॉ (see-saw) होती है।
$CF_4$ की ज्यामिति चतुष्फलकीय (tetrahedral) होती है जिसमें $C$ परमाणु पर $0$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होते हैं।
$XeF_4$ की संरचना वर्ग समतलीय (square planar) होती है जिसमें $Xe$ परमाणु पर $2$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होते हैं।
अतः,आण्विक आकृतियाँ भिन्न हैं,जिनमें क्रमशः $1, 0$ और $2$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म हैं।

(B) संपीड्यता गुणांक को $Z = \frac{PV_m}{RT}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है कि $STP$ पर $Z < 1$,जहाँ $P = 1 \ atm$ और $T = 273 \ K$ है।
आदर्श गैस के लिए,$V_{ideal} = \frac{RT}{P} = \frac{0.0821 \times 273}{1} \approx 22.4 \ L$ होता है।
चूँकि $Z = \frac{V_{real}}{V_{ideal}} < 1$,इसलिए $V_{real} < V_{ideal}$ होगा।
अतः,$V_m < 22.4 \ L$।

(C) भाप का आयतन = $1\ L = 10^3\ cm^3$.
$10^3\ cm^3$ भाप का द्रव्यमान = $\text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 0.0006\ g\ cm^{-3} \times 10^3\ cm^3 = 0.6\ g$.
$H_2O$ अणुओं द्वारा घेरा गया वास्तविक आयतन समान द्रव्यमान वाले द्रव जल के आयतन के बराबर होता है।
$H_2O$ अणुओं का वास्तविक आयतन = $\frac{\text{भाप का द्रव्यमान}}{\text{द्रव जल का घनत्व}} = \frac{0.6\ g}{1.0\ g\ cm^{-3}} = 0.6\ cm^3$.

(D) वर्ग माध्य मूल वेग $(U)$ का सूत्र $U = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,इसलिए $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \cdot \frac{RT}{M}$,जहाँ $d$ घनत्व है।
अतः,$\frac{RT}{M} = \frac{P}{d}$।
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर,$U = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ प्राप्त होता है।
स्थिर दाब $(P)$ पर,$U \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ होता है।

(D) दी गई अभिक्रिया $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \rightleftharpoons 2NH_{3(g)}$ है।
गैसीय उत्पादों और अभिकारकों के मोलों की संख्या में परिवर्तन $\Delta n = 2 - (1 + 3) = -2$ है।
$K_p$ और $K_c$ के बीच का संबंध $K_p = K_c(RT)^{\Delta n}$ है।
मान रखने पर,$K_p = K_c(RT)^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K_c = \frac{K_p}{(RT)^{-2}}$.
यहाँ $T = 500 \ ^oC = 500 + 273 = 773 \ K$ और $R = 0.082 \ \text{L atm K}^{-1} \text{mol}^{-1}$ है।
इस प्रकार,$K_c = \frac{1.44 \times 10^{-5}}{(0.082 \times 773)^{-2}}$।

(B) मानक एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta_r H^o$ की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $\Delta_r H^o = \sum \Delta H_f^o(\text{products}) - \sum \Delta H_f^o(\text{reactants})$.
अभिक्रिया $CO_{2(g)} + H_{2(g)} \to CO_{(g)} + H_2O_{(g)}$ के लिए:
$\Delta_r H^o = [\Delta H_f^o(CO_{(g)}) + \Delta H_f^o(H_2O_{(g)})] - [\Delta H_f^o(CO_{2(g)}) + \Delta H_f^o(H_{2(g)})]$.
यहाँ $\Delta H_f^o(H_{2(g)}) = 0 \ kJ \ mol^{-1}$ (तत्व की मानक अवस्था)।
$\Delta_r H^o = [(-110.5) + (-241.8)] - [(-393.5) + 0]$.
$\Delta_r H^o = [-352.3] - [-393.5]$.
$\Delta_r H^o = -352.3 + 393.5 = +41.2 \ kJ$.

(D) केंद्रीय परमाणु की ऑक्सीकरण अवस्था ज्ञात करने के लिए,हम लिगेंड्स को ऑक्सीकरण संख्या प्रदान करते हैं:
$MnO_4^-$ में,$Mn + 4(-2) = -1 \implies Mn = +7$ है।
$Cr(CN)_6^{3-}$ में,$Cr + 6(-1) = -3 \implies Cr = +3$ है।
$NiF_6^{2-}$ में,$Ni + 6(-1) = -2 \implies Ni = +4$ है।
$CrO_2Cl_2$ में,मान लीजिए $Cr$ की ऑक्सीकरण अवस्था $x$ है। चूँकि $O$ का $-2$ और $Cl$ का $-1$ होता है,इसलिए $x + 2(-2) + 2(-1) = 0 \implies x - 4 - 2 = 0 \implies x = +6$ है।
अतः,$+6$ ऑक्सीकरण अवस्था वाली स्पीशीज $CrO_2Cl_2$ है।

