IIT JEE 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है कि $x^2+20x-2020=0$ के मूल $a, b$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$a+b = -20$ और $ab = -2020$ है।
दिया गया है कि $x^2-20x+2020=0$ के मूल $c, d$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$c+d = 20$ और $cd = 2020$ है।
हमें $E = ac(a-c)+ad(a-d)+bc(b-c)+bd(b-d)$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $E = a^2c - ac^2 + a^2d - ad^2 + b^2c - bc^2 + b^2d - bd^2$.
पदों को समूहित करने पर: $E = a^2(c+d) + b^2(c+d) - c^2(a+b) - d^2(a+b)$.
$E = (c+d)(a^2+b^2) - (a+b)(c^2+d^2)$.
$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ और $c^2+d^2 = (c+d)^2 - 2cd$ का उपयोग करने पर:
$a^2+b^2 = (-20)^2 - 2(-2020) = 400 + 4040 = 4440$.
$c^2+d^2 = (20)^2 - 2(2020) = 400 - 4040 = -3640$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = (20)(4440) - (-20)(-3640)$.
$E = 88800 - 72800 = 16000$.

(A) परवलय $y^2 = 4 \lambda x$ है। नाभिलंब का अंतिम बिंदु $P(\lambda, 2 \lambda)$ है।
परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 1$ प्राप्त होती है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{b^2}{2a^2}$ प्राप्त होती है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{\lambda^2}{a^2} + \frac{4 \lambda^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{b^2}{a^2} = 2$ रखने पर,$a^2 = 3 \lambda^2$ और $b^2 = 6 \lambda^2$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) दिया गया है $|z^2+z+1|=1$.
इसे हम $|(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिभुज असमिका $|a+b| \leq |a| + |b|$ का उपयोग करते हुए,$1 = |(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| \leq |z+\frac{1}{2}|^2 + \frac{3}{4}$,जो दर्शाता है कि $|z+\frac{1}{2}|^2 \geq \frac{1}{4}$,इसलिए $|z+\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{2}$। अतः,$(C)$ सत्य है।
साथ ही,$|z^2+z| = |(z^2+z+1)-1| \leq |z^2+z+1| + |-1| = 1+1 = 2$।
चूंकि $|z^2+z| = |z||z+1| \leq 2$,बड़े $|z|$ के लिए,$|z|^2 \approx |z^2+z| \leq 2$,इसलिए $|z| \leq 2$। अतः,$(B)$ सत्य है।
चूंकि समीकरण $|z^2+z+1|=1$ सम्मिश्र तल में एक वक्र को दर्शाता है,समुच्चय $S$ अनंत है,इसलिए $(D)$ असत्य है।
अतः,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।

(B) दिया गया है $\tan \frac{X}{2} + \tan \frac{Z}{2} = \frac{2y}{x+y+z}$।
सूत्र $\tan \frac{X}{2} = \frac{\Delta}{S(S-x)}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S = \frac{x+y+z}{2}$ और $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta}{S(S-x)} + \frac{\Delta}{S(S-z)} = \frac{2y}{2S} = \frac{y}{S}$
$\frac{\Delta}{S} \left( \frac{S-z + S-x}{(S-x)(S-z)} \right) = \frac{y}{S}$
$\Delta \left( \frac{2S - (x+z)}{(S-x)(S-z)} \right) = y$
चूँकि $2S = x+y+z$,इसलिए $2S - (x+z) = y$।
$\Delta \left( \frac{y}{(S-x)(S-z)} \right) = y \implies \Delta = (S-x)(S-z)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\Delta^2 = (S-x)^2(S-z)^2$
$S(S-x)(S-y)(S-z) = (S-x)^2(S-z)^2$
$S(S-y) = (S-x)(S-z)$
$S = \frac{x+y+z}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = x^2 + z^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle Y = 90^\circ$।
चूँकि $X+Y+Z = 180^\circ$,$X+Z = 90^\circ$,इसलिए $Y = X+Z$। अतः $(B)$ सत्य है।
साथ ही,$Y$ पर समकोण वाले त्रिभुज के लिए,$\tan \frac{X}{2} = \sqrt{\frac{(S-y)(S-z)}{S(S-x)}} = \frac{x}{y+z}$। अतः $(C)$ भी सत्य है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(B) $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3}} = \sqrt[3]{3^{y_1+y_2+y_3}}$.
चूंकि $y_1+y_2+y_3=9$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^9} = 3^3 = 27$ है।
अतः,$3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3} \geq 81 = 3^4$ है।
दोनों पक्षों का $\log_3$ लेने पर,$\log_3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}) \geq 4$,इसलिए $m=4$ है।
$M$ के लिए,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$ है।
चूंकि $x_1+x_2+x_3=9$ दिया गया है,हमारे पास $3 \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$ है,इसलिए $x_1 x_2 x_3 \leq 27$ है।
तब $\log_3(x_1 x_2 x_3) = \log_3 x_1 + \log_3 x_2 + \log_3 x_3 \leq \log_3(27) = 3$,इसलिए $M=3$ है।
अंत में,$\log_2(m^3) + \log_3(M^2) = \log_2(4^3) + \log_3(3^2) = \log_2(64) + 2 = 6 + 2 = 8$ है।

