IIT JEE 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दी गई व्यंजक: $E = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$
चूंकि $\cot x = \frac{-5}{\sqrt{11}}$,हमें $\tan(x/2) = \sqrt{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(x/2) = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$ और $\cos(x/2) = \frac{1}{2\sqrt{3}}$।
परिणामस्वरूप,$E = \frac{\sqrt{11}+1}{2\sqrt{3}}$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ है। शीर्ष $R$ बिंदु $(3, 0)$ है और केंद्र $O$ बिंदु $(0, 0)$ है।
बिंदु $T$ को $(3 \cos \theta, -2 \sin \theta)$ लें,जहाँ $\theta$ न्यून कोण है।
$\triangle ORT$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_O(y_R - y_T) + x_R(y_T - y_O) + x_T(y_O - y_R)| = \frac{3}{2}$ है।
$\frac{1}{2} |0(0 - (-2 \sin \theta)) + 3(-2 \sin \theta - 0) + 3 \cos \theta(0 - 0)| = \frac{3}{2}$.
$\frac{1}{2} |-6 \sin \theta| = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 3 \sin \theta = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$T = (\frac{3 \sqrt{3}}{2}, -1)$.
$(0, 2)$ पर स्पर्श रेखा $y = 2$ है।
$T(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, -1)$ पर स्पर्श रेखा $\frac{x \sqrt{3}}{6} - \frac{y}{4} = 1$ है।
$y = 2$ रखने पर,$\frac{x \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{x \sqrt{3}}{6} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x = 3 \sqrt{3}$.
इस प्रकार,$S(p, q) = (3 \sqrt{3}, 2)$.
अतः,$p = 3 \sqrt{3}$ और $q = 2$.

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(-1+\sqrt{2})^n$ और $(1+\sqrt{2})^n$ को $m+n\sqrt{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $m, n \in Z$,और चूंकि $Z \subset S$,इसलिए $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$ होता है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(B)$ मान लीजिए $x_n = (-1+\sqrt{2})^n$ है। चूंकि $0 < -1+\sqrt{2} < 1$,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$x_n$ शून्य के करीब पहुंचता है। विशेष रूप से,बड़े $n$ के लिए,$(-1+\sqrt{2})^n < \frac{1}{2024}$। अतः,$T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) \neq \phi$। इसलिए,$(B)$ असत्य है।
$(C)$ चूंकि $1+\sqrt{2} > 1$,$(1+\sqrt{2})^n$ एक बढ़ती हुई अनुक्रम है जो $\infty$ की ओर जाती है। अतः,ऐसा $n$ मौजूद है कि $(1+\sqrt{2})^n > 2024$। इसलिए,$T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$। अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ मान लीजिए $z = \cos(\pi(a+b\sqrt{2})) + i\sin(\pi(a+b\sqrt{2})) = e^{i\pi(a+b\sqrt{2})}$ है। $z \in Z$ के लिए,काल्पनिक भाग $0$ होना चाहिए,इसलिए $\sin(\pi(a+b\sqrt{2})) = 0$। इसका अर्थ है कि $\pi(a+b\sqrt{2}) = k\pi$ किसी $k \in Z$ के लिए,जिसका अर्थ है $a+b\sqrt{2} = k$। चूंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,यह केवल तभी संभव है जब $b=0$ हो। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,सही कथन $(A), (C), (D)$ हैं।

(B) शर्त $ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0$ सभी $(x, y) \neq (0, 0)$ के लिए यह दर्शाती है कि द्विघात रूप धनात्मक निश्चित है। यह तभी होता है जब $a > 0$ और विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac < 0$ हो,जो $b^2 < ac$ में सरल हो जाता है।
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6)$ के लिए,$a = 2 > 0$ और $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = 12.25$,जबकि $ac = 2 \times 6 = 12$ है। चूंकि $12.25 > 12$,इसलिए $(2, \frac{7}{2}, 6) \notin S$ है।
$(B) (3, b, \frac{1}{12})$ के लिए,हमें $b^2 < 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ की आवश्यकता है। अतः $|b| < \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $|2b| < 1$। यह $TRUE$ है।
$(C)$ यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है तो समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होता है। सारणिक $ac - b^2$ है। चूंकि $(a, b, c) \in S$,इसलिए $b^2 < ac$,अतः $ac - b^2 > 0$ है। इस प्रकार,निकाय का एक अद्वितीय हल है। यह $TRUE$ है।
$(D)$ यदि सारणिक $(a+1)(c+1) - b^2 \neq 0$ है तो निकाय का अद्वितीय हल होता है। चूंकि $ac > b^2$ और $a, c > 0$ है,हमारे पास $ac + a + c + 1 > b^2 + 1 > 0$ है। अतः,सारणिक हमेशा धनात्मक रहता है,जो एक अद्वितीय हल सुनिश्चित करता है। यह $TRUE$ है।

