IIT JEE 2000 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $2$ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નું પરિણામી $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી શૂન્ય થવા માટે,$\vec{A} + \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} = -\vec{B}$.
આનો અર્થ એ છે કે બંને સદિશોનું મૂલ્ય સમાન $(|A| = |B|)$ હોવું જોઈએ અને તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ (તેમની વચ્ચે $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયનનો ખૂણો).
તેથી,સાચી શરત એ છે કે $2$ સદિશો મૂલ્યમાં સમાન પણ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય.

(A) ઊંચાઈએથી નીચે પડતા દડા માટે,કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ પર વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2a(s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$u = 0$ અને $a = -g$ છે,તેથી $v^2 = -2g(h - d) = 2g(d - h)$. આ સૂચવે છે કે $v = \pm \sqrt{2g(d - h)}$.
$1$. $h = d$ થી $h = 0$ સુધીની નીચેની ગતિ દરમિયાન,વેગ ઋણ (નીચેની તરફ) હોય છે અને જેમ $h$ ઘટે છે તેમ તેનું મૂલ્ય વધે છે. સંબંધ $v = -\sqrt{2g(d - h)}$ એ ધન $h$-અક્ષ તરફ ખુલતા પરવલયી વક્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
$2$. $h = 0$ પર,દડો જમીન સાથે અથડાય છે. અથડામણ પછી તરત જ,તે $d/2$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે. વેગ ધન (ઉપરની તરફ) બને છે અને તેનું મૂલ્ય $v = \sqrt{2g(d/2 - h)}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$3$. જેમ દડો $h = 0$ થી $h = d/2$ સુધી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ વેગ તેના મહત્તમ મૂલ્યથી ઘટીને $h = d/2$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે. આ પણ પરવલયી માર્ગને અનુસરે છે.
આ ભૌતિક જરૂરિયાતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ નીચેની ગતિ (ઋણ વેગ) અને ત્યારબાદની ઉપરની ગતિ (ધન વેગ) ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) ધારો કે મણકો $t$ સમય પછી સરકવાનું શરૂ કરે છે.
મણકો સરકે તે માટે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
ભ્રમણ કરતી ફ્રેમમાં મણકા પર લાગતા બળો કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = m\omega^2 L$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ) અને સ્પર્શકીય બળ $F_t = m a_t = m \alpha L$ (સળિયાને લંબ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણતા,લંબબળ $N$ એ સળિયા દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા પ્રવેગ પર આધારિત છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,તર્ક એ છે કે $m\omega^2 L = \mu m \alpha L$,જે સૂચવે છે કે $\omega^2 = \mu \alpha$.
કારણ કે $\omega = \alpha t$,આપણને $(\alpha t)^2 = \mu \alpha$ મળે છે,તેથી $t^2 = \mu / \alpha$,અથવા $t = \sqrt{\mu / \alpha}$.