(A) समांतर श्रेणी का योग $S_n = n(c + n - 1)$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $T_n = c(2^n - 1)$ है।
दिए गए समीकरण $2(S_n) = T_n$ में मान रखने पर: $2n(c + n - 1) = c(2^n - 1)$.
$c = \frac{2n^2 - 2n}{2^n - 2n - 1}$.
$n=3$ के लिए $c=12$ प्राप्त होता है।
अन्य किसी $n$ के लिए $c$ धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
अतः,$c$ के संभावित मानों की संख्या $1$ है।

(B) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.
हम जानते हैं कि $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$.
$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\frac{1}{x} \ln(1-x) = -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots$
अतः,$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots} = e^{-1} \cdot e^{-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots}$.
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} \left( 1 + (-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} - \dots)^2}{2} + \dots \right) = e^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots \right)$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots) - e^{-1}}{x^a} = e^{-1} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} - \dots}{x^a}$.
सीमा के शून्येतर वास्तविक संख्या होने के लिए,अंश में $x$ की घात को हर $x^a$ के साथ मेल खाना चाहिए। अतः,$a = 1$.

(D) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दिया गया समीकरण $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ है।
चूंकि $|z|^2 = z\bar{z}$, इसलिए $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $z^4 - z^2\bar{z}^2 = 4iz^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $z^2(z^2 - \bar{z}^2) = 4iz^2$ है।
स्थिति $1$: $z^2 = 0 \Rightarrow z = 0$ है। हालाँकि, $z = 0$ शर्त $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ या $\operatorname{Re}(z_2) < 0$ को संतुष्ट नहीं करता है।
स्थिति $2$: $z^2 - \bar{z}^2 = 4i$ है।
चूंकि $z = x + iy$ है, इसलिए $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ और $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$ है।
अतः, $z^2 - \bar{z}^2 = (x^2 - y^2 + 2ixy) - (x^2 - y^2 - 2ixy) = 4ixy$ है।
इसे $4i$ के बराबर रखने पर, हमें $4ixy = 4i$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $xy = 1$ हो जाता है।
हमें $|z_1 - z_2|^2$ को न्यूनतम करना है जहाँ $z_1 = x_1 + iy_1$ के साथ $x_1 > 0$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ के साथ $x_2 < 0$ है।
चूंकि $xy = 1$ है, इसलिए $y = 1/x$ है। अतः $z = x + i/x$ है।
$|z_1 - z_2|^2 = |(x_1 - x_2) + i(1/x_1 - 1/x_2)|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})^2 = (x_1 - x_2)^2 (1 + \frac{1}{x_1^2x_2^2})$ है।
मान लीजिए $x_1 = a > 0$ और $x_2 = -b$ जहाँ $b > 0$ है। तो $x_1x_2 = -ab$ है।
$|z_1 - z_2|^2 = (a + b)^2 (1 + \frac{1}{a^2b^2})$ है।
$AM-GM$ असमिका के अनुसार, $(a + b)^2 \ge 4ab$ है। साथ ही $1 + \frac{1}{a^2b^2} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a^2b^2}} = \frac{2}{ab}$ है।
इसलिए $|z_1 - z_2|^2 \ge 4ab \cdot \frac{2}{ab} = 8$ है।

(B) मान लीजिए $\triangle OPQ$ के परिवृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है।
चूँकि $O(0, 0)$ त्रिभुज का एक शीर्ष है,परिवृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
जीवा $PQ$ का समीकरण $2x + 4y = 5$ है।
रेखा $OC$,$PQ$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्यबिंदु $OC$ पर स्थित है।
$PQ$ की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
अतः $OC$ की ढाल $2$ है।
रेखा $OC$ मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = 2x$ है।
केंद्र $C(h, k)$,$y = 2x$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h$ है।
साथ ही,$C(h, k)$ रेखा $x + 2y = 4$ पर स्थित है।
$k = 2h$ को $x + 2y = 4$ में रखने पर,$h + 2(2h) = 4 \Rightarrow 5h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 2(\frac{4}{5}) = \frac{8}{5}$,यानी $C = (\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ है।
चूँकि $C$,$\triangle OPQ$ का परिकेंद्र है,$CO = CP = CQ = r_{circum}$ है।
$CO^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{8}{5})^2 = \frac{16+64}{25} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5}$ है।
$C(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ से रेखा $2x + 4y - 5 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2(\frac{4}{5}) + 4(\frac{8}{5}) - 5|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$ है।
$\triangle CPQ$ में,$CP^2 = d^2 + PM^2$ है। $PM^2 = r^2 - OM^2$ है।
$OM = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{20}}$ है।
$PM^2 = r^2 - \frac{25}{20} = r^2 - \frac{5}{4}$ है।
$CP^2 = \frac{9}{20} + r^2 - \frac{5}{4} = r^2 - \frac{16}{20} = r^2 - \frac{4}{5}$ है।
$\frac{16}{5} = r^2 - \frac{4}{5} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$ है।

(C) माना दी गई सीमा $L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{4 \sqrt{2}(\sin 3x + \sin x)}{\left(2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{5x}{2}\right) - \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2x + \cos \frac{3x}{2}\right)}$ है।
सर्वसमिका $\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cos x$ का उपयोग करने पर,अंश $8 \sqrt{2} \sin 2x \cos x = 16 \sqrt{2} \sin x \cos^2 x$ हो जाता है।
हर के लिए,हम $\cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = -2 \sin 2x \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2x = 2 \sqrt{2} \cos^2 x$ का उपयोग करते हैं।
हर का सरलीकरण $2 \sin 2x (\sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2}) - 2 \sqrt{2} \cos^2 x$ होता है।
$\sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 2 \cos x \sin \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हर $2 \cos^2 x (4 \sin x \sin \frac{x}{2} - \sqrt{2})$ हो जाता है।
अतः,$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \sin x}{4 \sin x \sin \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 8$.