(B) आइसोइलेक्ट्रॉनिक प्रजातियों के लिए,जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक घटता है,आयनिक त्रिज्या बढ़ती है।
$F^{-}$,$O^{2-}$ और $N^{3-}$ श्रृंखला में सभी में $10$ इलेक्ट्रॉन हैं।
इनके परमाणु क्रमांक $F (9)$,$O (8)$ और $N (7)$ हैं।
चूंकि नाभिकीय आवेश $F$ से $N$ की ओर घटता है,इलेक्ट्रॉनों पर आकर्षण कम हो जाता है और आयनिक त्रिज्या बढ़ जाती है।
इसलिए,सही क्रम $F^{-} < O^{2-} < N^{3-}$ है।

(A) समूह $16$ के तत्वों के हाइड्राइड का क्वथनांक क्रम इस प्रकार है: $H_2O > H_2Te > H_2Se > H_2S$।
$H_2O$ में मजबूत अंतर-आणविक हाइड्रोजन बंधन की उपस्थिति के कारण इसका क्वथनांक असामान्य रूप से उच्च होता है,जो इस समूह के अन्य हाइड्राइड में अनुपस्थित होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) ज्यामितीय समावयवता उन यौगिकों द्वारा प्रदर्शित की जाती है जिनमें द्वि-आबंध के चारों ओर प्रतिबंधित घूर्णन होता है और जहाँ द्वि-आबंध का प्रत्येक कार्बन परमाणु दो अलग-अलग समूहों से जुड़ा होता है।
$1-$फेनिल$-2-$ब्यूटीन $(C_6H_5-CH_2-CH=CH-CH_3)$ में,द्वि-आबंध वाले कार्बन परमाणु अलग-अलग समूहों से जुड़े होते हैं,जो सिस-ट्रांस समावयवता के लिए आवश्यक है।
अन्य विकल्पों में,द्वि-आबंध वाले कार्बन परमाणुओं में से कम से कम एक कार्बन दो समान समूहों से जुड़ा होता है,इसलिए वे ज्यामितीय समावयवता प्रदर्शित नहीं करते हैं।

(C) नाभिकस्नेही (nucleophilicity) किसी प्रजाति की इलेक्ट्रोफाइल को इलेक्ट्रॉन युग्म दान करने की क्षमता है।
आवर्त सारणी के एक आवर्त में,जैसे-जैसे विद्युत ऋणात्मकता बढ़ती है,नाभिकस्नेही घटती जाती है।
ऋण आवेश वाले परमाणुओं की विद्युत ऋणात्मकता का क्रम $C < N < O < F$ है।
चूंकि $CH_3^-$ में सबसे कम विद्युत ऋणात्मक परमाणु $(C)$ है,इसलिए यह अपने एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म को सबसे कम मजबूती से पकड़ता है और इसलिए यह सबसे अच्छा नाभिकस्नेही है।
अतः,नाभिकस्नेही का क्रम $CH_3^- > NH_2^- > OH^- > F^-$ है।

(C) प्रोपीन और प्रोपाइन को अमोनियाकल सिल्वर नाइट्रेट परीक्षण का उपयोग करके अलग किया जा सकता है।
प्रोपाइन $(CH_3-C \equiv CH)$ में एक टर्मिनल अम्लीय हाइड्रोजन परमाणु होता है।
टर्मिनल कार्बन के $sp$ संकरण के कारण,हाइड्रोजन अम्लीय होता है और अमोनियाकल $AgNO_3$ (टोलेंस अभिकर्मक) के साथ प्रतिक्रिया करके सिल्वर प्रोपाइनाइड $(CH_3-C \equiv CAg)$ का सफेद अवक्षेप देता है।
प्रोपीन $(CH_3-CH=CH_2)$ में अम्लीय हाइड्रोजन नहीं होता है और इसलिए यह अवक्षेप बनाने के लिए अमोनियाकल $AgNO_3$ के साथ प्रतिक्रिया नहीं करता है।

(A) माना $arg(z) = -\theta$,जहाँ $\theta > 0$ और $0 < \theta < \pi$ है।
चूँकि $z$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $-z$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
$-z$ का कोणांक $arg(-z) = \pi - \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अब,$arg(-z) - arg(z) = (\pi - \theta) - (-\theta)$.
$= \pi - \theta + \theta = \pi$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$ और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1+3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए त्रिभुज समबाहु है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और केंद्रक एक ही होते हैं।
केंद्रक के निर्देशांक $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
अंतःकेंद्र $= \left( \frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \left( 1, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) वक्र $y = f(x)$ के किसी बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = \frac{3\pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता और स्पर्शरेखा की प्रवणता $(f'(x))$ के बीच संबंध $m_n = -\frac{1}{f'(x)}$ होता है।
बिंदु $(3, 4)$ पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $f'(3)$ है।
अतः,$-1 = -\frac{1}{f'(3)}$।
इस समीकरण को हल करने पर,हमें $f'(3) = 1$ प्राप्त होता है।

(A) $K_p$ और $K_c$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $K_p = K_c(RT)^{\Delta n}$.
$K_c$ के लिए सूत्र: $K_c = K_p / (RT)^{\Delta n}$.
अभिक्रिया $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \rightleftharpoons 2NH_{3(g)}$ के लिए,गैस के मोलों में परिवर्तन $\Delta n = 2 - (1 + 3) = -2$.
तापमान $T = 500 \, ^\circ C = 500 + 273 = 773 \, K$.
गैस स्थिरांक $R = 0.082 \, \text{L atm K}^{-1} \text{mol}^{-1}$.
मान रखने पर: $K_c = 1.44 \times 10^{-5} / (0.082 \times 773)^{-2}$.

