IIT JEE 2000 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{3}4 \cdot \log _{4}5 \cdot \log _{5}6 \cdot \log _{6}7 \cdot \log _{7}8 \cdot \log _{8}9$
$= \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7} \cdot \frac{\log 9}{\log 8}$
$= \frac{\log 9}{\log 3}$
$= \log _{3}9 = \log _{3}(3^{2}) = 2 \cdot \log _{3}3 = 2 \cdot 1 = 2$.

(A) આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}| = |{z_3}| = 1$.
$|{z_i}| = 1$ હોવાથી,$|{z_i}|^2 = {z_i} \overline{z_i} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $i = 1, 2, 3$ માટે $\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$.
આપેલ છે કે $\left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} \right| = 1$.
$\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$ મૂકતા,આપણને $|\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}| = 1$ મળે છે.
અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાના ગુણધર્મ $|\overline{z}| = |z|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\overline{z_1 + z_2 + z_3}| = |z_1 + z_2 + z_3| = 1$ મળે છે.
તેથી,$|{z_1} + {z_2} + {z_3}| = 1$.

(D) અનંત $G.P.$ માટે,સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 4$ અને બીજું પદ $ar = \frac{3}{4}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a = 4(1-r)$.
$a$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $4(1-r)r = \frac{3}{4}$.
$r(1-r) = \frac{3}{16} \implies r - r^2 = \frac{3}{16} \implies 16r^2 - 16r + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4r - 3)(4r - 1) = 0$.
આથી $r = \frac{3}{4}$ અથવા $r = \frac{1}{4}$ મળે.
જો $r = \frac{1}{4}$ હોય,તો $a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
જો $r = \frac{3}{4}$ હોય,તો $a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$.
શક્ય જોડીઓ $(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ અને $(1, \frac{3}{4})$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $a + b + c + d = 2$. ધારો કે $x = a + b$ અને $y = c + d$. તેથી $x + y = 2$ અને $M = xy$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$,જેનો અર્થ છે કે $1 \ge \sqrt{M}$,અથવા $M \le 1$.
કારણ કે $a, b, c, d$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,$x > 0$ અને $y > 0$,તેથી $M = xy > 0$.
આમ,સંબંધ $0 < M \le 1$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx + c = 0$ છે,જ્યાં $c < 0 < b$.
વિવેચક $D = b^2 - 4c$. અહીં $b^2 > 0$ અને $c < 0$ હોવાથી $-4c > 0$ થાય,તેથી $D > 0$. આમ,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -b$. $b > 0$ હોવાથી $\alpha + \beta < 0$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = c$. $c < 0$ હોવાથી $\alpha \beta < 0$.
ગુણાકાર $\alpha \beta < 0$ હોવાથી,એક બીજ ધન અને બીજું ઋણ છે.
સરવાળો $\alpha + \beta < 0$ હોવાથી,ઋણ બીજનું માન (absolute value) ધન બીજ કરતા મોટું છે.
$\alpha < \beta$ આપેલ હોવાથી,$\alpha$ એ ઋણ બીજ છે અને $\beta$ એ ધન બીજ છે.
તેથી,$|\alpha| > \beta$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha < 0 < \beta < |\alpha|$.

(D) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - b) - 1 = 0$.
$f(a) = (a - a)(a - b) - 1 = -1 < 0$.
$f(b) = (b - a)(b - b) - 1 = -1 < 0$.
$f(x)$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય હોવાથી,અને $f(a) < 0$ તથા $f(b) < 0$ હોવાથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલતો હોવાથી અને $f(a) < 0$ તથા $f(b) < 0$ હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને $a$ થી નાની કિંમત અને $b$ થી મોટી કિંમત પર છેદશે.
આમ,એક બીજ $(-\infty, a)$ માં અને બીજું બીજ $(b, +\infty)$ માં છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
$3x^2 + px + 3 = 0$ માટે બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -p/3$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = 3/3 = 1$
$\alpha^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha$ ની શક્ય કિંમતો $1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો $\alpha + \alpha^2 = 1 + 1 = 2$,તેથી $2 = -p/3 \implies p = -6$. પરંતુ આપણને $p > 0$ આપેલ છે,તેથી આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
જો $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$ હોય,તો $\alpha + \alpha^2 = \omega + \omega^2 = -1$.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 = -p/3 \implies p = 3$.
આમ,$p = 3$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ છે.
આપણે $2\binom{n}{r-1}$ ને $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,પદાવલિ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ બને છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}) + (\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}) = \binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1}$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1} = \binom{n+2}{r}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $223355888$ છે. અંકો $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$ છે.
કુલ $9$ અંકો છે. સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે.
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે,જે કુલ $4$ છે.
આપેલ સંખ્યામાં એકી અંકો $3, 3, 5, 5$ છે.
આ $4$ એકી અંકો $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે. ગોઠવણીની રીતો $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ છે.
બાકીના $5$ અંકો $2, 2, 8, 8, 8$ છે,જે $5$ એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7, 9)$ પર ગોઠવવાના છે.
ગોઠવણીની રીતો $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ છે.
તેથી,કુલ રીતો $6 \times 10 = 60$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = \pi,$ તેથી $A + C = \pi - B.$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{A - B + C}{2} = \frac{(A + C) - B}{2} = \frac{(\pi - B) - B}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B.$
આમ,$2ac \sin \left( \frac{\pi}{2} - B \right) = 2ac \cos B.$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
તેથી,$2ac \cos B = 2ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) = a^2 + c^2 - b^2.$