(A) $-10^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી બરફને ગરમ કરવાની પ્રક્રિયામાં ઘણા તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવું: જેમ ગરમી આપવામાં આવે છે તેમ તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. $0^{\circ}C$ પર બરફનું પીગળવું: જ્યારે અવસ્થા ઘનમાંથી પ્રવાહીમાં બદલાય છે (ગલનગુપ્ત ઉષ્મા), ત્યારે તાપમાન $0^{\circ}C$ પર અચળ રહે છે.
$3$. પાણીને $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવું: જેમ ગરમી આપવામાં આવે છે તેમ તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે.
$4$. $100^{\circ}C$ પર પાણીનું ઉકળવું: જ્યારે અવસ્થા પ્રવાહીમાંથી વાયુમાં બદલાય છે (બાષ્પીભવન ગુપ્ત ઉષ્મા), ત્યારે તાપમાન $100^{\circ}C$ પર અચળ રહે છે.
તેથી, ગરમ કરવાના વક્રમાં બે રેખીય વધતા વિભાગો હોવા જોઈએ જે એક આડા વિભાગ (પીગળવું) દ્વારા અલગ પડે છે અને ત્યારબાદ બીજો આડો વિભાગ (ઉકળવું) આવે છે. વિકલ્પ $A$ આ ક્રમને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,ચાર્લ્સનો નિયમ જણાવે છે કે $V / T = \text{અચળ}.$
જ્યારે તાપમાન $T$ થી બદલાઈને $T + \Delta T$ થાય છે,ત્યારે કદ $V$ થી બદલાઈને $V + \Delta V$ થાય છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{V + \Delta V}{T + \Delta T} = \frac{V}{T}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$T(V + \Delta V) = V(T + \Delta T)$
$VT + T \Delta V = VT + V \Delta T$
બંને બાજુથી $VT$ બાદ કરતા:
$T \Delta V = V \Delta T$
$\delta$ માટેનું પદ મેળવવા માટે ગોઠવતા:
$\delta = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{1}{T}$
આમ,$\delta = 1/T$ હોવાથી,રાશિ $\delta$ એ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. આ સંબંધ લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે. તેથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
સિલિન્ડરમાં વાયુનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ મળે છે.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે ત્રણ તાપમાન માટે $\lambda_m$ ના મૂલ્યો જોઈ શકીએ છીએ:
$(\lambda_m)_1 < (\lambda_m)_3 < (\lambda_m)_2$.
જેમ કે $\lambda_m$ એ $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી નાની $\lambda_m$ એ ઊંચા તાપમાનને અનુરૂપ છે.
તેથી,તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 > T_3 > T_2$ છે.

(A) વાહન ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર $a = g\sin \alpha$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
વાહનના ફ્રેમમાં,લોલકના ગોળા પર ઉપરની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma = mg\sin \alpha$ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $\vec{g}$ અને વાહનના પ્રવેગના વિરોધી સદિશ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોને વિભાજિત કરતા,ઢળતા સમતલને લંબ $g$ નો ઘટક $g\cos \alpha$ છે અને ઢળતા સમતલને સમાંતર $g$ નો ઘટક $g\sin \alpha$ છે. સ્યુડો બળ $g\sin \alpha$ ઘટકને રદ કરે છે.
આમ,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g\cos \alpha$ થાય છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\cos \alpha}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ મોનોએટોમિક હોવાથી,તેમની એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ સમાન રહેશે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર છે,તેથી ધ્વનિની ઝડપ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,વાયુ $1$ માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_1)$ અને વાયુ $2$ માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_2)$ નો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ થશે.

(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu = \pi r^2 \rho$ (જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે),તેથી આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ થાય.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે,તેથી $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ સમાન હોવાથી,$n \propto \frac{1}{lr}$ મળે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2 r_2}{l_1 r_1}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $l_1 = L$,$l_2 = 2L$,$r_1 = 2r$,અને $r_2 = r$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{2L \times r}{L \times 2r} = \frac{2Lr}{2Lr} = 1$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$v_s = 34 \ m/s$:
$f_1 = f \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f \left( \frac{340}{306} \right)$
બીજા કિસ્સા માટે,$v_s = 17 \ m/s$:
$f_2 = f \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f \left( \frac{340}{323} \right)$
હવે,ગુણોત્તર $f_1/f_2$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f \left( \frac{340}{306} \right)}{f \left( \frac{340}{323} \right)} = \frac{323}{306}$
અંશ અને છેદ બંનેને $17$ વડે ભાગતા:
$\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$
આમ,ગુણોત્તર $f_1/f_2$ એ $19/18$ છે.

(C) બ્લોકને પલટી ખવડાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે તે ધાર (pivot point $P$) ની આસપાસ ટોર્ક ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાંથી તે પલટી ખાવાનું શરૂ કરશે.
પલટી ખાવાની નિર્ણાયક સ્થિતિમાં,લંબબળ $N$ એ ધાર $P$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $P$ ની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_{mg} = mg \times (L/2)$ છે.
બિંદુ $P$ ની આસપાસ લાગુ પાડેલા આડા બળ $F$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_{F} = F \times L$ છે.
બ્લોક પલટી ખાય તે માટે,લાગુ પાડેલા બળને કારણે લાગતું ટોર્ક એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$\tau_{F} > \tau_{mg}$
$F \times L > mg \times (L/2)$
$F > mg/2$
આમ,બ્લોકને પલટી ખવડાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F = mg/2$ છે.