(D) माध्यिका $PS$,शीर्ष $P$ को भुजा $QR$ के मध्यबिंदु $S$ से जोड़ती है।
मध्यबिंदु $S = \left( \frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, 1 \right)$.
$PS$ की ढाल $m = \frac{1 - 2}{\frac{13}{2} - 2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$.
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $PS$ के समांतर रेखा की ढाल भी $m = -\frac{2}{9}$ होगी।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए: $y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$.
$9(y + 1) = -2(x - 1) \implies 9y + 9 = -2x + 2$.
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) संकरण निर्धारित करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [V + M - C + A]$,जहाँ $V$ संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,$M$ एकसंयोजी परमाणुओं की संख्या है,$C$ धनायन आवेश है,और $A$ ऋणायन आवेश है।
$1$. $NO_2^+$ के लिए: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [5 + 0 - 1 + 0] = 2$,जो $sp$ संकरण के अनुरूप है।
$2$. $NO_3^-$ के लिए: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [5 + 0 - 0 + 1] = 3$,जो $sp^2$ संकरण के अनुरूप है।
$3$. $NH_4^+$ के लिए: $\text{Hybridization} = \frac{1}{2} [5 + 4 - 1 + 0] = 4$,जो $sp^3$ संकरण के अनुरूप है।
अतः,सही क्रम क्रमशः $sp$,$sp^2$,और $sp^3$ है।

(A) एल्कीन का उत्प्रेरकीय हाइड्रोजनीकरण उसकी स्थिरता के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अधिक प्रतिस्थापित एल्कीन अधिक स्थिर होते हैं,इसलिए वे $H_2$ के साथ धीमी गति से प्रतिक्रिया करते हैं।
एल्कीन की स्थिरता का क्रम: टेट्रा-प्रतिस्थापित > ट्राई-प्रतिस्थापित > डाई-प्रतिस्थापित > मोनो-प्रतिस्थापित।
अतः,प्रतिक्रियाशीलता का क्रम: मोनो-प्रतिस्थापित > डाई-प्रतिस्थापित > ट्राई-प्रतिस्थापित > टेट्रा-प्रतिस्थापित।
दिए गए विकल्पों में से,जिस एल्कीन में सबसे कम $R$ समूह (सबसे अधिक $H$ परमाणु) होंगे,वह सबसे तेजी से प्रतिक्रिया करेगा।

(A) दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_1 = 1, f_1 = k, c_1 = 6$
वृत्त $2$: $g_2 = 0, f_2 = k, c_2 = k$
शर्त में मान रखने पर:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$2k^2 = 6 + k$
$2k^2 - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2k + 3)(k - 2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{3}{2}$।

(B) आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,${\log _a}b = \frac{{\log b}}{{\log a}}$।
इस सूत्र को व्यंजक में लागू करने पर:
${\log _3}4 \times {\log _4}5 \times {\log _5}6 \times {\log _6}7 \times {\log _7}8 \times {\log _8}9 = \frac{{\log 4}}{{\log 3}} \times \frac{{\log 5}}{{\log 4}} \times \frac{{\log 6}}{{\log 5}} \times \frac{{\log 7}}{{\log 6}} \times \frac{{\log 8}}{{\log 7}} \times \frac{{\log 9}}{{\log 8}}$
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$= \frac{{\log 9}}{{\log 3}}$
$= {\log _3}9$
$= {\log _3}({3^2})$
$= 2{\log _3}3$
$= 2(1) = 2$.

(D) तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho$ है।
$L$ लंबाई के तार का कुल द्रव्यमान $M = \rho L$ है।
चूँकि तार को वृत्ताकार लूप में मोड़ा गया है,अतः इसकी परिधि $2\pi R = L$ है,जिससे त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ प्राप्त होती है।
वृत्ताकार वलय (रिंग) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$XX'$ अक्ष (जो लूप के स्पर्शरेखीय है और व्यास के समांतर है) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2$ होगा,जहाँ $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
$M = \rho L$ और $R = \frac{L}{2\pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}\rho L \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$1$. गतिज ऊर्जा $(KE)$: $KE = -E_n = \frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$. जैसे ही इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $(n > 1)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में संक्रमण करता है,$n$ घटता है,इसलिए $KE$ बढ़ती है।
$2$. स्थितिज ऊर्जा $(U)$: $U = 2E_n = -\frac{27.2}{n^2} \text{ eV}$. जैसे $n$ घटता है,$|U|$ का परिमाण बढ़ता है,लेकिन चूंकि $U$ ऋणात्मक है,$U$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि यह घटता है।
$3$. कुल ऊर्जा $(E)$: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$. जैसे $n$ घटता है,$|E_n|$ का परिमाण बढ़ता है,लेकिन चूंकि $E_n$ ऋणात्मक है,$E_n$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि यह घटता है।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जबकि स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा घटती है।