(A, D) $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसका ढाल $-1$ है। अतः,$P$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $1$ है।
स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $1$ है,इसलिए इसका समीकरण $y - 0 = 1(x - 1)$,या $x - y = 1$ है।
$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है। इसे $x - y = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{x_1}{a^2} = 1$ और $\frac{y_1}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x_1 = a^2$ और $y_1 = b^2$ है।
चूंकि $P(a^2, b^2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{(a^2)^2}{a^2} - \frac{(b^2)^2}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $a^2 - b^2 = 1$ हो जाता है।
$P(a^2, b^2)$ पर अभिलंब का ढाल $-1$ है,इसलिए इसका समीकरण $y - b^2 = -1(x - a^2)$,या $x + y = a^2 + b^2$ है।
अभिलंब का $x$-अंतःखंड $x = a^2 + b^2$ है। स्पर्श रेखा $x - y = 1$ का $x$-अंतःखंड $x = 1$ है।
त्रिभुज स्पर्श रेखा,अभिलंब और $x$-अक्ष द्वारा बनता है। आधार $x$-अंतःखंडों के बीच की दूरी है: $(a^2 + b^2) - 1 = (a^2 - 1) + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$। ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $b^2$ है।
अतः,$\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2b^2) \times b^2 = b^4$। इसलिए $(D)$ सत्य है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{a^2 - 1}{a^2} = 2 - \frac{1}{a^2}$।
चूंकि $a > 1$,$0 < \frac{1}{a^2} < 1$,इसलिए $1 < 2 - \frac{1}{a^2} < 2$,जिसका अर्थ है कि $1 < e^2 < 2$,इसलिए $1 < e < \sqrt{2}$। अतः $(A)$ सत्य है।

(A) दिया गया है $f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$.
सर्वसमिका $\binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i} = \binom{n+p}{p} \binom{n+i}{i}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f(m, n, p) = \binom{n+p}{p} \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{i} = \binom{n+p}{p} \binom{m+n}{p}$.
अतः,$\frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}} = \binom{m+n}{p}$.
इस प्रकार $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \binom{m+n}{p} = 2^{m+n}$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $g(m, n) = 2^{m+n}$ और $g(n, m) = 2^{n+m}$,इसलिए $g(m, n) = g(n, m)$ $TRUE$ है।
$(B)$ $g(m, n+1) = 2^{m+n+1}$ और $g(m+1, n) = 2^{m+1+n}$,इसलिए $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ $TRUE$ है।
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n}$ और $2g(m, n) = 2 \cdot 2^{m+n} = 2^{m+n+1}$,इसलिए $g(2m, 2n) \neq 2g(m, n)$.
$(D)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n} = (2^{m+n})^2 = (g(m, n))^2$,इसलिए $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ $TRUE$ है।
अतः,सही कथन $A, B, D$ हैं।

(B) $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो लगातार न हों,सूत्र $^{n-r+1}C_r$ है।
यहाँ,$n = 15$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{15-4+1}C_4 = ^{12}C_4$ है।
मान की गणना:
$^{12}C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$।

(C) माना चार कमरों में व्यक्तियों की संख्या $n_1, n_2, n_3, n_4$ है। चूंकि प्रत्येक कमरे में कम से कम $1$ और अधिक से अधिक $2$ व्यक्ति हैं,और कुल व्यक्तियों की संख्या $6$ है,इसलिए $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 6$ जहाँ $1 \le n_i \le 2$.
इसका अर्थ है कि दो कमरों में $2$ व्यक्ति और दो कमरों में $1$ व्यक्ति होने चाहिए (क्योंकि $2+2+1+1 = 6$).
$6$ अलग-अलग व्यक्तियों को इन समूहों में वितरित करने के तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!2!1!1!}$ है।
चूंकि कमरे अलग-अलग हैं,हमें इन समूह आकारों को $4$ कमरों में असाइन करने के तरीकों की संख्या से गुणा करना होगा,जो $\frac{4!}{2!2!} = 6$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!2!1!1!} \times 6 = \frac{720}{4} \times 6 = 180 \times 6 = 1080$ है।