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle C = \frac{\pi}{2}$ છે,કર્ણ $c = AB$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણના અડધા જેટલી હોય છે,તેથી $R = \frac{c}{2}.$
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta = \frac{1}{2}ab$ અને $s = \frac{a + b + c}{2}$ છે.
તેથી,$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a + b + c)} = \frac{ab}{a + b + c}.$
હવે,$r + R = \frac{ab}{a + b + c} + \frac{c}{2} = \frac{2ab + c(a + b + c)}{2(a + b + c)}.$
કારણ કે $c^2 = a^2 + b^2,$ તેથી $2ab + c(a + b + c) = 2ab + ca + cb + c^2 = 2ab + ca + cb + a^2 + b^2 = (a + b)^2 + c(a + b) = (a + b)(a + b + c).$
તેથી,$r + R = \frac{(a + b)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b}{2}.$
આમ,$2(r + R) = a + b.$

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$Q$ ના યામ $(3, 4)$ અને $R$ ના યામ $(-4, 3)$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$ છે.
$OR$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OQ$ અને $OR$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,કેન્દ્રિય ખૂણો $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle QOR = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(D) મધ્યગા $PS$ એ શિરોબિંદુ $P(2, 2)$ ને બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $S$ સાથે જોડે છે.
$S = \left( \frac{6 + 7}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, 1 \right)$.
$PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1 - 2}{\frac{13}{2} - 2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
માંગેલ રેખા $PS$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $-\frac{2}{9}$ થશે.
$(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = 12x$ છે,જે ${y^2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ છે.
પરવલય ${y^2} = 4ax$ માટે બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
$a = 3$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 6t + 3t^3$ મળે છે.
આને આપેલ અભિલંબ $x + y = k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $tx + y = 6t + 3t^3$ અને $x + y = k$ મળે છે.
આ બંને એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{t}{1} = \frac{1}{1} = \frac{6t + 3t^3}{k}$.
$\frac{t}{1} = 1$ પરથી,આપણને $t = 1$ મળે છે.
$t = 1$ ને ગુણોત્તર $\frac{1}{1} = \frac{6(1) + 3(1)^3}{k}$ માં મૂકતા,$1 = \frac{6 + 3}{k}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 9$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} - kx + 8 = 0$ છે,જેને ${y^2} = k(x - 8/k)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ ${Y^2} = 4AX$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $Y = y$,$X = x - 8/k$,અને $4A = k$,તેથી $A = k/4$.
પરવલય ${Y^2} = 4AX$ ની નિયામિકા $X + A = 0$ છે.
$X$ અને $A$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 8/k) + k/4 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x = 8/k - k/4$ થાય છે.
આપણને આપેલ છે કે નિયામિકા $x - 1 = 0$ છે,એટલે કે $x = 1$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$8/k - k/4 = 1$ મળે છે.
$4k$ વડે ગુણતા,$32 - k^2 = 4k$,અથવા ${k^2} + 4k - 32 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(k + 8)(k - 4) = 0$ મળે છે.
આમ,$k$ ની કિંમતો $k = -8$ અથવા $k = 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta)$.
નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = \sin \theta (4\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta (1 - \sin^2 \theta)$
કારણ કે $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$,તેથી:
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$f(\theta) = (2 \sin \theta \cos \theta)^2$
$f(\theta) = (\sin 2\theta)^2$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $(\sin 2\theta)^2 \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $\theta$ માટે.
તેથી,$f(\theta) \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $\theta$ માટે.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{a}{x})^x} = e^a$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 2}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 2 - 5}}{{x + 2}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{5}{{x + 2}}} \right)^x}$.
પદાવલિને આ રીતે લખતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 - \frac{5}{{x + 2}}} \right)}^{\frac{{x + 2}}{{-5}}}}} \right]^{\frac{-5x}{x + 2}}}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{5}{{x + 2}}} \right)^{\frac{x + 2}{-5}}} = e$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{-5x}{x + 2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{-5}{1 + \frac{2}{x}} = -5$.
તેથી લક્ષ $e^{-5}$ મળે છે.