(D) તારનું કુલ દળ $M = \rho L$ છે. લૂપનો પરિઘ $L = 2\pi R$ હોવાથી,લૂપની ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક $XX'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ અને $d = R$ છે.
તેથી,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$M = \rho L$ અને $R = \frac{L}{2\pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}\rho L \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$.

(B) $1$. આ તંત્ર ત્રિકોણ અને બે મણકાનું બનેલું છે. શિરોલંબ અક્ષ $AO$ ને અનુલક્ષીને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. જેમ મણકા નીચે સરકે છે,તેમ મણકાની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા ગતિજ ઉર્જામાં (સ્થાનાંતરીય અને ભ્રમણીય બંને) રૂપાંતરિત થાય છે. ઘર્ષણ ન હોવાથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિજ + સ્થિતિ) સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. જેમ મણકા અક્ષથી દૂર જાય છે,તેમ અક્ષ $AO$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે. $L = I\omega$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
$4$. તેથી,કુલ કોણીય વેગમાન અને કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(A) કદનો પ્રવાહ દર (પ્રતિ સેકન્ડ પાણીનો જથ્થો) $Q = A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ચોરસ છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_1 = L^2$ અને ઊંડાઈ $h_1 = y$. તેથી,$v_1 = \sqrt{2gy}$.
પ્રવાહ દર $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$.
ગોળાકાર છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2$ અને ઊંડાઈ $h_2 = 4y$. તેથી,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$.
પ્રવાહ દર $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$.
આપેલ છે કે $Q_1 = Q_2$,તેથી:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$.
બંને બાજુથી $\sqrt{2gy}$ ને દૂર કરતા,આપણને $L^2 = 2\pi R^2$ મળે છે.
તેથી,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$ થાય છે.

(B) આ કેપેસિટરને ત્રણ કેપેસિટરના સંયોજન તરીકે જોઈ શકાય છે. ઉપરનો અડધો ભાગ $A/2$ ક્ષેત્રફળ અને $d/2$ અંતર ધરાવતા બે સમાંતર કેપેસિટરનો બનેલો છે,જેમના કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d}$ અને $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d}$ છે.
આ બંને સમાંતર હોવાથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{12} = C_1 + C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d} (k_1 + k_2)$ થાય.
નીચેનો અડધો ભાગ $A$ ક્ષેત્રફળ અને $d/2$ અંતર ધરાવતું કેપેસિટર છે,જેનું કેપેસિટન્સ $C_3 = \frac{k_3 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2k_3 \epsilon_0 A}{d}$ છે.
$C_{12}$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C$ માટે $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C} = \frac{d}{\epsilon_0 A (k_1 + k_2)} + \frac{d}{2k_3 \epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left( \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3} \right)$.
એક જ ડાયઇલેક્ટ્રિક $k$ માટે,$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$,તેથી $\frac{1}{C} = \frac{d}{k \epsilon_0 A}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3}$ મળે છે.