(B) प्रक्षेप पथ $y = \frac{x^2}{2}$ दिया गया है।
$t=0$ पर,कण $(0, 0)$ पर $v = 1 \text{ m/s}$ की गति से है।
$y = \frac{x^2}{2}$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_y = x v_x$।
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$a_y = v_x^2 + x a_x$ प्राप्त होता है।
$(A)$ यदि $a_x = 1 \text{ m/s}^2$ और कण मूल बिंदु $(x=0)$ पर है,तो $a_y = v_x^2 + (0)(1) = v_x^2$। गति $1 \text{ m/s}$ होने के कारण और मूल बिंदु पर $v_y = x v_x = 0$ होने के कारण,$v_x = 1 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है। अतः,$a_y = 1^2 = 1 \text{ m/s}^2$। यह सही है।
$(B)$ यदि $a_x = 0$,तो $v_x$ स्थिर रहता है। $v_x(0) = 1 \text{ m/s}$ होने के कारण,प्रत्येक $t$ के लिए $v_x = 1 \text{ m/s}$। अतः $a_y = v_x^2 + x a_x = 1^2 + x(0) = 1 \text{ m/s}^2$। यह सही है।
$(C)$ $t=0$ पर,$x=0$। $v_y = x v_x$ होने के कारण,$v_y = 0 \cdot v_x = 0$। अतः वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + 0 \hat{j}$ है,जो $x$-दिशा में है। यह सही है।
$(D)$ यदि $a_x = 0$,तो $v_x = 1 \text{ m/s}$ और $a_x = 0$। $a_y = v_x^2 + x a_x$ से,$a_y = 1^2 + 0 = 1 \text{ m/s}^2$। $a_y$ स्थिर होने के कारण,$v_y = a_y t = 1 \cdot t = t$। $t=1 \text{ s}$ पर,$v_y = 1 \text{ m/s}$। $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{1}{1} = 1$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$। यह सही है।
अतः,सभी कथन $(A), (B), (C), (D)$ सही हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = |x|(x - \sin x)$।
चूंकि $f(-x) = |-x|(-x - \sin(-x)) = |x|(-x + \sin x) = -|x|(x - \sin x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 - x \sin x$। $x < 0$ के लिए,$f(x) = -x^2 + x \sin x$।
जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) = x^2(1 - \frac{\sin x}{x}) \rightarrow \infty$। जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$। चूंकि $f$ सतत है,इसलिए इसका परिसर $R$ है,अतः $f$ आच्छादक है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 2x - \sin x - x \cos x = x(1 - \cos x) + (x - \sin x)$। चूंकि $x > 0$ के लिए $x > \sin x$ और $1 - \cos x \geq 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = -2x + \sin x + x \cos x = -[2x - \sin x - x \cos x] > 0$ (विषम फलन की सममिति द्वारा)।
चूंकि सभी $x \neq 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है और $f$ सतत है,इसलिए $f$ पर $R$ निरंतर वर्धमान फलन है।
अतः,$f$ एकैकी है।
इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(A) दिया गया है $f(x) = e^{x-1} - e^{-|x-1|}$ और $g(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$।
$x \leq 1$ के लिए,$|x-1| = 1-x$,अतः $f(x) = e^{x-1} - e^{x-1} = 0$।
$x \geq 1$ के लिए,$|x-1| = x-1$,अतः $f(x) = e^{x-1} - e^{1-x}$।
$x \geq 1$ के लिए $f(x)$ और $g(x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$e^{x-1} - e^{1-x} = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$
$2e^{x-1} - 2e^{1-x} = e^{x-1} + e^{1-x}$
$e^{x-1} = 3e^{1-x} \Rightarrow e^{2(x-1)} = 3 \Rightarrow 2(x-1) = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{2}\ln 3 = 1 + \ln \sqrt{3}$।
प्रथम चतुर्थांश में $y=f(x)$,$y=g(x)$ और $x=0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ है:
$A = \int_0^1 (g(x) - 0) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^1 \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) - (e^{x-1} - e^{1-x})) dx$
$A = \frac{1}{2}[e^{x-1} - e^{1-x}]_0^1 + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}) dx$
$A = \frac{1}{2}[(e^0 - e^0) - (e^{-1} - e^1)] + [-\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}]_1^{1+\ln \sqrt{3}}$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [(-\frac{3}{2}e^{-\ln \sqrt{3}} - \frac{1}{2}e^{\ln \sqrt{3}}) - (-\frac{3}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{2}(\sqrt{3}) + 2]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2] = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2}(e - e^{-1})$।

(B) $C_1$ के लिए,$P(H) = \frac{2}{3}$। चितों की संख्या $\alpha$ द्विपद वितरण $B(2, \frac{2}{3})$ का पालन करती है।
$P(\alpha = 0) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$P(\alpha = 1) = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\alpha = 2) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$C_2$ के लिए,$P(H) = \frac{1}{3}$। चितों की संख्या $\beta$ द्विपद वितरण $B(2, \frac{1}{3})$ का पालन करती है।
$P(\beta = 0) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 1) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$x^2 - \alpha x + \beta = 0$ के मूल वास्तविक और समान होंगे यदि विविक्तकर $D = \alpha^2 - 4\beta = 0$ हो,अर्थात $\alpha^2 = 4\beta$।
इस शर्त को पूरा करने वाले संभावित जोड़े $(\alpha, \beta)$ $(0, 0)$ और $(2, 1)$ हैं।
प्रायिकता $= P(\alpha=0)P(\beta=0) + P(\alpha=2)P(\beta=1)$
$= (\frac{1}{9} \times \frac{4}{9}) + (\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}) = \frac{4}{81} + \frac{16}{81} = \frac{20}{81}$।