(C) ज्यामितीय समावयवता प्रदर्शित करने के लिए,$C=C$ द्वि-आबंध के प्रत्येक कार्बन परमाणु को दो अलग-अलग समूहों से जुड़ा होना चाहिए।
$1-$फेनिल$-2-$ब्यूटीन $(C_6H_5-CH_2-CH=CH-CH_3)$ में,द्वि-आबंध के कार्बन परमाणु अलग-अलग समूहों ($H$ और $CH_3$ एक तरफ; $H$ और $CH_2C_6H_5$ दूसरी तरफ) से जुड़े हैं।
इसलिए,यह $cis-$ और $trans-$ समावयवियों के रूप में मौजूद हो सकता है।

(A) किरण के सतह $CD$ से बाहर निकलने के लिए,इसे सतह $AD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव नहीं करना चाहिए। सीमांत स्थिति यह है कि सतह $AD$ पर आपतन कोण $(r_2)$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए।
सतह $AB$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_2 \sin \alpha_{\max} = n_1 \sin r_1 \Rightarrow \sin \alpha_{\max} = \frac{n_1}{n_2} \sin r_1$ --- $(i)$
स्लैब के अंदर बने त्रिभुज में,$r_1 + r_2 = 90^{\circ}.$ किरण के $CD$ से बाहर निकलने के लिए,$r_2$ क्रांतिक कोण $C$ होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{n_2}{n_1}.$
अतः,$r_1 = 90^{\circ} - C = 90^{\circ} - \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right).$
समीकरण $(i)$ में $r_1$ का मान रखने पर:
$\alpha_{\max} = \sin^{-1}\left[\frac{n_1}{n_2} \sin\left(90^{\circ} - \sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}\right)\right]$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta,$
$\alpha_{\max} = \sin^{-1}\left[\frac{n_1}{n_2} \cos\left(\sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}\right)\right].$

(A) नोडल तल एक काल्पनिक तल है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।
कोणीय नोड्स (नोडल तलों) की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ द्वारा दी जाती है।
$p$-कक्षक के लिए,$l$ का मान $1$ होता है। इसलिए,इसमें $1$ नोडल तल होता है।
विशेष रूप से,$p_x$ कक्षक के लिए,नोडल तल $yz$-तल होता है,जहाँ इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य होता है।

(B) दिया गया इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ है।
यह विन्यास क्रोमियम ($Cr$,परमाणु क्रमांक $24$) तत्व का है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,अपेक्षित विन्यास $3d^4 4s^2$ है,लेकिन अर्ध-भरे $d$-कक्षकों के अतिरिक्त स्थायित्व के कारण,$4s$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में चला जाता है।
चूंकि यह उदासीन परमाणु के लिए सबसे स्थिर विन्यास है,इसलिए यह इसकी मूल अवस्था (ground state) को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए $Q$ से $M$ की दूरी $d$ है। बिंदु $M$,$QR$ के विस्तार पर स्थित है। इसलिए,$QR$ खंड के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
पहले मामले में,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $H_1$ केवल $PQ$ खंड के कारण है। अर्ध-अनंत तार के लिए बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करते हुए,तार के सिरे से $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ होता है।
दूसरे मामले में,एक चालक $QS$ जोड़ा जाता है। धारा $I$,$Q$ पर विभाजित हो जाती है। चूंकि $PQ$ और $QS$ एक ही रेखा में हैं और $QR$ उनके लंबवत है,धारा $I$,$PQ$ में $I/2$ और $QS$ में $I/2$ के रूप में विभाजित हो जाती है। $QR$ खंड में अब कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $H_2$,$PQ$ और $QS$ के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$H_2 = H_{PQ} + H_{QS} + H_{QR}$
$H_{PQ} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$
$H_{QS} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$ (क्योंकि $M$,$QS$ की रेखा पर $Q$ से $d$ दूरी पर है)
$H_{QR} = 0$
अतः,$H_2 = \frac{1}{2} H_1 + \frac{1}{2} H_1 = H_1$.
इसलिए,अनुपात $H_1/H_2 = 1$ है।

(D) मान लीजिए कि दो चुंबक $1$ और $2$ हैं। बिंदु $P$ प्रत्येक चुंबक के केंद्र से $d$ दूरी पर है।
चुंबक $1$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। चुंबक $1$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ है।
चुंबक $2$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। चुंबक $2$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ है।
चूंकि अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{\left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{5}M}{d^3}$.