(C) કોઈપણ પ્રવાહધારિત સીધા વાહકની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
કિસ્સો $1$: પ્રવાહ $I$ એ $PQ$ અને $QR$ માંથી વહે છે. બિંદુ $M$ એ $QR$ ના લંબાવેલા ભાગ પર આવેલું છે. તેથી,$QR$ ને કારણે $M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. $M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_1$ ફક્ત $PQ$ વિભાગને કારણે છે. ધારો કે $M$ થી $PQ$ નું લંબ અંતર $d$ છે. અર્ધ-અનંત વાયરને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ છે.
કિસ્સો $2$: $PQ$ માં પ્રવાહ $I$ છે,$QR$ માં $I/2$ છે,અને $QS$ માં $I/2$ છે. બિંદુ $M$ એ $QR$ ના લંબાવેલા ભાગ પર છે,તેથી $QR$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર હજુ પણ શૂન્ય છે. $M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર હવે $H_2 = H_{PQ} + H_{QS}$ છે.
$PQ$ માં પ્રવાહ બદલાતો નથી,તેથી $H_{PQ} = H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$.
$QS$ વાહક $PQ$ ને લંબ છે. $QS$ માંથી વહેતા $I/2$ પ્રવાહને કારણે $M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_{QS} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$ થાય.
આમ,$H_2 = H_1 + \frac{1}{2} H_1 = \frac{3}{2} H_1$.
ગુણોત્તર $H_1/H_2 = H_1 / (\frac{3}{2} H_1) = 2/3 \approx 0.67$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $+x$ દિશામાં છે. ધન આયનો $+x$ દિશામાં વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ અનુભવે છે,જ્યારે ઋણ આયનો $-x$ દિશામાં વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
પરિણામે,ધન આયનો $+x$ દિશામાં વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે અને ઋણ આયનો $-x$ દિશામાં વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $+z$ દિશામાં છે.
વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન આયનો માટે: $\vec{F}_m = (+q)(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -qvB\hat{j}$,જે $-y$ દિશામાં છે.
ઋણ આયનો માટે: $\vec{F}_m = (-q)(-v\hat{i} \times B\hat{k}) = (-q)(-vB(-\hat{j})) = -qvB\hat{j}$,જે પણ $-y$ દિશામાં છે.
આમ,બંને પ્રકારના આયનો $-y$ દિશામાં વિચલિત થાય છે.

(B) જો પ્રવાહ કાગળમાંથી બહારની તરફ વહેતો હોય,તો તારની જમણી બાજુના બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ અને ડાબી બાજુએ નીચેની તરફ હશે. ધારો કે તાર $A$ અને $B$ પર છે,અને મધ્યબિંદુ $C$ છે. $C$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે $A$ અને $B$ ના ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$B$ ની જમણી બાજુના વિસ્તારમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ $(+ve)$ છે કારણ કે બધા બિંદુઓ બંને તારની જમણી બાજુએ છે. તેવી જ રીતે,$A$ ની ડાબી બાજુના વિસ્તારમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેની તરફ $(-ve)$ છે.
$AC$ વિસ્તારમાં,બિંદુઓ $B$ કરતા $A$ ની નજીક છે,તેથી $A$ ને કારણે ક્ષેત્ર પ્રભાવી છે અને તે ઉપરની તરફ $(+ve)$ છે.
$BC$ વિસ્તારમાં,બિંદુઓ $A$ કરતા $B$ ની નજીક છે,તેથી $B$ ને કારણે ક્ષેત્ર પ્રભાવી છે અને તે નીચેની તરફ $(-ve)$ છે.
આલેખ $(b)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતા આ ફેરફારોને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બે ચુંબકો એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે બિંદુ $P$ દરેક ચુંબકના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે છે.
પ્રથમ ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે. આ ચુંબકને કારણે $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ છે.
બીજા ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે. આ ચુંબકને કારણે $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ છે.
ચુંબકોની અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ છે.
$P$ પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}\right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{5}M}{d^3}$.

(B) વર્તુળાકાર વિસ્તારની બહાર $(r > a)$ આવેલા બિંદુ $P$ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમનો સંકલિત સ્વરૂપમાં ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતો $r$ ત્રિજ્યાનો એક સમકેન્દ્રી વર્તુળાકાર માર્ગ ધ્યાનમાં લો. સંમિતિને કારણે,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય આ માર્ગ પર અચળ રહે છે અને $\vec{E}$ વર્તુળને સ્પર્શક છે.
આમ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$.
આ વર્તુળાકાર માર્ગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ ફક્ત $a$ ત્રિજ્યાના વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે: $\phi_B = B(t) \cdot (\pi a^2)$.
ફેરાડેનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right|$
$E(2\pi r) = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$
$E = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$
અહીં $a$ અને $\frac{dB}{dt}$ અચળ હોવાથી,આપણને $E \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
તેથી,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{1}{r}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.