(C) मान लीजिए कि आयत रेखा $x = \frac{\pi}{4}$ के सापेक्ष सममित है। मान लीजिए कि आयत की चौड़ाई $2\alpha$ है,जहाँ ऊर्ध्वाधर भुजाओं के $x$-निर्देशांक $\frac{\pi}{4} - \alpha$ और $\frac{\pi}{4} + \alpha$ हैं।
आयत की ऊँचाई $y = 2 \sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = 2 \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = 2 \cos(2\alpha)$ है।
आयत का परिमाप $P = 2(\text{चौड़ाई} + \text{ऊँचाई}) = 2(2\alpha + 2 \cos(2\alpha)) = 4(\alpha + \cos(2\alpha))$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम परिमाप ज्ञात करने के लिए,हम $\alpha$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{d\alpha} = 4(1 - 2 \sin(2\alpha)) = 0$.
इससे $\sin(2\alpha) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $2\alpha = \frac{\pi}{6}$ (चूँकि $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$),जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(2\alpha)$. $\alpha = \frac{\pi}{12}$ पर,$\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -4\sqrt{3} < 0$,इसलिए परिमाप $\alpha = \frac{\pi}{12}$ पर अधिकतम है।
इस आयत का क्षेत्रफल $\text{क्षेत्रफल} = \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = (2\alpha) \times (2 \cos(2\alpha)) = 2(\frac{\pi}{12}) \times 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x - x^2 + (x - 1) \sin x = -(x - 1)^2 + (x - 1) \sin x = (x - 1) [-(x - 1) + \sin x]$.
ध्यान दें कि $f(1) = 0$ है।
साथ ही,$f'(x) = 1 - 2x + \sin x + (x - 1) \cos x$ है। अतः,$f'(1) = 1 - 2 + \sin 1 + 0 = \sin 1 - 1$ है।
मान लीजिए $h(x) = (fg)(x) = f(x)g(x)$ है।
$x=1$ पर अवकलनीयता के लिए,हम $h'(1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1+k)g(1+k) - f(1)g(1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{f(1+k)g(1+k)}{k}$ की जाँच करते हैं।
चूंकि $f(1+k) = k(-k + \sin(1+k))$ है,सीमा $\lim_{k \to 0} \frac{k(-k + \sin(1+k))g(1+k)}{k} = \lim_{k \to 0} (-k + \sin(1+k))g(1+k) = \sin(1) \cdot g(1)$ हो जाती है।
यदि $g$,$x=1$ पर सतत है,तो $g(1+k) \to g(1)$,इसलिए सीमा का अस्तित्व है। अतः,$(A)$ सत्य है।
यदि $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो यह सतत भी है,इसलिए $(C)$ सत्य है।
यदि $fg$ अवकलनीय है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $g$ सतत या अवकलनीय है। अतः,$(B)$ और $(D)$ असत्य हैं।
इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(A) दिया गया है कि $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$.
हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M) = (\operatorname{det} M)^{3-2} M = (\operatorname{det} M) M$.
अतः,$M^{-1} = (\operatorname{det} M) M$.
दोनों पक्षों को $M$ से गुणा करने पर,$M^{-1} M = (\operatorname{det} M) M^2$,जिसका अर्थ है $I = (\operatorname{det} M) M^2$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$\operatorname{det}(I) = \operatorname{det}((\operatorname{det} M) M^2)$.
$1 = (\operatorname{det} M)^3 \cdot (\operatorname{det} M)^2 = (\operatorname{det} M)^5$.
चूंकि $M$ की प्रविष्टियाँ वास्तविक हैं,$\operatorname{det} M = 1$.
$\operatorname{det} M = 1$ को $I = (\operatorname{det} M) M^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = M^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M^2 = I$,इसलिए $(\operatorname{adj} M)^2 = \operatorname{adj}(M^2) = \operatorname{adj}(I) = I$.
अतः,कथन $B, C,$ और $D$ हमेशा सत्य हैं।

(D) $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0, 1)$ है।
चूंकि रेखा $L$,$(1, 0, 1)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{1-\alpha}{l} = \frac{0-1}{m} = \frac{1-\gamma}{-2}$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक की दिशा $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होती है।
अतः $l=1$ और $m=1$ प्राप्त होता है,जिससे $l+m=2$ होता है।
इन मानों को रखने पर $\alpha=2$ और $\gamma=-1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha-\gamma=3$ होता है।

(C) टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$x \in [0, 1]$ के लिए $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$ है।
$\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \int_0^1 x(1 - \frac{x^2}{2}) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \int_0^1 x(x - \frac{x^3}{6}) \, dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ चूँकि $x \in (0, 1]$ के लिए $\cos x < 1$ है,इसलिए $\int_0^1 x^2 \cos x \, dx < \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$। चूँकि $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$,इसलिए $(C)$ $FALSE$ है।
$(D)$ $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \int_0^1 x^2(x - \frac{x^3}{6}) \, dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{36}]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{36} = \frac{9-1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$. अतः,$(D)$ $TRUE$ है।
अतः,सही विकल्प $(A), (B), (D)$ हैं।