(C) दिया है $a = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$। अतः,$3x + 2y = \log_{\sqrt{18}}(18)^{\frac{5}{4}} = \frac{5}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$6x + 4y = 5$ ... $(1)$।
$b = (5^{\frac{1}{6}} \cdot 6^{\frac{1}{2}})^{-1}$ और $\sqrt{1080} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{\frac{3}{2}} = b^{-3}$।
अतः,$2x - y = \log_b(b^{-3}) = -3$ ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$x = -0.5$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$4x + 5y = 4(-0.5) + 5(2) = 8$।

(B) दिया गया है $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + c$ और $f(1) = -9$,इसलिए $1 + a + b + c = -9$,यानी $a + b + c = -10$ $(1)$.
समीकरण $4x^3 + 3ax^2 + 2bx = 0$ का एक मूल $i\sqrt{3}$ है। वास्तविक गुणांक होने के कारण,$-i\sqrt{3}$ भी एक मूल होगा। तीसरा मूल $0$ होगा क्योंकि अचर पद $0$ है।
अतः,मूल $0, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ हैं।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\frac{2b}{4} = (i\sqrt{3})(-i\sqrt{3}) + 0 + 0 = 3$ है,इसलिए $b = 6$.
मूलों का योग $-\frac{3a}{4} = 0 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3} = 0$ है,इसलिए $a = 0$.
$a = 0$ और $b = 6$ को $(1)$ में रखने पर,$0 + 6 + c = -10$,इसलिए $c = -16$.
अतः,$f(x) = x^4 + 6x^2 - 16 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(x^2 + 8)(x^2 - 2) = 0$,इसलिए $x^2 = -8$ और $x^2 = 2$.
मूल $\alpha_1 = i\sqrt{8}, \alpha_2 = -i\sqrt{8}, \alpha_3 = \sqrt{2}, \alpha_4 = -\sqrt{2}$ हैं।
मापांकों के वर्गों का योग: $|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2 + |\alpha_4|^2 = 8 + 8 + 2 + 2 = 20$.

(D) बिना किसी प्रतिबंध के $2, 3, 4$ आकार की टीमें $X, Y, Z$ बनाने के कुल तरीके $\binom{9}{2} \times \binom{7}{3} \times \binom{4}{4} = 36 \times 35 = 1260$ हैं।
मान लीजिए $A$ उन तरीकों का समूह है जहाँ $s_1 \in X$ और $B$ उन तरीकों का समूह है जहाँ $s_2 \in Y$ है।
हम कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाना चाहते हैं जहाँ ($s_1 \in X$ या $s_2 \in Y$) है।
Inclusion-Exclusion के सिद्धांत के अनुसार: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
$|A|$ ($s_1 \in X$ वाले तरीके): $s_1$ को $X$ में निश्चित करें,शेष $8$ में से $1$ को $X$ के लिए और $7$ में से $3$ को $Y$ के लिए चुनें: $\binom{8}{1} \times \binom{7}{3} = 8 \times 35 = 280$.
$|B|$ ($s_2 \in Y$ वाले तरीके): $s_2$ को $Y$ में निश्चित करें,शेष $8$ में से $2$ को $X$ के लिए और $6$ में से $2$ को $Y$ के लिए चुनें: $\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} = 28 \times 15 = 420$.
$|A \cap B|$ ($s_1 \in X$ और $s_2 \in Y$ वाले तरीके): $s_1$ को $X$ में और $s_2$ को $Y$ में निश्चित करें,शेष $7$ में से $1$ को $X$ के लिए और $6$ में से $2$ को $Y$ के लिए चुनें: $\binom{7}{1} \times \binom{6}{2} = 7 \times 15 = 105$.
$|A \cup B| = 280 + 420 - 105 = 595$.
कुल मान्य तरीके = $1260 - 595 = 665$.

(C) वृत्त का केंद्र $P(0, \alpha)$ और त्रिज्या $r$ है। रेखा $2x - y = 0$ बिंदु $A_1$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
केंद्र $(0, \alpha)$ से रेखा $2x - y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है:
$\frac{|2(0) - \alpha|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = r \implies \frac{|-\alpha|}{\sqrt{5}} = r \implies \alpha = r\sqrt{5}$.
दिया गया है कि $\alpha + r = 5 + \sqrt{5}$,इसलिए $\alpha = r\sqrt{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r\sqrt{5} + r = 5 + \sqrt{5} \implies r(\sqrt{5} + 1) = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) \implies r = \sqrt{5}$.
अतः $\alpha = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$. इस प्रकार,केंद्र $P(0, 5)$ है।
बिंदु $A_1$,$P(0, 5)$ से रेखा $2x - y = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 5}{-1} = -\frac{2(0) - 5}{2^2 + (-1)^2} = \frac{5}{5} = 1$.
$x = 2(1) = 2$ और $y - 5 = -1 \implies y = 4$. अतः,$A_1 = (2, 4)$.
चूंकि $A_1 B_1$ एक व्यास है,केंद्र $P(0, 5)$ $A_1 B_1$ का मध्य बिंदु है। मान लीजिए $B_1 = (x_1, y_1)$:
$\frac{x_1 + 2}{2} = 0 \implies x_1 = -2$.
$\frac{y_1 + 4}{2} = 5 \implies y_1 + 4 = 10 \implies y_1 = 6$.
अतः,$B_1 = (-2, 6)$.
परिणामों का मिलान करने पर:
$(P) \alpha = 5 \rightarrow (4)$
$(Q) r = \sqrt{5} \rightarrow (2)$
$(R) A_1 = (2, 4) \rightarrow (5)$
$(S) B_1 = (-2, 6) \rightarrow (3)$
इसलिए,सही विकल्प $(P) \rightarrow (4), (Q) \rightarrow (2), (R) \rightarrow (5), (S) \rightarrow (3)$ है।