(D) ધારો કે $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ અચળાંકો છે.
$RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_1(t) = k_1(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળાની અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t)$ એ પ્રવાહ $I_1(t)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $B(t) = k_2 I_1(t) = k_2 k_1(1 - e^{-t/\tau})$.
રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2(t)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં છે,જે $dB(t)/dt$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$I_2(t) = k_3 \frac{dB(t)}{dt} = k_4 e^{-t/\tau}$.
તેથી,ગુણાકાર $I_2(t) B(t) = k_5 (1 - e^{-t/\tau}) e^{-t/\tau} = k_5 (e^{-t/\tau} - e^{-2t/\tau})$.
$t = 0$ સમયે,$I_2(t) B(t) = 0$ થાય છે. જેમ $t \to \infty$,તેમ $I_2(t) B(t) \to 0$ થાય છે. કારણ કે $t > 0$ માટે આ ગુણાકાર ધન છે,તેથી તે ચોક્કસપણે મહત્તમ મૂલ્યમાંથી પસાર થશે.

(D) સતત $X$-રે સ્પેક્ટ્રમની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min} = \frac{hc}{E}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring{A}$ લેતા,$\lambda_{\min} = \frac{12375}{80 \times 10^3} \approx 0.155 \ \mathring{A}$ મળે છે.
આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $(80 \ keV)$ એ $K$-શેલના ઇલેક્ટ્રોનની આયનીકરણ ઉર્જા $(72.5 \ keV)$ કરતા વધારે હોવાથી,આપાત ઇલેક્ટ્રોન પાસે ટંગસ્ટન પરમાણુમાંથી $K$-શેલના ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે પૂરતી ઉર્જા છે.
જ્યારે $K$-શેલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળે છે,ત્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરના ઇલેક્ટ્રોન તે ખાલી જગ્યા ભરવા માટે સંક્રમણ કરે છે,જેના પરિણામે લાક્ષણિક $X$-કિરણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોમાં સતત સ્પેક્ટ્રમ (બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ) અને ટંગસ્ટનનો લાક્ષણિક $X$-રે સ્પેક્ટ્રમ બંનેનો સમાવેશ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કુલ ઊર્જા $E_n$,સ્થિતિ ઊર્જા $U_n$,અને ગતિ ઊર્જા $K_n$ નીચે મુજબ છે:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$U_n = 2E_n = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K_n = |E_n| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n > 1)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે $n$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
જેમ $n$ ઘટે છે,તેમ $K_n$ વધે છે કારણ કે તે $1/n^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
ચૂક કે $E_n$ અને $U_n$ ઋણ છે અને જેમ $n$ ઘટે છે તેમ તેમના મૂલ્યો વધુ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ ઘટે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જા વધે છે,જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા ઘટે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n$ માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{Rhc}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા $E_n$ એ ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા કણના દળના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(E_n \propto m)$,અને નવા કણનું દળ $m' = 2m_e$ હોવાથી,આ કાલ્પનિક પરમાણુ માટે ઉર્જા સ્તરો $E'_n = -\frac{2Rhc}{n^2}$ થશે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતો ફોટોન ન્યૂનતમ ઉર્જાના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n = 3$ થી $n = 2$ વચ્ચે થાય છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E'_3 - E'_2 = -\frac{2Rhc}{3^2} - (-\frac{2Rhc}{2^2}) = 2Rhc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\Delta E = 2Rhc \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5Rhc}{18}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,તેથી $\frac{hc}{\lambda} = \frac{5Rhc}{18}$.
આમ,$\lambda = \frac{18}{5R}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $t = 0$ સમયે બંને તત્વો માટે રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્વ $X_1$ માટે,જેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = 10\lambda$ છે,પરમાણુઓની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-10\lambda t}$ છે.
તત્વ $X_2$ માટે,જેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda_2 = \lambda$ છે,પરમાણુઓની સંખ્યા $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ છે.
$N_1$ અને $N_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9\lambda t} = e^{-1}$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$-9\lambda t = -1$
$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(B) ધારો કે હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_0 = -13.6 Z^2 \ eV$ છે. $k$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_k = \frac{E_0}{k^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પરમાણુ $2n$ અવસ્થામાં છે અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(k=1)$ પર આવવા માટે $204 \ eV$ નો મહત્તમ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે:
$E_{2n} - E_1 = 204 \ eV$
$\frac{E_0}{(2n)^2} - E_0 = 204 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1}{4n^2} - 1 \right) = 204 \ eV$ --- $(i)$
આપેલ છે કે પરમાણુ $2n$ અવસ્થામાંથી $n$ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે $40.8 \ eV$ નો ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે:
$E_{2n} - E_n = 40.8 \ eV$
$\frac{E_0}{4n^2} - \frac{E_0}{n^2} = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1 - 4}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_0 \left( \frac{1 - 4n^2}{4n^2} \right)}{E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right)} = \frac{204}{40.8}$
$\frac{1 - 4n^2}{-3} = 5$
$1 - 4n^2 = -15$
$4n^2 = 16$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(C) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વસ્તુના કેન્દ્રબિંદુની સહેજ બહાર મૂકવામાં આવેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
આ પ્રતિબિંબને મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
પ્રકાશના કિરણો વાસ્તવમાં આ પ્રતિબિંબ બનાવવા માટે એકત્રિત થાય છે,તેથી તે વાસ્તવિક છે.
કારણ કે વસ્તુ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના કેન્દ્રબિંદુની બહાર મૂકવામાં આવે છે,તેથી રચાતું પ્રતિબિંબ વસ્તુની સાપેક્ષમાં ઉલટું અને મોટું હોય છે.
તેથી,મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું હોય છે.