(D) पानी के प्रवाह की दर (आयतन प्रति सेकंड) सांतत्य समीकरण द्वारा दी जाती है: $Q = A v$.
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = L^2$,गहराई $h_1 = y$। अतः,$v_1 = \sqrt{2gy}$।
प्रवाह दर $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$।
वृत्ताकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2$,गहराई $h_2 = 4y$। अतः,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$।
प्रवाह दर $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$।
दिया गया है कि प्रवाह दर समान है,इसलिए $Q_1 = Q_2$:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2gy}$ से विभाजित करने पर,हमें $L^2 = 2\pi R^2$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,जिसका अर्थ है कि $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक सूचकांक है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ आणविक द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए उनका एडियाबेटिक सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ समान है।
यह दिया गया है कि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_s \propto \sqrt{\frac{1}{M}}$ है।
अतः,गैस $1$ में ध्वनि की गति और गैस $2$ में ध्वनि की गति का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ संबंध $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ को संतुष्ट करता है।
केंद्र से $r > a$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,हम मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार पथ मानते हैं।
इस वृत्ताकार पथ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$ केवल $a$ त्रिज्या वाले क्षेत्र तक सीमित है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है: $\phi_B = B(t) \cdot \pi a^2$.
फैराडे के नियम के समाकल रूप को लागू करने पर:
$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right| = \pi a^2 \frac{dB}{dt}$.
$E$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{a^2}{2r} \frac{dB}{dt}$.
चूंकि $a$ और $\frac{dB}{dt}$ स्थिरांक हैं,इसलिए प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण $\frac{1}{r}$ के समानुपाती है।
अतः,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\frac{1}{r}$ के रूप में घटता है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ बदलते चुंबकीय क्षेत्र से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
केंद्र से $r > a$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,हम मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार पथ मानते हैं।
समरूपता के कारण,इस पथ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E$ स्थिर रहता है और $\vec{E}$ पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
अतः,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$।
इस पथ द्वारा घेरे गए क्षेत्र से चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B$ केवल $a$ त्रिज्या वाले उस क्षेत्र तक सीमित है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है:
$\Phi_B = B(t) \cdot (\pi a^2)$
इसलिए,$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right| = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक निश्चित समय के लिए $a$ और $\frac{dB}{dt}$ स्थिरांक हैं,हम पाते हैं कि $E \propto \frac{1}{r}$।
इस प्रकार,प्रेरित विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{1}{r}$ के रूप में घटता है।

(B) मान लीजिए कि दो तार $XX'$ अक्ष पर $x = -d$ और $x = +d$ स्थितियों पर हैं। दोनों कागज के तल से बाहर की ओर $I$ धारा का वहन करते हैं।
एक तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,कागज से बाहर आने वाली धारा के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं वामावर्त (counter-clockwise) होती हैं।
$x = -d$ पर स्थित तार के लिए,क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+d)}$ है ($x > -d$ के लिए ऊपर की ओर)।
$x = +d$ पर स्थित तार के लिए,क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x-d)}$ है ($x > d$ के लिए ऊपर की ओर,लेकिन $x < d$ के लिए नीचे की ओर)।
मध्य बिंदु $(x=0)$ पर,क्षेत्र समान और विपरीत हैं,इसलिए कुल क्षेत्र $0$ है।
$x = -d$ के बाईं ओर,दोनों क्षेत्र नीचे की ओर इंगित करते हैं। $x = +d$ के दाईं ओर,दोनों क्षेत्र ऊपर की ओर इंगित करते हैं।
तारों के बीच,क्षेत्र एक-दूसरे का विरोध करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक वक्र प्राप्त होता है जो केंद्र में शून्य से गुजरता है और अपना चिह्न बदलता है। सही ग्राफिकल निरूपण विकल्प $B$ है।

(D) $C_6H_5CH_2NH_2$ (बेंज़िलएमीन) में,नाइट्रोजन परमाणु पर मौजूद एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) स्थानीयकृत (localized) होता है क्योंकि यह बेंजीन वलय के साथ संयुग्मन में नहीं होता है।
अन्य विकल्पों में,नाइट्रोजन पर मौजूद इलेक्ट्रॉन युग्म बेंजीन वलय के साथ अनुनाद (resonance) के कारण विस्थानीकृत (delocalized) हो जाता है,जिससे क्षारकता कम हो जाती है।
इसके अतिरिक्त,$-NO_2$ समूह एक इलेक्ट्रॉन-आकर्षक समूह है जो एनिलिन व्युत्पन्नों की क्षारकता को और कम कर देता है।
इसलिए,$C_6H_5CH_2NH_2$ सबसे प्रबल क्षार है।

(B) संधारित्र को तीन संधारित्रों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। $K_1$ और $K_2$ वाले भाग एक-दूसरे के समानांतर हैं,और यह संयोजन $K_3$ वाले भाग के साथ श्रेणीक्रम में है।
पहले भाग की धारिता: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/2) K_1}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 A K_1}{d}$
दूसरे भाग की धारिता: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2) K_2}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 A K_2}{d}$
तीसरे भाग की धारिता: $C_3 = \frac{\varepsilon_0 A K_3}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A K_3}{d}$
चूंकि $C_1$ और $C_2$ समानांतर हैं,उनकी समतुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2)$ है।
अब,$C_p$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समतुल्य धारिता $C$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{\varepsilon_0 A (K_1 + K_2)} + \frac{d}{2 \varepsilon_0 A K_3}$
यदि एक ही परावैद्युत $K$ का उपयोग किया जाता है,तो $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$,इसलिए $\frac{1}{C} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A}$.
$\frac{1}{C}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{d}{K \varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3} \right)$
अतः,$\frac{1}{K} = \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3}$.