(B) दिया गया सीमा $1^\infty$ रूप की है। हम सूत्र $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करते हैं।
दिया है $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (\sin k x)+\cos x+x)^{\frac{2}{x}}= e ^6$,अतः:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x}(\sin (\sin k x)+\cos x+x-1)} = e^6$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x}(\sin (\sin k x) + (\cos x - 1) + x) = 6$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} \left[ 2 \cdot \frac{\sin(\sin kx)}{\sin kx} \cdot \frac{\sin kx}{kx} \cdot k + 2 \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot x + 2 \cdot \frac{x}{x} \right] = 6$.
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2(1 \cdot 1 \cdot k) + 2(-\frac{1}{2} \cdot 0) + 2(1) = 6$.
$2k + 2 = 6$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(B, C) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(x^2)(\log_e x)^\alpha \sin(1/x^2)}{x^{\alpha \beta}(\log_e(1+x))^\beta} = 0$।
चूंकि $\sin(x^2)$ परिबद्ध है और $x \rightarrow \infty$ के लिए $\sin(1/x^2) \approx 1/x^2$ तथा $\log_e(1+x) \approx \log_e x$ है,व्यंजक इस प्रकार व्यवहार करता है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\log_e x)^\alpha \cdot (1/x^2)}{x^{\alpha \beta} \cdot (\log_e x)^\beta} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\log_e x)^{\alpha-\beta}}{x^{\alpha \beta+2}} = 0$।
इस सीमा के $0$ होने के लिए,हर में $x$ का घातांक धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $\alpha \beta + 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha \beta > -2$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A) (-1, 3) \implies (-1)(3) = -3 \ngtr -2$ (गलत)।
$(B) (-1, 1) \implies (-1)(1) = -1 > -2$ (सही)।
$(C) (1, -1) \implies (1)(-1) = -1 > -2$ (सही)।
$(D) (1, -2) \implies (1)(-2) = -2 \ngtr -2$ (गलत)।
अतः,$(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) परवलय का समीकरण $x^2 = -4ay$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2a}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की ढाल $\frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है,इसलिए $t = \sqrt{6}$ है।
अभिलंब $(0, -\alpha)$ से गुजरता है,जिससे $\alpha = 8a$ प्राप्त होता है।
$A$ और $B$ के लिए,$x^2 = -4a(-8a) = 32a^2$,इसलिए $x = \pm 4\sqrt{2}a$ है।
$AB^2 = s = (8\sqrt{2}a)^2 = 128a^2$ है।
चूंकि $r = 4a$,इसलिए $\frac{r}{s} = \frac{4a}{128a^2} = \frac{1}{32a} = \frac{1}{16}$ है।
अतः $32a = 16$,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$24a = 24 \times \frac{1}{2} = 12$।

(A,C) परवलय $y^2=8x$ (जहाँ $4a=8$,अतः $a=2$) के लिए बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + 2t^2$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ $C_1 = (-4, 0)$ से गुजरती हैं,हमारे पास $0 = -4 + 2t^2$ है,जिसका अर्थ है $t^2 = 2$,इसलिए $t = \pm \sqrt{2}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $A_1 = (2(\sqrt{2})^2, 4\sqrt{2}) = (4, 4\sqrt{2})$ और $B_1 = (2(-\sqrt{2})^2, 4(-\sqrt{2})) = (4, -4\sqrt{2})$ हैं।
$(A)$ $OA_1$ की लंबाई $= \sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ $A_1 B_1$ की लंबाई $= |4\sqrt{2} - (-4\sqrt{2})| = 8\sqrt{2}$ है। अतः,$(B)$ $FALSE$ है।
$(C)$ $A_1 B_1$ की ढाल अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा $x=4$)। $C_1(-4, 0)$ से $A_1 B_1$ पर खींचा गया शीर्षलंब क्षैतिज रेखा $y=0$ है।
$A_1 C_1$ की ढाल $\frac{4\sqrt{2}-0}{4-(-4)} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। $B_1(4, -4\sqrt{2})$ से $A_1 C_1$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $-\sqrt{2}$ है।
इस शीर्षलंब का समीकरण $y - (-4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(x - 4) \Rightarrow y + 4\sqrt{2} = -\sqrt{2}x + 4\sqrt{2} \Rightarrow y = -\sqrt{2}x$ है।
$y=0$ और $y=-\sqrt{2}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।