(B) माना $\theta = \pi x - \frac{\pi}{4}$। चूंकि $x \in [0, 2]$,$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$।
तब $2\pi x = 2\theta + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin(2\pi x) = \cos(2\theta)$।
साथ ही $3\pi x + \frac{\pi}{4} = 3(\theta + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3\theta + \pi$,इसलिए $\sin(3\pi x + \frac{\pi}{4}) = \sin(3\theta + \pi) = -\sin(3\theta)$।
असमिका $f(x) \geq 0$ का रूप $(3 - \cos(2\theta)) \sin \theta - (-\sin(3\theta)) \geq 0$ हो जाता है।
$(3 - (1 - 2\sin^2 \theta)) \sin \theta + \sin(3\theta) \geq 0$।
$(2 + 2\sin^2 \theta) \sin \theta + (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) \geq 0$।
$2\sin \theta + 2\sin^3 \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \geq 0$।
$5\sin \theta - 2\sin^3 \theta \geq 0 \Rightarrow \sin \theta (5 - 2\sin^2 \theta) \geq 0$।
चूंकि सभी $\theta$ के लिए $5 - 2\sin^2 \theta > 0$,इसलिए $\sin \theta \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta \in [0, \pi]$।
$0 \leq \pi x - \frac{\pi}{4} \leq \pi$ $\Rightarrow \frac{\pi}{4} \leq \pi x \leq \frac{5\pi}{4}$ $\Rightarrow x \in [\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$।
इसलिए,$\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{5}{4}$,अतः $\beta - \alpha = 1$।

(C) त्रिभुज $PQR$ में,हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
चूंकि $\vec{a} = \vec{QR}$,$\vec{b} = \vec{RP}$,और $\vec{c} = \vec{PQ}$,इसलिए $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ है।
दिए गए व्यंजक में $\vec{c}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\vec{a} \cdot (-(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{b})}{(-(\vec{a} + \vec{b})) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$
$\frac{\vec{a} \cdot (-\vec{a} - 2\vec{b})}{-(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{3}{3 + 4}$
$\frac{-|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(\vec{a}^2 - \vec{b}^2)} = \frac{3}{7}$
यहाँ $|\vec{a}| = 3$ और $|\vec{b}| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9$ और $|\vec{b}|^2 = 16$ है।
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(9 - 16)} = \frac{3}{7}$
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{7} = \frac{3}{7}$
$-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$
अब,सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (9)(16) - (-6)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 144 - 36 = 108$.

(A) मान लीजिए $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,जहाँ $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ है।
चूंकि $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,इसलिए $f(x)$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ हैं जिनकी बहुलता कम से कम $2$ है।
अतः,$f(1)=0, f(-1)=0$ और $f'(1)=0, f'(-1)=0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(-1, 1)$ के बीच एक $\alpha$ ऐसा मौजूद है कि $f'(\alpha)=0$ हो।
इसलिए $f'(x)$ के मूल $-1, \alpha, 1$ हैं,जिसका अर्थ है $m_{f'} \ge 3$।
यदि हम $f(x) = (x^2-1)^2$ लें,तो इसके मूल $1, -1$ हैं,इसलिए $m_f = 2$ है।
अतः,$m_f + m_{f'} = 2 + 3 = 5$ है।
इसलिए,न्यूनतम मान $5$ है।

