IIT JEE 2000 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $2$ सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का परिणामी $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
परिणामी को शून्य होने के लिए,$\vec{A} + \vec{B} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{A} = -\vec{B}$।
इसका मतलब है कि दोनों सदिशों का परिमाण समान $(|A| = |B|)$ होना चाहिए और उन्हें विपरीत दिशाओं में होना चाहिए (उनके बीच $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन का कोण)।
अतः,सही स्थिति यह है कि $2$ सदिश परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हों।

(A) ऊंचाई से गिराई गई गेंद के लिए,किसी भी ऊंचाई $h$ पर वेग $v$ को $v^2 = u^2 + 2a(s)$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$u = 0$ और $a = -g$ है,इसलिए $v^2 = -2g(h - d) = 2g(d - h)$। इसका अर्थ है $v = \pm \sqrt{2g(d - h)}$।
$1$. $h = d$ से $h = 0$ तक नीचे की गति के दौरान,वेग ऋणात्मक (नीचे की ओर) होता है और जैसे-जैसे $h$ घटता है,इसका परिमाण बढ़ता है। संबंध $v = -\sqrt{2g(d - h)}$ धनात्मक $h$-अक्ष की ओर खुलने वाले एक परवलयिक वक्र का प्रतिनिधित्व करता है।
$2$. $h = 0$ पर,गेंद जमीन से टकराती है। टक्कर के तुरंत बाद,यह $d/2$ ऊंचाई तक उछलती है। वेग धनात्मक (ऊपर की ओर) हो जाता है और इसका परिमाण $v = \sqrt{2g(d/2 - h)}$ द्वारा निर्धारित होता है।
$3$. जैसे-जैसे गेंद $h = 0$ से $h = d/2$ तक ऊपर की ओर बढ़ती है,वेग अपने अधिकतम मान से घटकर $h = d/2$ पर शून्य हो जाता है। यह भी एक परवलयिक पथ का अनुसरण करता है।
इन भौतिक आवश्यकताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ नीचे की गति (ऋणात्मक वेग) और उसके बाद की ऊपर की गति (धनात्मक वेग) को सही ढंग से दर्शाता है,वह विकल्प $(A)$ है।

(A) मान लीजिए कि मनका $t$ समय के बाद फिसलना शुरू करता है।
मनके के फिसलने के लिए,उस पर कार्य करने वाला नेट बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक होना चाहिए।
घूर्णन फ्रेम में मनके पर कार्य करने वाले बल अभिकेंद्री बल $F_c = m\omega^2 L$ (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर) और स्पर्शरेखीय बल $F_t = m a_t = m \alpha L$ (छड़ के लंबवत) हैं।
गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करने पर,अभिलंब बल $N$ छड़ द्वारा प्रदान किए गए त्वरण पर निर्भर करता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,तर्क यह है कि $m\omega^2 L = \mu m \alpha L$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = \mu \alpha$।
चूंकि $\omega = \alpha t$,हमें $(\alpha t)^2 = \mu \alpha$ प्राप्त होता है,इसलिए $t^2 = \mu / \alpha$,या $t = \sqrt{\mu / \alpha}$।