(D) મધ્યગા $PS$ એ શિરોબિંદુ $P(2,2)$ ને બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $S$ સાથે જોડે છે.
$S$ ના યામ $\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ છે.
$PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
જરૂરી રેખા $PS$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $m = -\frac{2}{9}$ થશે.
$(1,-1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(C) આપેલ છે $\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,આપણને મળે $\left| \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$,એટલે કે ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
હવે,સંકર સંખ્યાનો કોણાંક $\text{amp}\left( \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} \right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બાજુઓ $z_1 - z_3$ અને $z_2 - z_3$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને થાંભલાનો પાયો $P$ છે. બગીચાના ખૂણાઓ $A, B,$ અને $C$ છે.
આપેલ છે કે દરેક ખૂણેથી થાંભલાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ સમાન છે.
થાંભલા અને પાયા $P$ થી દરેક ખૂણા સુધીના અંતર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(\theta) = \frac{h}{PA} = \frac{h}{PB} = \frac{h}{PC}$ મળે છે.
જેથી $PA = PB = PC$ થાય છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુને ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કહેવાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $arg(-z) = arg(-1 \times z)$.
$arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $arg(-z) = arg(-1) + arg(z)$ મળે છે.
કારણ કે $arg(-1) = \pi$,તેથી $arg(-z) = \pi + arg(z)$.
આમ,$arg(-z) - arg(z) = (\pi + arg(z)) - arg(z) = \pi$.

(A) બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબછેદી હોય જો અને માત્ર જો $2(g_{1}g_{2}+f_{1}f_{2})=c_{1}+c_{2}$ હોય.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$
વર્તુળ $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$
શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$2((1)(0) + (k)(k)) = 6 + k$
$2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2k^{2} - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k-2) + 3(k-2) = 0$
$(k-2)(2k+3) = 0$
આમ,$k = 2$ અથવા $k = -\frac{3}{2}$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે શૂન્યતર (અનંત) ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta = 0$.
આપેલ સમીકરણો:
$x - ky - z = 0$
$kx - y - z = 0$
$x + y - z = 0$
નિશ્ચાયક $\Delta$ આ મુજબ છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -k & -1 \\ k & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (-1)(1)) - (-k)((k)(-1) - (-1)(1)) + (-1)((k)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(1 + 1) + k(-k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$2 - k^2 + k - k - 1 = 0$
$1 - k^2 = 0$
$k^2 = 1$
$k = \pm 1$
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $1$ અને $-1$ છે.

(B) $\Delta ABC$ માં,બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $BC = a$,$CA = b$,અને $AB = c$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,ત્રિકોણની પરિમિતિ પરના સદિશોનો ક્રમમાં સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $a + b + c = 0$.
બંને બાજુ $a$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $a \times (a + b + c) = a \times 0 \implies a \times a + a \times b + a \times c = 0$.
$a \times a = 0$ હોવાથી,આપણને $a \times b = c \times a$ મળે છે (કારણ કે $a \times c = -c \times a$).
તે જ રીતે,$b$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $b \times (a + b + c) = b \times 0 \implies b \times a + b \times b + b \times c = 0$.
$b \times b = 0$ હોવાથી,આપણને $b \times a + b \times c = 0 \implies b \times c = a \times b$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $a \times b = b \times c = c \times a$ મળે છે.

(A) ત્રણ સદિશો $a, b,$ અને $c$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય,તો તેઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમના દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શૂન્ય હોય છે.
અદિશ ત્રિગુણક એ સમાંતરફલકનું ઘનફળ દર્શાવતું હોવાથી,કોઈપણ સમતલીય સદિશો માટે $[a, b, c] = 0$ થાય છે.
તેથી,જો $a, b,$ અને $c$ એકમ સમતલીય સદિશો હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $0$ થાય છે.