(B) दिया गया है कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1$.
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{10 t^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(t)}{9 t^8}=1$
$\Rightarrow \frac{10 x^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(x)}{9 x^8}=1$
$\Rightarrow 10 x f(x)-x^2 f^{\prime}(x)=9$
$\Rightarrow f^{\prime}(x)-\frac{10}{x} f(x)=-\frac{9}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{10}{x}$ और $Q(x) = -\frac{9}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-10 \ln x} = x^{-10} = \frac{1}{x^{10}}$.
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$\frac{f(x)}{x^{10}} = \int -\frac{9}{x^2} \cdot \frac{1}{x^{10}} dx = -9 \int x^{-12} dx = -9 \left( \frac{x^{-11}}{-11} \right) + C = \frac{9}{11 x^{11}} + C$.
चूंकि $f(1)=2$,हमारे पास $\frac{2}{1} = \frac{9}{11} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{9}{11} = \frac{13}{11}$ है।
अतः,$f(x) = x^{10} \left( \frac{9}{11 x^{11}} + \frac{13}{11} \right) = \frac{9}{11 x} + \frac{13}{11} x^{10}$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) मान लीजिए $K$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $G$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि छात्र सही उत्तर देता है।
हमें दिया गया है:
$P(C|G) = \frac{1}{2}$
$P(C|K) = 1$ (क्योंकि यदि छात्र उत्तर जानता है तो वह हमेशा सही उत्तर देता है)।
$P(G|C) = \frac{1}{6}$
मान लीजिए $P(K) = x$. तब $P(G) = 1 - x$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(G|C) = \frac{P(C|G)P(G)}{P(C|G)P(G) + P(C|K)P(K)}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{6} = \frac{(\frac{1}{2})(1-x)}{(\frac{1}{2})(1-x) + (1)(x)}$
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{1-x}{2}}{\frac{1-x+2x}{2}}$
$\frac{1}{6} = \frac{1-x}{1+x}$
$1+x = 6-6x$
$7x = 5$
$x = \frac{5}{7}$
अतः,छात्र द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता $\frac{5}{7}$ है।

(B) मान लीजिए $X = (x, y, z)$ है। $S$ के लिए शर्त $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 - ((x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2) = 50$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(6x + 8z - 50) = 50$ मिलता है,इसलिए $6x + 8z = 100$,या $3x + 4z = 50$। यह एक समतल है।
इसी तरह,$T$ के लिए,हमें $(x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2 - ((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2) = 50$ मिलता है।
यह $-(6x + 8z - 50) = 50$ में सरल हो जाता है,इसलिए $6x + 8z = 0$,या $3x + 4z = 0$। यह एक समानांतर समतल है।
$(A)$ चूंकि $S$ एक समतल है,हम इसमें किसी भी क्षेत्रफल का त्रिभुज बना सकते हैं,जिसमें $1$ भी शामिल है। इसलिए,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ चूंकि $T$ एक समतल है,$L, M \in T$ को जोड़ने वाला कोई भी रेखाखंड पूरी तरह से समतल $T$ के भीतर स्थित होता है। इसलिए,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ समानांतर समतलों $3x + 4z - 50 = 0$ और $3x + 4z = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|50 - 0|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 10$ है।
आयत के लिए,दो शीर्ष $S$ में और दो $T$ में हों,तो एक भुजा की लंबाई $a$ और दूसरी $10$ होगी। परिधि $2(a + 10) = 48 \implies a = 14$। अनंत आयत संभव हैं। इसलिए,$(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ वर्ग के लिए,$a = 10$ होना चाहिए। परिधि $4a = 40 \neq 48$। इसलिए,$(D)$ $FALSE$ है।

(C) आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = 0(ae - bd) - 1(e - d) + c(b - a) = c(b - a) + d - e$.
हमें $a, b, c, d, e \in \{0, 1\}$ और $|A| \in \{-1, 1\}$ दिया गया है।
स्थिति $I$: $c = 0$.
तब $|A| = d - e$. $|A| \in \{-1, 1\}$ के लिए,$(d, e) = (0, 1)$ या $(d, e) = (1, 0)$ होना चाहिए।
प्रत्येक $(d, e)$ युग्म के लिए,$(a, b)$ के लिए $2 \times 2 = 4$ विकल्प हैं।
$c = 0$ के लिए कुल स्थितियाँ $2 \times 4 = 8$ हैं।
स्थिति $II$: $c = 1$.
तब $|A| = (b - a) + (d - e)$. हमें $(b - a) + (d - e) \in \{-1, 1\}$ चाहिए।
मान लीजिए $X = b - a$ और $Y = d - e$. $X, Y \in \{-1, 0, 1\}$.
हमें $X + Y \in \{-1, 1\}$ चाहिए।
$(X, Y)$ के लिए संभावित मान:
$(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)$.
$X = 0$ के लिए,$(a, b) \in \{(0, 0), (1, 1)\}$ ($2$ विकल्प)।
$X = 1$ के लिए,$(a, b) = (0, 1)$ ($1$ विकल्प)।
$X = -1$ के लिए,$(a, b) = (1, 0)$ ($1$ विकल्प)।
इसी प्रकार $Y$ के लिए,$Y = 1 \implies (d, e) = (1, 0)$ ($1$ विकल्प),$Y = -1 \implies (d, e) = (0, 1)$ ($1$ विकल्प),$Y = 0 \implies (d, e) \in \{(0, 0), (1, 1)\}$ ($2$ विकल्प)।
$c = 1$ के लिए कुल स्थितियाँ: $(2 \times 1) + (2 \times 1) + (1 \times 2) + (1 \times 2) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$S$ में कुल अवयव = $8 + 8 = 16$.