(A) $-10^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक बर्फ को गर्म करने की प्रक्रिया में कई चरण शामिल हैं:
$1$. बर्फ को $-10^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक गर्म करना: जैसे-जैसे ऊष्मा दी जाती है, तापमान रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. $0^{\circ}C$ पर बर्फ का पिघलना: जब अवस्था ठोस से तरल में बदलती है (गलन की गुप्त ऊष्मा), तो तापमान $0^{\circ}C$ पर स्थिर रहता है।
$3$. पानी को $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक गर्म करना: जैसे-जैसे ऊष्मा दी जाती है, तापमान रैखिक रूप से बढ़ता है।
$4$. $100^{\circ}C$ पर पानी का उबलना: जब अवस्था तरल से गैस में बदलती है (वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा), तो तापमान $100^{\circ}C$ पर स्थिर रहता है।
इसलिए, हीटिंग वक्र में दो रैखिक बढ़ते खंड होने चाहिए जो एक क्षैतिज खंड (पिघलना) द्वारा अलग किए गए हों और उसके बाद एक और क्षैतिज खंड (उबलना) हो। विकल्प $A$ इस क्रम को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए,चार्ल्स का नियम बताता है कि $V / T = \text{स्थिरांक}$ है।
जब तापमान $T$ से बदलकर $T + \Delta T$ हो जाता है,तो आयतन $V$ से बदलकर $V + \Delta V$ हो जाता है।
अतः,हमारे पास है:
$\frac{V + \Delta V}{T + \Delta T} = \frac{V}{T}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$T(V + \Delta V) = V(T + \Delta T)$
$VT + T \Delta V = VT + V \Delta T$
दोनों पक्षों से $VT$ घटाने पर:
$T \Delta V = V \Delta T$
$\delta$ के लिए व्यंजक प्राप्त करने हेतु व्यवस्थित करने पर:
$\delta = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{1}{T}$
चूंकि $\delta = 1/T$ है,इसलिए राशि $\delta$ तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती है। यह संबंध एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) द्वारा दर्शाया जाता है,जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$।
चूंकि गैस मोनोएटॉमिक है,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है। इसलिए,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$।
सिलेंडर में गैस का आयतन $V = A \times L$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ गैस कॉलम की लंबाई है।
$V_1 = A L_1$ और $V_2 = A L_2$ रखने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को तापमान अनुपात के समीकरण में रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ परम तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
दिए गए ग्राफ से,हम तीन तापमानों के लिए $\lambda_m$ के मान देख सकते हैं:
$(\lambda_m)_1 < (\lambda_m)_3 < (\lambda_m)_2$।
चूंकि $\lambda_m$,$T$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए छोटी $\lambda_m$ उच्च तापमान के संगत होती है।
अतः,तापमानों के बीच संबंध $T_1 > T_3 > T_2$ है।

(A) वाहन घर्षण रहित नत समतल पर $a = g\sin \alpha$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है।
वाहन के फ्रेम में,लोलक के गोलक पर ऊपर की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma = mg\sin \alpha$ कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $\vec{g}$ और वाहन के त्वरण के ऋणात्मक $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
घटकों को वियोजित करने पर,नत समतल के लंबवत $g$ का घटक $g\cos \alpha$ है और नत समतल के समानांतर $g$ का घटक $g\sin \alpha$ है। छद्म बल $g\sin \alpha$ घटक को निरस्त कर देता है।
अतः,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g\cos \alpha$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\cos \alpha}}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म गुणांक (adiabatic index) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं,इसलिए उनका रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = 5/3$ समान होगा।
यह दिया गया है कि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए ध्वनि की चाल मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,गैस $1$ में ध्वनि की चाल $(v_1)$ और गैस $2$ में ध्वनि की चाल $(v_2)$ का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ होगा।

(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है),इसलिए आवृत्ति $n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ होती है।
यह दिया गया है कि पदार्थ समान है,इसलिए $\rho$ स्थिर है। चूंकि तनाव $T$ भी समान है,इसलिए $n \propto \frac{1}{lr}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2 r_2}{l_1 r_1}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $l_1 = L$,$l_2 = 2L$,$r_1 = 2r$,और $r_2 = r$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{2L \times r}{L \times 2r} = \frac{2Lr}{2Lr} = 1$.

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
प्रथम स्थिति के लिए,$v_s = 34 \ m/s$:
$f_1 = f \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f \left( \frac{340}{306} \right)$
दूसरी स्थिति के लिए,$v_s = 17 \ m/s$:
$f_2 = f \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f \left( \frac{340}{323} \right)$
अब,अनुपात $f_1/f_2$ की गणना करने पर:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f \left( \frac{340}{306} \right)}{f \left( \frac{340}{323} \right)} = \frac{323}{306}$
अंश और हर दोनों को $17$ से विभाजित करने पर:
$\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$
अतः,अनुपात $f_1/f_2$ का मान $19/18$ है।

(C) ब्लॉक को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल ज्ञात करने के लिए,हम उस किनारे (pivot point $P$) के परितः आघूर्ण (torque) पर विचार करते हैं जहाँ से यह पलटना शुरू करेगा।
पलटने की क्रांतिक स्थिति में,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ धुरी बिंदु $P$ से होकर गुजरती है।
बिंदु $P$ के परितः गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के कारण आघूर्ण $\tau_{mg} = mg \times (L/2)$ है।
बिंदु $P$ के परितः लगाए गए क्षैतिज बल $F$ के कारण आघूर्ण $\tau_{F} = F \times L$ है।
ब्लॉक के पलटने के लिए,लगाए गए बल के कारण आघूर्ण,गुरुत्वाकर्षण के कारण आघूर्ण से अधिक होना चाहिए:
$\tau_{F} > \tau_{mg}$
$F \times L > mg \times (L/2)$
$F > mg/2$
अतः,ब्लॉक को पलटने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F = mg/2$ है।