(A) સદિશો $a$ અને $b$ દ્વારા બનતા સમતલ $P_1$ ને લંબ સદિશ $n_1 = a \times b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો $c$ અને $d$ દ્વારા બનતા સમતલ $P_2$ ને લંબ સદિશ $n_2 = c \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ સૂચવે છે કે સદિશ $n_1$ એ સદિશ $n_2$ ને સમાંતર છે (એટલે કે $n_1 \parallel n_2$).
જેহেতু સમતલોના લંબ સદિશો સમાંતર છે,તેથી સમતલો $P_1$ અને $P_2$ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^o$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2^x + 2^y = 2$ છે.
આપણે તેને $2^y = 2 - 2^x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$y$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે,$2^y$ ની કિંમત $0$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,$2 - 2^x > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 > 2^x$.
અહીં આધાર $2 > 1$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે ઘાતાંકો $1 > x$ નું પાલન કરે.
આમ,$x$ નો પ્રદેશ $( - \infty , 1)$ છે.

(D) વિધાન $S$: અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં,$\sin x$ એ $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે,અને $\cos x$ એ $0$ થી $-1$ સુધી ઘટે છે. તેથી,બંને વિધેયો આ અંતરાલમાં ઘટતા વિધેયો છે. આમ,વિધાન $S$ સાચું છે.
વિધાન $R$: જો વિધેય $f(x)$ એ $(a, b)$ માં ઘટતું હોય,તો તેનો અર્થ એ થાય કે $f'(x) \le 0$. તેનો અર્થ એવો નથી કે $f'(x)$ પોતે ઘટતું વિધેય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$(-1, 1)$ પર $f(x) = -x^3$ લો. અહીં $f'(x) = -3x^2$,જે $(-1, 1)$ પર ઘટતું વિધેય નથી. આપેલી આકૃતિ પણ એક કિસ્સો દર્શાવે છે જ્યાં વિધેય ઘટે છે,પરંતુ તેનો ઢાળ (વિકલિત) વધે છે. તેથી,વિધાન $R$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: $S$ સાચું છે અને $R$ ખોટું છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે વિધેય $f(x) = x - \log_e(1 + x)$,જ્યાં $x \in (0, 1)$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{1 + x - 1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ મળે છે.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય છે,જે દર્શાવે છે કે $f(x)$ એ $(0, 1)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.
$f(0) = 0 - \log_e(1) = 0$ હોવાથી અને $f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$x > 0$ માટે $f(x) > f(0)$ થાય.
તેથી,$x - \log_e(1 + x) > 0$,એટલે કે $\log_e(1 + x) < x$ બધા $x \in (0, 1)$ માટે સાચું છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log_e x}{x} \right| dx$.
કારણ કે $x \in [e^{-1}, 1)$ માટે $\log_e x < 0$ અને $x \in [1, e^2]$ માટે $\log_e x \ge 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$I = \int_{e^{-1}}^{1} -\frac{\log_e x}{x} dx + \int_{1}^{e^2} \frac{\log_e x}{x} dx$.
ધારો કે $z = \log_e x$,તો $dz = \frac{1}{x} dx$.
જ્યારે $x = e^{-1}, z = -1$. જ્યારે $x = 1, z = 0$. જ્યારે $x = e^2, z = 2$.
$I = \int_{-1}^{0} -z dz + \int_{0}^{2} z dz$.
$I = \left[ -\frac{z^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{2}$.
$I = (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(C) આપણને વિધેય $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \\ 2, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ આપેલ છે.
આપણે સંકલન $I = \int_{-2}^{3} f(x) dx$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
આપણે સંકલનને $x = 2$ આગળ વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \int_{-2}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx$.
અંતરાલ $[-2, 2]$ માટે,$f(x) = e^{\cos x}\sin x$ છે. ધારો કે $g(x) = e^{\cos x}\sin x$. તો $g(-x) = e^{\cos(-x)}\sin(-x) = e^{\cos x}(-\sin x) = -g(x)$. આમ,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $g(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} g(x) dx = 0$ થાય. તેથી,$\int_{-2}^{2} e^{\cos x}\sin x dx = 0$.
અંતરાલ $(2, 3]$ માટે,$f(x) = 2$ છે. તેથી,$\int_{2}^{3} 2 dx = [2x]_{2}^{3} = 2(3 - 2) = 2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$I = 0 + 2 = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $g(2) = \int_0^2 f(t) \, dt = \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt$.
$t \in [0, 1]$ માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{2} \le f(t) \le 1$ છે. આનું $[0, 1]$ પર સંકલન કરતા:
$\int_0^1 \frac{1}{2} \, dt \le \int_0^1 f(t) \, dt \le \int_0^1 1 \, dt$
$\frac{1}{2} \le \int_0^1 f(t) \, dt \le 1 \quad \dots (i)$
$t \in (1, 2]$ માટે,આપણી પાસે $0 \le f(t) \le \frac{1}{2}$ છે. આનું $(1, 2]$ પર સંકલન કરતા:
$\int_1^2 0 \, dt \le \int_1^2 f(t) \, dt \le \int_1^2 \frac{1}{2} \, dt$
$0 \le \int_1^2 f(t) \, dt \le \frac{1}{2} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{2} + 0 \le \int_0^1 f(t) \, dt + \int_1^2 f(t) \, dt \le 1 + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \le g(2) \le \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{1}{2} \le g(2) \le \frac{3}{2}$ હોવાથી,$g(2)$ ની કિંમત $[0, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે. તેથી,$0 \le g(2) < 2$ એ સાચી અસમતા છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^2} + {y^2} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}({x^2} + {y^2}) = \frac{d}{dx}(1)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y y' = 0$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y') = 0$
$1 + (y \cdot y'' + y' \cdot y') = 0$
$1 + y y'' + (y')^2 = 0$
આમ,સંબંધ $yy'' + (y')^2 + 1 = 0$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.
$1$. $g(x) = |f(x)| \ge 0$ દરેક $x \in R$ માટે. $g$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ નો ઉપગણ હોવાથી,જો સહપ્રદેશ $R$ હોય તો $g$ વ્યાપ્ત ન હોઈ શકે.
$2$. જો $f(x)$ એક-એક હોય,તો $g(x)$ એક-એક હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $f(x) = x$ હોય,તો $f$ એક-એક છે,પરંતુ $g(x) = |x|$ એક-એક નથી કારણ કે $g(1) = g(-1) = 1$.
$3$. જો $f(x)$ સતત હોય,તો $g(x) = |f(x)|$ પણ સતત હોય છે. આ સતત વિધેયોનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: સતત વિધેય $f(x)$ અને સતત વિધેય $h(u) = |u|$ નું સંયોજન સતત હોય છે.
$4$. જો $f(x)$ વિકલનીય હોય,તો $g(x) = |f(x)|$ વિકલનીય હોય તે જરૂરી નથી. આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જો $f(x)$ એ $x$-અક્ષને કોઈ બિંદુ $P$ પર છેદે (જ્યાં $f(P) = 0$),તો $g(x) = |f(x)|$ ને $P$ પર એક તીક્ષ્ણ ખૂણો મળશે,જે તેને તે બિંદુએ વિકલનીય રહેવા દેતું નથી.