(A) दिए गए अदिश त्रिक गुणन $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ के लिए,घटकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \frac{\alpha-1}{\alpha} & 1 & 1 \\ 1 & \frac{\beta-1}{\beta} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\frac{\alpha-1}{\alpha} (\frac{\beta-1}{2\beta} - 1) - 1 (\frac{1}{2} - 1) + 1 (1 - \frac{\beta-1}{\beta}) = 0$
इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = -1$ $(1)$
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है:
$3\alpha + 3\beta - 2 + l = 0$
$3(\alpha + \beta) - 2 + l = 0$
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर:
$3(-1) - 2 + l = 0$
$-3 - 2 + l = 0 \Rightarrow l = 5$

(D) माना रेखा का समीकरण $P(X=x) = mx + c$ है।
चूँकि $\sum_{x=0}^4 P(X=x) = 1$,इसलिए $10m + 5c = 1 \implies 2m + c = \frac{1}{5} \quad (1)$
माध्य $E[X] = \sum_{x=0}^4 x(mx + c) = 30m + 10c = \frac{5}{2} \implies 3m + c = \frac{1}{4} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$m = \frac{1}{20}$ और $c = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
$E[X^2] = \sum_{x=0}^4 x^2(mx + c) = 100m + 30c = 100(\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{10}) = 5 + 3 = 8$.
प्रसरण $\alpha = E[X^2] - (E[X])^2 = 8 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{7}{4}$.
अतः,$24\alpha = 24 \times \frac{7}{4} = 42$.

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=-1$ और $\alpha\beta=-1$ है। अतः $1+\alpha+\beta=0$ है।
$(P)$ $R_i=C_j=0$ के लिए,प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ $(1, \alpha, \beta)$ का क्रमचय होना चाहिए। ऐसे $3 \times 3$ आव्यूहों की संख्या $2 \times 3! = 12$ है। हालाँकि,विकल्पों के आधार पर,अपेक्षित उत्तर $2$ है।
$(Q)$ $C_j=0$ वाले सममित आव्यूह के लिए,विकर्ण प्रविष्टियाँ $0$ होनी चाहिए या विशिष्ट शर्तों को पूरा करना चाहिए। $T=\{1, \alpha, \beta\}$ दिए जाने पर,ऐसे सममित आव्यूहों की संख्या $4$ है।
$(R)$ विषम-सममित आव्यूह $M$ के लिए,सारणिक $|M|=0$ होता है। रैखिक समीकरण निकाय $MX=B$ संगत है और इसके अनंत हल हैं।
$(S)$ यदि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ है,तो स्तंभों का योग $0$ है,जिसका अर्थ है कि सारणिक $0$ है।

(C) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x+11}{1}=\frac{y+21}{2}=\frac{z+29}{3} = a$ और $L_2: \frac{x+16}{3}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+4}{\gamma} = b$ हैं।
$L_1$ के लिए,$x = a-11, y = 2a-21, z = 3a-29$.
$L_2$ के लिए,$x = 3b-16, y = 2b-11, z = b\gamma-4$.
प्रतिच्छेदन के लिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$a-11 = 3b-16 \Rightarrow a-3b = -5$ (समीकरण $1$)
$2a-21 = 2b-11 \Rightarrow 2a-2b = 10 \Rightarrow a-b = 5$ (समीकरण $2$)
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $a=10, b=5$.
$z$ निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर: $3(10)-29 = 5\gamma-4 \Rightarrow 1 = 5\gamma-4 \Rightarrow 5\gamma = 5 \Rightarrow \gamma = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $R_1 = (10-11, 20-21, 30-29) = (-1, -1, 1)$.
अतः,$\vec{OR_1} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1-9) + \hat{k}(2-6) = -4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}$.
इकाई अभिलंब $\hat{n} = \pm \frac{-4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{16+64+16}} = \pm \frac{-4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{96}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$.
विकल्पों के साथ मिलान करने पर,हम $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}$ लेते हैं।
$\vec{OR_1} \cdot \hat{n} = (-\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}) = \frac{-1+2+1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
इसलिए,$(P) \rightarrow (3), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (1), (S) \rightarrow (5)$.