(D) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{n_L}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$।
द्वि-अवतल लेंस के लिए,$R_1$ ऋणात्मक है और $R_2$ धनात्मक है,इसलिए $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) < 0$ होता है।
लेंस द्वारा प्रकाश को अपसारित करने के लिए,इसे अवतल लेंस की तरह कार्य करना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसकी फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होनी चाहिए।
इसके लिए $(\frac{n_L}{n_m} - 1) > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि $n_L > n_m$।
दिया गया है कि $n_2 > n_1 > 1$,यदि लेंस को $L_2$ $(n_L = n_2)$ से भरा जाए और $L_1$ $(n_m = n_1)$ में डुबोया जाए,तो $n_L > n_m$ की शर्त पूरी होती है।
इसलिए,लेंस प्रकाश की समानांतर किरण पुंज को अपसारित करेगा।

(B) अभिक्रिया के लिए मानक एन्थैल्पी परिवर्तन का सूत्र: $\Delta H^o = \sum \Delta H_f^o(\text{products}) - \sum \Delta H_f^o(\text{reactants})$.
अभिक्रिया $CO_{2(g)} + H_{2(g)} \to CO_{(g)} + H_2O_{(g)}$ के लिए:
$\Delta H^o = [\Delta H_f^o(CO_{(g)}) + \Delta H_f^o(H_2O_{(g)})] - [\Delta H_f^o(CO_{2(g)}) + \Delta H_f^o(H_{2(g)})]$.
यहाँ $\Delta H_f^o(H_{2(g)}) = 0 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
$\Delta H^o = [-110.5 + (-241.8)] - [-393.5 + 0]$.
$\Delta H^o = -352.3 + 393.5 = 41.2 \ kJ$.

(B) मान लीजिए कि दोनों तत्वों के लिए रेडियोधर्मी परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर तत्व $X_1$ के लिए शेष परमाणुओं की संख्या $N_1(t) = N_0 e^{-10 \lambda t}$ है।
समय $t$ पर तत्व $X_2$ के लिए शेष परमाणुओं की संख्या $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
उनके परमाणुओं का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-9 \lambda t}$ द्वारा दिया गया है।
हमें दिया गया है कि यह अनुपात $\frac{1}{e} = e^{-1}$ हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-9 \lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{9 \lambda}$।

(D) वक्र $y=f(x)$ के किसी बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $\tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $\tan \left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता और स्पर्शरेखा की प्रवणता $\left(\frac{dy}{dx}\right)$ के बीच संबंध: $\text{अभिलंब की प्रवणता} = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(3) = 1$ है।

(C) '$m$' द्रव्यमान का एक कण जो '$r$' त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में '$\omega$' कोणीय गति से घूम रहा है,उसका कोणीय संवेग $L = I\omega = (mr^2)\omega$ होता है।
परिक्रमण करते आवेश से संबंधित चुंबकीय आघूर्ण $M = IA$ होता है,जहाँ $I$ समतुल्य धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi/\omega} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$.
अतः,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{1}{2}q\omega r^2$.
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2}q\omega r^2}{mr^2\omega} = \frac{q}{2m}$ होता है।
अतः,यह अनुपात केवल कण के आवेश '$q$' और द्रव्यमान '$m$' पर निर्भर करता है।

(A) आयतन प्रवाह दर (प्रति सेकंड पानी की मात्रा) $Q = A v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ बहिःस्राव का वेग है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
वर्गाकार छेद के लिए: $A_1 = L^2$ और $v_1 = \sqrt{2gy}$।
अतः,$Q_1 = L^2 \sqrt{2gy}$।
वृत्ताकार छेद के लिए: $A_2 = \pi R^2$ और $v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$।
अतः,$Q_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$।
यह दिया गया है कि $Q_1 = Q_2$,इसलिए:
$L^2 \sqrt{2gy} = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$
$L^2 = 2\pi R^2$
$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$
$R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$।

(A) वक्र $y=f(x)$ के बिंदु $(x_0, y_0)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = 3\pi/4$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(3\pi/4) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता और फलन के अवकलज के बीच संबंध $m_n = -1/f'(x_0)$ होता है।
दिए गए बिंदु $(3,4)$ का उपयोग करने पर,$m_n = -1/f'(3)$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की प्रवणता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-1/f'(3) = -1$।
अतः,$f'(3) = 1$ प्राप्त होता है।