(A) વિધેય $f(x) = |x|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in [-2, 0) \cup (0, 2]$ અને $f(0) = 1$ છે.
$x = 0$ ની આસપાસના કોઈપણ નાના અંતરાલ $(0 - h, 0 + h)$ માટે (જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની સંખ્યા છે),આપણી પાસે છે:
$f(0) = 1$
આ અંતરાલમાં $x \neq 0$ માટે,$f(x) = |x|$ છે. કારણ કે $x$ એ $0$ ની ખૂબ નજીક છે,તેથી $|x| < 1$ થાય.
આમ,$0$ ના પડોશમાં તમામ $x$ માટે $f(x) < f(0)$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમતની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $a$ ના કોઈ પડોશમાં તમામ $x$ માટે $f(x) \le f(a)$ હોય,તો $f$ ને $x = a$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત હોય છે.
કારણ કે $x \in (-h, h) \setminus \{0\}$ માટે $f(x) < f(0)$ છે,તેથી વિધેય $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = \frac{d}{dx} \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx = {e^x}(x - 1)(x - 2)$.
વિધેય $f$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,${e^x}(x - 1)(x - 2) < 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે ${e^x} > 0$ હોય છે,તેથી અસમતા $(x - 1)(x - 2) < 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $(x - 1)(x - 2)$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા,ગુણાકાર તેના બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
આમ,$f$ એ $(1, 2)$ અંતરાલમાં ઘટે છે.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના કોઈ બિંદુ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ એ વિધેયના વિકલિત સાથે $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે.
બિંદુ $(3,4)$ આગળ,$m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ થાય.
અભિલંબના ઢાળ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$
$f^{\prime}(3) = 1$.