(A) माना $X$ सफल हिट की संख्या है,जहाँ $X \sim B(n, p)$ और $p = 0.75 = \frac{3}{4}$ तथा $q = 1 - p = 0.25 = \frac{1}{4}$ है।
लक्ष्य को नष्ट करने के लिए कम से कम $3$ सफल हिट की आवश्यकता है,इसलिए $P(X \geq 3) \geq 0.95$।
यह $1 - P(X < 3) \geq 0.95$ के बराबर है,या $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \leq 0.05$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = {}^{n}C_{r} (\frac{3}{4})^r (\frac{1}{4})^{n-r}$ है।
मान रखने पर: ${}^{n}C_{0} (\frac{1}{4})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4}) (\frac{1}{4})^{n-1} + {}^{n}C_{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^{n-2} \leq 0.05$।
$\frac{1}{4^n} [1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2}] \leq 0.05$।
$1 + 3n + 4.5n^2 - 4.5n \leq 0.05 \times 4^n$।
$4.5n^2 - 1.5n + 1 \leq 0.05 \times 4^n$।
$n=5$ के लिए: $4.5(25) - 1.5(5) + 1 = 112.5 - 7.5 + 1 = 106 \leq 0.05(1024) = 51.2$ (गलत)।
$n=6$ के लिए: $4.5(36) - 1.5(6) + 1 = 162 - 9 + 1 = 154 \leq 0.05(4096) = 204.8$ (सही)।
अतः,आवश्यक मिसाइलों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$। $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\text{tr}(A) = a+d = 3$ और मान लीजिए $\Delta = \det(A) = ad-bc$ है।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 3\lambda + \Delta = 0$ है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 3A + \Delta I = 0$,जिसका अर्थ है $A^2 = 3A - \Delta I$।
$A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = 3A^2 - \Delta A$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $A^2 = 3A - \Delta I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^3 = 3(3A - \Delta I) - \Delta A = 9A - 3\Delta I - \Delta A = (9 - \Delta)A - 3\Delta I$।
दोनों पक्षों का ट्रेस लेने पर:
$\text{tr}(A^3) = (9 - \Delta)\text{tr}(A) - 3\Delta \text{tr}(I)$।
चूंकि $\text{tr}(A^3) = -18$,$\text{tr}(A) = 3$,और $\text{tr}(I) = 2$ ($2 \times 2$ आव्यूह के लिए):
$-18 = (9 - \Delta)(3) - 3\Delta(2)$।
$-18 = 27 - 3\Delta - 6\Delta$।
$-18 = 27 - 9\Delta$।
$9\Delta = 27 + 18 = 45$।
$\Delta = 5$।
अतः,$A$ का सारणिक $5$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = |2x-1| + |2x+1|$ और $g(x) = x - [x] = \{x\}$.
अंतराल $x \in (-1, 1)$ के लिए,भिन्नात्मक भाग फलन $g(x) = \{x\}$ इस प्रकार परिभाषित है:
$x \in (-1, 0)$ के लिए $g(x) = x+1$ और $x \in [0, 1)$ के लिए $g(x) = x$.
अतः,संयुक्त फलन $h(x) = f(g(x)) = |2\{x\}-1| + |2\{x\}+1|$.
चूंकि $\{x\} \in [0, 1)$,हमारे पास $2\{x\}+1 \geq 1$ है,इसलिए $|2\{x\}+1| = 2\{x\}+1$.
तब $h(x) = |2\{x\}-1| + 2\{x\} + 1$.
यदि $0 \leq \{x\} \leq 1/2$ है,तो $h(x) = -(2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 2$.
यदि $1/2 < \{x\} < 1$ है,तो $h(x) = (2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 4\{x\}$.
अंतराल $(-1, 1)$ का विश्लेषण करने पर:
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$\{x\} = x+1$. इसलिए यदि $x+1 \leq 1/2$ (अर्थात $x \leq -1/2$) है तो $h(x) = 2$ और यदि $x > -1/2$ है तो $h(x) = 4(x+1)$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$\{x\} = x$. इसलिए यदि $x \leq 1/2$ है तो $h(x) = 2$ और यदि $x > 1/2$ है तो $h(x) = 4x$.
असंततता: फलन $h(x)$ बिंदु $x=0$ पर असतत है क्योंकि $\lim_{x \to 0^-} h(x) = 4(0+1) = 4$ और $h(0) = 2$. अतः,$c=1$.
अवकलनीयता: फलन $x = -1/2$ (कोना बिंदु),$x = 0$ (असंततता),और $x = 1/2$ (कोना बिंदु) पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$d=3$.
इसलिए,$c+d = 1+3 = 4$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{b^2+x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|f(x)| = \frac{1}{b} \tan^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = \frac{1}{b} \tan^{-1}(0) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{x}{b})}$ है।
अब,$f(x)f(-x) = e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{x}{b})} \cdot e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{-x}{b})} = e^{\frac{1}{b} (\tan^{-1}(\frac{x}{b}) - \tan^{-1}(\frac{x}{b}))} = e^0 = 1$ है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$b>0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2} > 0$ क्योंकि $f(x) = e^{\dots} > 0$ और $b^2+x^2 > 0$ है। अतः,$f$ एक वर्धमान फलन है। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(B) दिया गया है $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)\text{।}$ दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $h(x) = 1 + f(x)\text{।}$ तब $h(x+y) = h(x)h(y)\text{।}$
चूंकि $f(x) = xg(x)$ और $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$,हमारे पास $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है,इसलिए $h(0) = 1 + f(0) = 1\text{।}$
$h(x+y) = h(x)h(y)$ के लिए,हल $h(x) = e^{cx}$ है।
अतः $1 + f(x) = e^{cx}$,या $f(x) = e^{cx} - 1\text{।}$
दिया गया है $f(x) = xg(x)$,हमारे पास $g(x) = \frac{e^{cx}-1}{x}$ है।
$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{cx}-1}{x} = c\text{।}$
चूंकि $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$,हमारे पास $c = 1$ है।
इसलिए,$f(x) = e^x - 1\text{।}$
$f'(x) = e^x$,जो सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।
$f'(0) = e^0 = 1$,इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।
$f'(1) = e^1 = e \neq 1$,इसलिए $(C)$ $FALSE$ है।
$g(x) = \frac{e^x-1}{x}$ के लिए जब $x \neq 0$ और $g(0)=1$,$g$ सभी $x \neq 0$ पर अवकलनीय है। $x=0$ पर,$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h-1}{h}-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1-h}{h^2} = \frac{1}{2}$। अतः $g$ हर जगह अवकलनीय है,इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P(1, 0, -1)$ और $Q(3, 2, -1)$ हैं। समतल के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब $Q$ है।
रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $R$ समतल पर स्थित है।
$R = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1-1}{2} \right) = (2, 1, -1)$.
चूंकि $R$ समतल $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$ पर स्थित है,इसलिए:
$2\alpha + \beta - \gamma = \delta$ --- $(1)$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, -1-(-1)) = (2, 2, 0)$ अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के समानांतर है।
अतः,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = \frac{\gamma}{0} = k$ (जहाँ $k \neq 0$)।
इससे $\alpha = 2k$,$\beta = 2k$,और $\gamma = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\alpha + \gamma = 1$,इसलिए $2k + 0 = 1$,यानी $k = \frac{1}{2}$।
अतः,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $\gamma = 0$।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर:
$2(1) + 1(1) - 0 = \delta \implies \delta = 3$।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$ (सही)
$(B)$ $\delta - \gamma = 3 - 0 = 3$ (सही)
$(C)$ $\delta + \beta = 3 + 1 = 4$ (सही)
$(D)$ $\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 0 = 2 \neq \delta$ (गलत)
अतः,कथन $A, B, C$ सही हैं।