(B) ધારો કે બે અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $h = 0.2 \ m$ છે અને અરીસાઓની લંબાઈ $L = 2\sqrt{3} \ m$ છે.
આપાતકોણ $i = 30^\circ$ છે.
જ્યારે કિરણ બે સમાંતર અરીસાઓ વચ્ચે પરાવર્તન પામે છે,ત્યારે બે ક્રમિક પરાવર્તનો વચ્ચે કિરણ દ્વારા કપાતું આડું અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = h \tan(i) = 0.2 \tan(30^\circ) = 0.2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \ m$.
કિરણ બહાર નીકળે તે પહેલાં તેના દ્વારા કપાતું કુલ આડું અંતર $L = 2\sqrt{3} \ m$ છે.
પરાવર્તનોની સંખ્યા $n$ એ કુલ લંબાઈ અને પ્રતિ પરાવર્તન આડા અંતરના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{L}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{0.2 / \sqrt{3}} = \frac{2 \times 3}{0.2} = \frac{6}{0.2} = 30$.
આમ,પરાવર્તનોની મહત્તમ સંખ્યા $30$ છે.

(A) કિરણ ફક્ત $CD$ સપાટીમાંથી બહાર આવે તે માટે,તેણે $AD$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવવું જોઈએ.
સપાટી $AB$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_2 \sin \alpha_{max} = n_1 \sin r_1 \implies \alpha_{max} = \sin^{-1} \left( \frac{n_1}{n_2} \sin r_1 \right) \dots (i)$
સપાટી $AD$ પર,આપાતકોણ $r_2$ છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{n_2}{n_1}$.
સપાટી $AD$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$r_1 + r_2 = 90^\circ$,તેથી $r_1 = 90^\circ - r_2$.
કિરણ $CD$ સુધી પહોંચે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $r_2 = C = \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$ લઈએ છીએ.
આમ,$r_1 = 90^\circ - \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \sin \left( 90^\circ - \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$
નિત્યસમ $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \cos \left( \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$.

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમાંતર સપાટીઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે નિર્ગમન કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર હોય છે.
આ ઘટનાને પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર (lateral displacement) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપાત કિરણો $\alpha$ ખૂણે અપસારી હોવાથી,અને દરેક કિરણ લંબની સાપેક્ષમાં તેની દિશા બદલ્યા વિના સમાન પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર અનુભવે છે,તેથી નિર્ગમન કિરણો પણ સમાન $\alpha$ ખૂણે અપસારી થશે.
તેથી,નિર્ગમન કિરણપુંજનો અપસરણ કોણ $\alpha$ જ રહેશે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં $n_L$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $n_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,પદ $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ ઋણ હોય છે.
લેન્સ પ્રકાશનું અપસરણ કરે તે માટે,તેણે અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોવી જોઈએ.
કારણ કે $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) < 0$,તેથી $f$ ઋણ હોવા માટે પદ $\left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right)$ ધન હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{n_L}{n_m} > 1$,અથવા $n_L > n_m$.
વિકલ્પ $(d)$ માં,લેન્સને પ્રવાહી $L_2$ (વક્રીભવનાંક $n_2$) વડે ભરવામાં આવે છે અને પ્રવાહી $L_1$ (વક્રીભવનાંક $n_1$) માં ડૂબાડવામાં આવે છે. કારણ કે $n_2 > n_1$,તેથી $n_L > n_m$ ની શરત સંતોષાય છે,અને લેન્સ પ્રકાશનું અપસરણ કરશે.