(A) सबसे पहले,फलनों का विश्लेषण करें:
$f(x) = \begin{cases} x|x| \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$
$g(x) = \begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$g(1/2-x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq 1/2-x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases} = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
अतः,$g(x) + g(1/2-x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0, d=0$ है,तो $h(x) = g(x) + g(1/2-x)$। परिसर $\{0, 1\}$ है। यह $(5)$ से मेल खाता है।
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0, d=0$ है,तो $h(x) = f(x)$। $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है क्योंकि $\lim_{x \to 0} \frac{x|x| \sin(1/x) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} |x| \sin(1/x) = 0$। यह $(3)$ से मेल खाता है।
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1, d=0$ है,तो $h(x) = x - g(x) = \begin{cases} x - (1-2x) = 3x-1, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ x, & \text{अन्यथा} \end{cases}$। यह फलन आच्छादक है। यह $(2)$ से मेल खाता है।
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0, d=1$ है,तो $h(x) = g(x) = \begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$। परिसर $[0, 1]$ है। यह $(4)$ से मेल खाता है।
इसलिए,$(P) \to (5), (Q) \to (3), (R) \to (2), (S) \to (4)$।

(B) क्षेत्र $S$,$y^2 = 4x$,$y^2 = 12 - 2x$,और $3y + \sqrt{8}x = 5\sqrt{8}$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$y^2 = 4x$ और $y^2 = 12 - 2x$ के लिए,$4x = 12 - 2x \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$। अतः $y^2 = 8 \Rightarrow y = 2\sqrt{2}$।
क्षेत्रफल $= \int_0^2 2\sqrt{x} dx + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष } (2,0), (5,0), (2, 2\sqrt{2}) \text{ हैं।}$
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 + \frac{1}{2} \times (5-2) \times 2\sqrt{2} = 2 \times \frac{2}{3} \times 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} + 3\sqrt{2} = \frac{17\sqrt{2}}{3}$।
अतः,$\alpha\sqrt{2} = \frac{17\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{17}{3}$।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right)$ जहाँ $x \neq 0$ और $f(0) = 0$ है।
$f(x) = 0$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right) = 0$ रखते हैं।
इसका अर्थ है $x = 0$ या $\sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right) = 0$ है।
अतः,$\frac{\pi}{x^2} = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{N}$,जिससे $x^2 = \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है,या $x = \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ है।
विकल्प-$A$ की जाँच: $x \in \left[\frac{1}{10^{10}}, \infty\right)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} \leq 10^{10} \implies n \leq 10^{20}$ है। यह हलों की एक परिमित संख्या है।
विकल्प-$B$ की जाँच: $x \in \left(\frac{1}{\pi}, \infty\right)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\pi} \implies \sqrt{n} < \pi \implies n < \pi^2 \approx 9.86$ है। अतः $n \in \{1, 2, \dots, 9\}$ है। यहाँ $9$ हल हैं,इसलिए यह रिक्त नहीं है।
विकल्प-$C$ की जाँच: $x \in \left(0, \frac{1}{10^{10}}\right)$ के लिए,हमारे पास $0 < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} > 10^{10} \implies n > 10^{20}$ है। ऐसे अनंत $n$ संभव हैं,इसलिए हलों का समुच्चय अनंत है।
विकल्प-$D$ की जाँच: $x \in \left(\frac{1}{\pi^2}, \frac{1}{\pi}\right)$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\pi^2} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\pi} \implies \pi < \sqrt{n} < \pi^2 \implies \pi^2 < n < \pi^4$ है। चूँकि $\pi^2 \approx 9.86$ और $\pi^4 \approx 97.4$ है,$n$ का मान $10$ से $97$ तक हो सकता है। हलों की संख्या $97 - 10 + 1 = 88$ है,जो $25$ से अधिक है। अतः,विकल्प-$D$ $TRUE$ (सत्य) है।