(C) Hall-Heroult प्रक्रिया में एल्युमिना $(Al_2O_3)$ का विद्युत अपघटनी अपचयन शामिल है।
शुद्ध एल्युमिना का गलनांक बहुत अधिक होता है और यह विद्युत का कुचालक होता है।
इसे दूर करने के लिए,एल्युमिना को क्रायोलाइट $(Na_3AlF_6)$ और फ्लोस्पार $(CaF_2)$ के पिघले हुए मिश्रण में घोला जाता है।
यह मिश्रण दो मुख्य कार्य करता है:
$1$. यह मिश्रण के गलनांक को घटाकर लगभग $1240 \ K$ कर देता है।
$2$. यह पिघले हुए मिश्रण की विद्युत चालकता को बढ़ाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) अमोनिया $(NH_3)$ एक क्षारीय (basic) गैस है।
एक क्षारीय गैस को सुखाने के लिए,हमें एक क्षारीय सुखाने वाले एजेंट का उपयोग करना चाहिए।
यदि किसी अम्लीय सुखाने वाले एजेंट का उपयोग किया जाता है,तो यह अमोनिया के साथ प्रतिक्रिया करके लवण (salt) बना लेगा।
$CaCl_2$,$NH_3$ के साथ एक एडक्ट $(CaCl_2 \cdot 8NH_3)$ बनाता है।
$P_2O_5$ और $H_2SO_4$ अम्लीय हैं और वे $NH_3$ के साथ प्रतिक्रिया करके अमोनियम लवण बनाते हैं।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से $CaO$ (क्विकलाइम) ही एकमात्र उपयुक्त क्षारीय सुखाने वाला एजेंट है।

(C) चक्रीय मेटाफॉस्फोरिक अम्ल का सूत्र $(HPO_3)_3$ या $H_3P_3O_9$ है।
इसकी चक्रीय संरचना में,तीन $PO_4$ चतुष्फलक ऑक्सीजन परमाणुओं को साझा करके आपस में जुड़े होते हैं।
इस संरचना में $P$ और $O$ परमाणुओं की एकांतर व्यवस्था वाली छह-सदस्यीय वलय होती है,जिसके परिणामस्वरूप $3$ $P-O-P$ बंध बनते हैं।

(D) दी गई अभिक्रिया के लिए,दर नियम व्यंजक है: $\text{Rate} = k [N_2O_5]$.
यहाँ दर स्थिरांक $k = 3 \times 10^{-5} \, s^{-1}$ और अभिक्रिया की दर $2.40 \times 10^{-5} \, mol \, L^{-1} \, s^{-1}$ है।
इन मानों को दर नियम समीकरण में रखने पर:
$2.40 \times 10^{-5} = (3 \times 10^{-5}) \times [N_2O_5]$
$[N_2O_5]$ के लिए हल करने पर:
$[N_2O_5] = \frac{2.40 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-5}} = 0.8 \, mol \, L^{-1}$.

(B) $M|M^{+}||X^{-}|X$ सेल के लिए सेल अभिक्रिया इस प्रकार है:
एनोड (ऑक्सीकरण): $M \to M^{+} + e^{-}$,${E^{o}}_{ox} = -0.44 \ V$
कैथोड (अपचयन): $X + e^{-} \to X^{-}$,${E^{o}}_{red} = 0.33 \ V$
सेल अभिक्रिया: $M + X \to M^{+} + X^{-}$
${E^{o}}_{cell} = {E^{o}}_{cathode} - {E^{o}}_{anode} = 0.33 \ V - 0.44 \ V = -0.11 \ V$
चूंकि ${E^{o}}_{cell}$ ऋणात्मक है,इसलिए अग्र अभिक्रिया स्वतःप्रवर्तित नहीं है।
अतः,विपरीत अभिक्रिया,$M^{+} + X^{-} \to M + X$,स्वतःप्रवर्तित है।

(D) . सबसे पहले,कुचले हुए हेमेटाइट अयस्क के साथ मिलाया गया कार्बन $CO$ (और $CO_2$) में ऑक्सीकृत हो जाता है।
दूसरे,उत्पन्न $CO$ हेमेटाइट $(Fe_2O_3)$ को आयरन में अपचयित करने के लिए मुख्य अपचायक के रूप में कार्य करता है,जिसे बाद में स्टील में संसाधित किया जाता है।

(B) इस अभिक्रिया में हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ की उपस्थिति में कीटोन समूह $(-COCH_3)$ का एल्काइल समूह $(-CH_2CH_3)$ में अपचयन (reduction) शामिल है।
$1$. $Zn(Hg), HCl$ क्लेमेंसन अपचयन के लिए अभिकर्मक है,जो अम्लीय होता है। अम्लीय परिस्थितियों में,$-OH$ समूह निर्जलीकरण (dehydration) के माध्यम से एल्कीन बना सकता है।
$2$. $NH_2NH_2, OH^-$ वुल्फ-किशनर अपचयन के लिए अभिकर्मक है,जो क्षारीय होता है। $-OH$ समूह क्षारीय परिस्थितियों में स्थिर रहता है।
इसलिए,इस रूपांतरण के लिए $NH_2NH_2, OH^-$ उपयुक्त अभिकर्मक है।

(B) $2, 4-$हेक्सेनडायोन एक $1, 3-$डाईकीटोन है,जिसमें दो कार्बोनिल समूहों के बीच सक्रिय मेथिलीन हाइड्रोजन होते हैं।
ये हाइड्रोजन सबसे अधिक अम्लीय होते हैं क्योंकि परिणामी कार्बोनियन दोनों कार्बोनिल समूहों के साथ अनुनाद (resonance) द्वारा स्थिर होता है।
$\text{CH}_3-\text{C}(=\text{O})-\text{CH}_2-\text{C}(=\text{O})-\text{CH}_2\text{CH}_3$ $\xrightarrow{-\text{H}^+} \text{CH}_3-\text{C}(=\text{O})-\text{CH}^--\text{C}(=\text{O})-\text{CH}_2\text{CH}_3$.
ऋणात्मक आवेश दो ऑक्सीजन परमाणुओं पर विस्थानीकृत (delocalized) होता है,जो अन्य विकल्पों की तुलना में महत्वपूर्ण स्थिरता प्रदान करता है।