(A) સમાન સ્લિટ પહોળાઈ ધરાવતા પ્રમાણભૂત યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં, બંને સ્લિટમાંથી આવતા તરંગોના કંપવિસ્તાર સમાન હોય છે, ધારો કે $a$. મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} \propto (a - a)^2 = 0$ હોય છે.
જ્યારે એક સ્લિટની પહોળાઈ બીજી કરતા બમણી કરવામાં આવે, ત્યારે તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા વધે છે। તીવ્રતા $I \propto \text{પહોળાઈ}$ હોવાથી, જો પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ હોય, તો બીજી સ્લિટની પહોળાઈ $2w$ થાય. કંપવિસ્તારનો સંબંધ $A_2 = \sqrt{2} A_1$ છે. જો $A_1 = a$ લઈએ, તો $A_2 = a\sqrt{2}$ થાય.
નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I'_{max} \propto (a + a\sqrt{2})^2 = a^2(1 + \sqrt{2})^2 \approx 5.83a^2$ થાય, જે $4a^2$ કરતા વધારે છે.
નવી ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I'_{min} \propto (a\sqrt{2} - a)^2 = a^2(\sqrt{2} - 1)^2 \approx 0.17a^2$ થાય, જે $0$ કરતા વધારે છે.
આમ, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંનેની તીવ્રતા વધે છે.

(B) પદ $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^{-1}T^{-2}]$ છે.

(C) ધારો કે અરીસો $y$-અક્ષ પર $y = -d/2$ થી $y = d/2$ સુધી મૂકવામાં આવ્યો છે. સ્ત્રોત $S$ એ $(L, 0)$ પર છે. સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ $S'$ એ $(-L, 0)$ પર રચાય છે.
માણસ $x = 2L$ રેખા પર ચાલે છે. પ્રતિબિંબ $S'$ માંથી આવતા કિરણો જે માણસ સુધી પહોંચે છે તે અરીસાની ધારમાંથી પસાર થવા જોઈએ.
અરીસાની ઉપરની ધાર $(0, d/2)$ અને નીચેની ધાર $(0, -d/2)$ માંથી પસાર થતા $S'$ ના કિરણો દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર નક્કી કરે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,અરીસાથી $x = 2L$ અંતરે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની ઊંચાઈ $h$ એ અંતરોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબિંબ $S'$ થી અરીસા સુધીનું અંતર $L$ છે,અને પ્રતિબિંબ $S'$ થી માણસ સુધીનું અંતર $L + 2L = 3L$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણ દ્વારા,દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની પહોળાઈ $h$ એ $\frac{h}{d} = \frac{3L}{L} = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$h = 3d$.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અલગ-અલગ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે,જોડીઓ $(Q, +q)$,$(+q, +q)$ અને $(Q, +q)$ છે,જેમના અંતર અનુક્રમે $l$,$l$ અને $\sqrt{2}l$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} + \frac{kQq}{\sqrt{2}l} = 0$
$k/l$ વડે ભાગતા ($k \neq 0$ અને $l \neq 0$ ધારીને):
$Qq + q^2 + \frac{Qq}{\sqrt{2}} = 0$
$Qq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Qq(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Q = -q^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}+1)}$
$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
તેથી,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
આ ગુણોત્તરને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે અને તે માત્ર કણના વિદ્યુતભાર '$q$' અને દળ '$m$' પર આધાર રાખે છે.