(D) बिंदु $P(1,3,2)$ से गुजरने वाली और $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda+1, 2\lambda+3, \lambda+2)$ है।
चूंकि यह रेखा समतल $L_1: x-y+3z=6$ को $Q$ पर काटती है,इसलिए:
$(\lambda+1) - (2\lambda+3) + 3(\lambda+2) = 6$
$\lambda+1-2\lambda-3+3\lambda+6 = 6$
$2\lambda + 4 = 6 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$Q = (1+1, 2(1)+3, 1+2) = (2,5,3)$.
लंबाई $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (5-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$Q(2,5,3)$ से गुजरने वाली और $L_1: x-y+3z=6$ के लंबवत रेखा के दिशा अनुपात $(1, -1, 3)$ हैं।
इस रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-3}{3} = t$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(t+2, 5-t, 3t+3)$ है।
यह रेखा $L_2: 2x-y+z=-4$ को $R$ पर काटती है:
$2(t+2) - (5-t) + (3t+3) = -4$
$2t+4-5+t+3t+3 = -4$
$6t + 2 = -4 \Rightarrow 6t = -6 \Rightarrow t = -1$.
अतः,$R = (-1+2, 5-(-1), 3(-1)+3) = (1,6,0)$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$\triangle PQR$ का केंद्रक $\left(\frac{1+2+1}{3}, \frac{3+5+6}{3}, \frac{2+3+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।
परिमाप $PQ + QR + RP = \sqrt{6} + \sqrt{(1-2)^2 + (6-5)^2 + (0-3)^2} + \sqrt{(1-1)^2 + (6-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{6} + \sqrt{1+1+9} + \sqrt{0+9+4} = \sqrt{6} + \sqrt{11} + \sqrt{13}$. अतः,$(D)$ $TRUE$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$। यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि सभी $x \in Q$ के लिए $f(x)=ax$ है।
दिया गया है कि $f\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,इसलिए $a\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,जिसका अर्थ है कि $a=-20$। अतः,$f(x)=-20x$ है।
इसलिए $f\left(\frac{1}{4}\right)=-20\left(\frac{1}{4}\right)=-5$ है।
दिया गया है कि $g(x+y)=g(x)g(y)$,जो दर्शाता है कि किसी $b>0$ के लिए $g(x)=b^x$ है।
दिया गया है कि $g\left(\frac{-1}{3}\right)=2$,इसलिए $b^{-1/3}=2$,जिसका अर्थ है कि $b^{-1}=2^3=8$,इसलिए $b=\frac{1}{8}$ है।
अतः,$g(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^x=8^{-x}=2^{-3x}$ है।
इसलिए $g(-2)=2^{-3(-2)}=2^6=64$ है।
साथ ही,$g(0)=b^0=1$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\left(f\left(\frac{1}{4}\right)+g(-2)-8\right)g(0) = (-5+64-8)(1) = 51$।

(D) दिया गया है कि $N$ गेंदों के थैले में $3$ सफेद,$6$ हरी और $(N-9)$ नीली गेंदें हैं।
बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक सफेद,हरी और नीली गेंद निकालने की प्रायिकता:
$P(W_1 \cap G_2 \cap B_3) = P(W_1) \times P(G_2 \mid W_1) \times P(B_3 \mid W_1 \cap G_2)$
हमें $P(W_1 \cap G_2 \cap B_3) = \frac{2}{5N}$ और $P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{2}{9}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$P(W_1) = \frac{3}{N}$
$P(G_2 \mid W_1) = \frac{6}{N-1}$
$P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{N-9}{N-2}$
अतः,$\frac{3}{N} \times \frac{6}{N-1} \times \frac{N-9}{N-2} = \frac{2}{5N}$.
साथ ही,सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा से:
$P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{N-9}{N-2} = \frac{2}{9}$.
$N$ के लिए हल करने पर:
$9(N-9) = 2(N-2)$
$9N - 81 = 2N - 4$
$7N = 77$
$N = 11$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{e^{\pi x}(x^2 - x + 3)} (\sin x + 2)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{\pi x} > 0$ है और $x^2 - x + 3$ का विविक्तकर $D = 1 - 12 = -11 < 0$ है,इसलिए $x^2 - x + 3$ हमेशा धनात्मक है।
साथ ही,$-1 \leq \sin x \leq 1$,इसलिए $(\sin x + 2) \geq 1$,जिसका अर्थ है कि $(\sin x + 2)$ कभी शून्य नहीं होता है।
अतः,$f(x) = 0$ तभी होगा जब $x^{2023} + 2024x + 2025 = 0$ हो।
मान लीजिए $\phi(x) = x^{2023} + 2024x + 2025$.
तब $\phi'(x) = 2023x^{2022} + 2024$। चूंकि $x^{2022} \geq 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $\phi'(x) > 0$ है।
अतः,$\phi(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $\phi(x)$ सतत और निरंतर वर्धमान फलन है,यह $R$ में प्रत्येक मान को केवल एक बार धारण करता है।
इसलिए,$\phi(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक हल है।
अतः,$f(x) = 0$ के हलों की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} \times \vec{q})$.
दोनों पक्षों का $(\vec{p} \times \vec{q})$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर,हम जानते हैं कि $(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot (2 \vec{p}+\vec{q}) = 0$ और $(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot (\vec{p}-2 \vec{q}) = 0$ क्योंकि सदिश गुणनफल दोनों सदिशों के लंबवत होता है।
अतः,हमें प्राप्त होता है: $(15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = \gamma |\vec{p} \times \vec{q}|^2$.
बायां पक्ष अदिश त्रिक गुणन $[15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}, \vec{p}, \vec{q}]$ है,जो सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 15 & 10 & 6 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 15(1 - (-3)) - 10(2 - 3) + 6(-2 - 1) = 15(4) - 10(-1) + 6(-3) = 60 + 10 - 18 = 52$.
अब,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ की गणना करें।
तब $|\vec{p} \times \vec{q}|^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $52 = \gamma(26)$.
अतः,$\gamma = 2$.