(A) अम्लीय परिस्थितियों में अल्कोहल का निर्जलीकरण एक कार्बोनियम आयन मध्यवर्ती के निर्माण के माध्यम से होता है। निर्जलीकरण की सुगमता निर्मित कार्बोनियम आयन की स्थिरता और एक संयुग्मित प्रणाली बनाने की क्षमता पर निर्भर करती है। $\beta$-हाइड्रॉक्सी कार्बोनिल यौगिक (एल्डोल) विशेष रूप से निर्जलीकरण के प्रति संवेदनशील होते हैं क्योंकि परिणामी उत्पाद एक $\alpha, \beta$-असंतृप्त कार्बोनिल यौगिक होता है,जो $C=C$ द्वि-आबंध और $C=O$ कार्बोनिल समूह के बीच संयुग्मन द्वारा स्थिर होता है। दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $A$ एक $\beta$-हाइड्रॉक्सीकीटोन (एल्डोल) को दर्शाता है,जो एक स्थिर संयुग्मित प्रणाली बनाने के लिए सबसे आसानी से निर्जलीकृत हो जाएगा।

(C) बेंज़ोइक एसिड थायोनिल क्लोराइड $(SOCl_2)$ के साथ अभिक्रिया करके बेंज़ोयल क्लोराइड बनाता है। अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_6H_5COOH + SOCl_2 \rightarrow C_6H_5COCl + SO_2 + HCl$
इस विधि को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि उप-उत्पाद ($SO_2$ और $HCl$) गैसें होती हैं,जो बाहर निकल जाती हैं,जिससे शुद्ध उत्पाद प्राप्त होता है।

(D) एक एलिफैटिक एमीन है; इसलिए यह एरोमैटिक एमीन की तुलना में अधिक प्रबल क्षार है।
एरोमैटिक एमीन्स में,नाइट्रोजन परमाणु पर मौजूद एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) बेंजीन वलय के साथ अनुनाद में भाग लेता है,जिससे इसकी प्रोटॉन ग्रहण करने की क्षमता कम हो जाती है।
इसके अलावा,$o$,$p$ और $m$-स्थितियों पर इलेक्ट्रॉन-आकर्षक समूह $(-NO_2)$ $-I$ और $-M$ प्रभाव के कारण क्षारीय गुण को और कम कर देते हैं।
चूंकि $C_6H_5CH_2NH_2$ एक एलिफैटिक एमीन है,इसलिए यह सबसे अधिक क्षारीय है।
क्षारीयता का क्रम है: $(D) > (A) > (C) > (B)$।

(D) $S_{N}2$ अभिक्रिया में,अभिक्रिया की दर लिविंग ग्रुप की बाहर निकलने की क्षमता पर निर्भर करती है।
लिविंग ग्रुप की क्षमता $C-X$ बंध की मजबूती और हैलाइड आयन $(X^-)$ की स्थिरता द्वारा निर्धारित होती है।
हैलोजन का आकार बढ़ने के साथ बंध की मजबूती घटती है $(C-F > C-Cl > C-Br > C-I)$।
परिणामस्वरूप,आयोडाइड आयन $(I^-)$ सबसे अच्छा लिविंग ग्रुप है क्योंकि यह सबसे दुर्बल क्षार है,जबकि फ्लोराइड आयन $(F^-)$ सबसे खराब लिविंग ग्रुप है।
इसलिए,$S_{N}2$ अभिक्रियाओं के लिए अभिक्रियाशीलता का क्रम $RI > RBr > RCl > RF$ है।

(A) एल्डोल ($\beta$-हाइड्रॉक्सी एल्डिहाइड या $\beta$-हाइड्रॉक्सी कीटोन) अम्लीय या क्षारीय परिस्थितियों में निर्जलीकरण के माध्यम से $\alpha,\beta$-असंतृप्त कार्बोनिल यौगिक बनाते हैं।
इसका कारण यह है कि परिणामी द्वि-आबंध कार्बोनिल समूह के साथ संयुग्मित (conjugated) होता है,जो उत्पाद को महत्वपूर्ण स्थिरता प्रदान करता है।
दिए गए विकल्पों में से,$4$-हाइड्रॉक्सी-$2$-पेंटेनोन एक $\beta$-हाइड्रॉक्सी कीटोन है।
हाइड्रॉक्सिल समूह के प्रोटोनेशन और उसके बाद पानी के अणु के निष्कासन से,यह एक स्थिर संयुग्मित प्रणाली बनाता है।
अन्य विकल्प या तो साधारण अल्कोहल हैं या $\gamma$-हाइड्रॉक्सी कीटोन हैं,जो $\beta$-हाइड्रॉक्सी कार्बोनिल यौगिकों की तरह आसानी से संयुग्मित प्रणाली नहीं बनाते हैं।