(D) $\vec{w}$ का $\vec{PQ}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{u} = \left( \frac{\vec{w} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|^2} \right) \vec{PQ}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{u}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai+bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{PS}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PS}|}{|\vec{PS}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai-bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $\frac{a+b + |a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2}$ है।
यदि $a \ge b$ है,तो $\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies 4a^2 = 2(a^2+b^2) \implies 2a^2 = 2b^2 \implies a=b$ है।
यदि $b > a$ है,तो $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies a=b$ है।
अतः,$a=b$ है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(ai+bj) \times (ai-bj)| = |(-abk - abk)| = |-2abk| = 2ab = 8$ है।
चूंकि $a=b$ है,$2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a=2$ ($a>0$ होने के कारण)। अतः $a=2, b=2$ है।
$(A)$ $a+b = 2+2 = 4$ (सत्य)।
$(B)$ $a-b = 2-2 = 0 \neq 2$ (असत्य)।
$(C)$ विकर्ण $\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS} = (ai+bj) + (ai-bj) = 2ai = 4i$ है। लंबाई $|4i| = 4$ है (सत्य)।
$(D)$ $\vec{PQ} = 2i+2j$ और $\vec{PS} = 2i-2j$ है। कोण समद्विभाजक की दिशा $\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} + \frac{\vec{PS}}{|\vec{PS}|} = \frac{2i+2j}{2\sqrt{2}} + \frac{2i-2j}{2\sqrt{2}} = \frac{4i}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}i$ है। यह $x$-अक्ष की दिशा में है,जबकि $\vec{w} = i+j$ $45^\circ$ पर है। (असत्य)।

(D) मान लीजिए $S$ दो पासों पर आए अंकों का योग है। $S$ के संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
अभाज्य योग का समुच्चय $P = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ है। इन योगों के लिए परिणामों की संख्या: $P(2)=1, P(3)=2, P(5)=4, P(7)=6, P(11)=2$ है। अभाज्य के लिए कुल परिणाम = $1+2+4+6+2 = 15$ हैं। अतः,$P(\text{Prime}) = \frac{15}{36}$ है।
पूर्ण वर्ग योग का समुच्चय $Q = \{4, 9\}$ है। इन योगों के लिए परिणामों की संख्या: $P(4)=3, P(9)=4$ है। पूर्ण वर्ग के लिए कुल परिणाम = $3+4 = 7$ हैं। अतः,$P(\text{Perfect Square}) = \frac{7}{36}$ है।
न तो अभाज्य और न ही पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - (\frac{15}{36} + \frac{7}{36}) = 1 - \frac{22}{36} = \frac{14}{36}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि अभाज्य से पहले एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है। प्रायिकता $P(E) = \frac{7/36}{1 - 14/36} = \frac{7}{22}$ है।
हमें दिया गया है कि अभाज्य से पहले एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है। हम वह प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं कि यह पूर्ण वर्ग एक विषम संख्या है। हमारे समुच्चय में विषम पूर्ण वर्ग $9$ है,जिसके $4$ परिणाम हैं। सम पूर्ण वर्ग $4$ है,जिसके $3$ परिणाम हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,पूर्ण वर्ग के $9$ (विषम) होने की प्रायिकता $\frac{P(9)}{P(4) + P(9)} = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ है।
अतः,$p = \frac{4}{7}$ है।
इसलिए,$14p = 14 \times \frac{4}{7} = 8$ है।

(A) गुणधर्म $f(x) + f(1-x) = 1$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $39$ पदों का योग है,जिसमें मध्य पद $f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$19$ युग्मों का योग $1$ होता है,इसलिए कुल योग $19 + f\left(\frac{1}{2}\right)$ होगा।
अतः,$19 + f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 19$.

(A) दिया गया है $F(x) = \int_0^x f(t) dt$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x)$ और $F(0) = 0$ है।
हमें निम्नलिखित समाकल समीकरण दिया गया है:
$\int_0^\pi (f'(x) + F(x)) \cos x dx = 2$
समाकल को दो भागों में विभाजित करने पर:
$\int_0^\pi f'(x) \cos x dx + \int_0^\pi F(x) \cos x dx = 2$
प्रथम समाकल $I_1 = \int_0^\pi f'(x) \cos x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$I_1 = [f(x) \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi f(x) (-\sin x) dx$
$I_1 = f(\pi) \cos(\pi) - f(0) \cos(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$
चूंकि $f(\pi) = -6$,$\cos(\pi) = -1$,और $\cos(0) = 1$ है:
$I_1 = (-6)(-1) - f(0)(1) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx = 6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$
अब,दूसरे समाकल $I_2 = \int_0^\pi F(x) \cos x dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I_2 = [F(x) \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi F'(x) \sin x dx$
चूंकि $F(0) = 0$ और $\sin(0) = \sin(\pi) = 0$ है,सीमा पद $0$ हो जाएगा।
$I_2 = - \int_0^\pi f(x) \sin x dx$
$I_1$ और $I_2$ के मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
$(6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx) + (- \int_0^\pi f(x) \sin x dx) = 2$
$6 - f(0) = 2$
$f(0) = 4$.