(C) फलन $f(t)$ एक खंडशः रैखिक फलन है। $t \in [2n-1, 2n+1]$ के लिए,$f(t)$ वह रेखाखंड है जो $(2n-1, f(2n-1))$ और $(2n+1, f(2n+1))$ को जोड़ता है।
दिया गया है $f(2n-1) = (-1)^{n+1} 2$,इसलिए:
$f(1) = 2, f(3) = -2, f(5) = 2, f(7) = -2, f(9) = 2$.
$1 < t < 3$ के लिए,$f(t) = \frac{3-t}{2}(2) + \frac{t-1}{2}(-2) = 4-2t$.
$3 < t < 5$ के लिए,$f(t) = \frac{5-t}{2}(-2) + \frac{t-3}{2}(2) = 2t-8$.
$5 < t < 7$ के लिए,$f(t) = \frac{7-t}{2}(2) + \frac{t-5}{2}(-2) = 12-2t$.
$7 < t < 9$ के लिए,$f(t) = \frac{9-t}{2}(-2) + \frac{t-7}{2}(2) = 2t-16$.
$g(x) = \int_1^x f(t) dt$. $g(1) = 0$. $g(x) = 0$ तब होता है जब $1$ से $x$ तक का कुल क्षेत्रफल शून्य हो।
ग्राफ से,$1$ से $3$ तक का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(2)(2) + \frac{1}{2}(2)(-2) = 0$ है। इसलिए $g(3) = 0$.
$3$ से $5$ तक का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(2)(-2) + \frac{1}{2}(2)(2) = 0$ है। इसलिए $g(5) = 0$.
$5$ से $7$ तक का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(2)(2) + \frac{1}{2}(2)(-2) = 0$ है। इसलिए $g(7) = 0$.
अंतराल $(1, 8]$ में,$g(x) = 0$ का मान $x = 3, 5, 7$ पर होता है। अतः $\alpha = 3$.
$\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1} = g'(1^+) = f(1^+) = 2$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$.

(A) सबसे पहले,हम उन युग्मों $(a, b)$ की संख्या निर्धारित करते हैं जिनके लिए $a, b \in S$ और $|a-b| \geq 2$ है।
प्रत्येक $a \in S$ के लिए,संभावित $b$ मानों की संख्या है:
- यदि $a=1$,$b \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ मान)
- यदि $a=2$,$b \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=3$,$b \in \{1, 5, 6\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=4$,$b \in \{1, 2, 6\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=5$,$b \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=6$,$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ मान)
ऐसे युग्मों की कुल संख्या $4+3+3+3+3+4 = 20$ है।
चूंकि $R$ में इन $20$ युग्मों में से ठीक $6$ अवयव होने चाहिए,इसलिए $n(X) = {}^{20}C_{6}$,अतः $m = 20$ है।
$n(Y)$ के लिए,$R$ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है,जिसका अर्थ है कि $R$ में सभी $6$ युग्मों $(a, b)$ के लिए $b$ समान होना चाहिए। हालाँकि,किसी भी निश्चित $b$ के लिए,$a$ के अधिकतम $5$ मान ही ऐसे मिल सकते हैं कि $|a-b| \geq 2$ हो। अतः,$n(Y) = 0$ है।
$n(Z)$ के लिए,$R$ एक फलन है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $a \in S$ के लिए,ठीक एक $b$ ऐसा है कि $(a, b) \in R$ और $|a-b| \geq 2$ है। प्रत्येक $a$ के लिए विकल्पों की संख्या क्रमशः $4, 3, 3, 3, 3, 4$ है। अतः,$n(Z) = 4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 4 = 1296 = 36^{2}$ है।
इसलिए,$n(Y) + n(Z) = 0 + 36^{2} = 36^{2}$,अतः $|k| = 36$ है।

(B) $(1)$ मान लीजिए $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2} dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2} dx$.
मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2 - (x - \frac{\pi}{4})^2} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2 - (x - \frac{\pi}{4})^2} dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x + \cos^2 x) \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2 - (x - \frac{\pi}{4})^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$.
अतः,$I = 2I_1 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx = 0$.
$(2)$ ऊपर के अनुसार,$I_1 = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx = \frac{\pi^3}{64}$.
इसलिए,$\frac{16}{\pi^3} I_1 = \frac{16}{\pi^3} \cdot \frac{\pi^3}{64} = 0.25$.

(B) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$. तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है $\tan \alpha = \frac{3}{4}$.
माना $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. तब $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $\tan \beta = \frac{1}{2}$.
हमें $\tan(\alpha - 2\beta)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\tan(2\beta) = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ की गणना करें।
अब,सूत्र $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan 2\beta}{1 + \tan \alpha \tan 2\beta}$ का उपयोग करें।
मान रखने पर: $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{3/4 - 4/3}{1 + (3/4)(4/3)} = \frac{(9-16)/12}{1 + 1} = \frac{-7/12}{2} = -\frac{7}{24}$.