(D) तार का कुल द्रव्यमान $M = \rho L$ है। चूंकि लूप की परिधि $L = 2\pi R$ है,इसलिए लूप की त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ है।
एक वृत्ताकार लूप का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा $XX'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ और $d = R$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
$M = \rho L$ और $R = \frac{L}{2\pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}\rho L \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$।

(B) $1$. यह निकाय त्रिभुज और दो मनकों से बना है। चूँकि ऊर्ध्वाधर अक्ष $AO$ के परितः निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$2$. जैसे-जैसे मनके नीचे फिसलते हैं,मनकों की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय और घूर्णन दोनों) में परिवर्तित हो जाती है। चूँकि घर्षण नहीं है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) संरक्षित रहती है।
$3$. जैसे-जैसे मनके अक्ष से दूर जाते हैं,अक्ष $AO$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है। चूँकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाता है।
$4$. अतः,कुल कोणीय संवेग और कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(A) आयतन प्रवाह दर (प्रति सेकंड पानी की मात्रा) $Q = A v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ बहिःस्राव का वेग है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = L^2$ और गहराई $h_1 = y$ है। अतः,$v_1 = \sqrt{2gy}$।
प्रवाह दर $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$ है।
वृत्ताकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2$ और गहराई $h_2 = 4y$ है। अतः,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$ है।
प्रवाह दर $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$ है।
यह दिया गया है कि $Q_1 = Q_2$,इसलिए:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$।
दोनों पक्षों से $\sqrt{2gy}$ को हटाने पर,हमें $L^2 = 2\pi R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,जिससे $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$ प्राप्त होता है।

(B) इस संधारित्र को तीन संधारित्रों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। ऊपरी आधा भाग $A/2$ क्षेत्रफल और $d/2$ पृथक्करण वाले दो समांतर संधारित्रों से बना है,जिनकी धारिता $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d}$ और $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d}$ है।
ये दोनों समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{12} = C_1 + C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d} (k_1 + k_2)$ है।
निचला आधा भाग $A$ क्षेत्रफल और $d/2$ पृथक्करण वाला एक संधारित्र है,जिसकी धारिता $C_3 = \frac{k_3 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2k_3 \epsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि $C_{12}$ और $C_3$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए कुल धारिता $C$ के लिए $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{1}{C} = \frac{d}{\epsilon_0 A (k_1 + k_2)} + \frac{d}{2k_3 \epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left( \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3} \right)$.
एकल परावैद्युत $k$ के लिए,$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $\frac{1}{C} = \frac{d}{k \epsilon_0 A}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3}$ प्राप्त होता है।

(C) धारावाही सीधे चालक की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
स्थिति $1$: धारा $I$,$PQ$ और $QR$ से प्रवाहित होती है। बिंदु $M$,$QR$ के विस्तार पर स्थित है। इसलिए,$QR$ के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है। $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $H_1$ केवल $PQ$ खंड के कारण है। मान लीजिए $M$ से $PQ$ की लंबवत दूरी $d$ है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ है।
स्थिति $2$: $PQ$ में धारा $I$ है,$QR$ में $I/2$ है,और $QS$ में $I/2$ है। बिंदु $M$,$QR$ के विस्तार पर है,इसलिए $QR$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र अभी भी शून्य है। $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र अब $H_2 = H_{PQ} + H_{QS}$ है।
चूंकि $PQ$ में धारा अपरिवर्तित है,$H_{PQ} = H_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$।
चालक $QS$,$PQ$ के लंबवत है। $QS$ में प्रवाहित $I/2$ धारा के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $H_{QS} = \frac{\mu_0 (I/2)}{4 \pi d} = \frac{1}{2} H_1$ है।
अतः,$H_2 = H_1 + \frac{1}{2} H_1 = \frac{3}{2} H_1$।
अनुपात $H_1/H_2 = H_1 / (\frac{3}{2} H_1) = 2/3 \approx 0.67$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ $+x$ दिशा में है। धनात्मक आयन $+x$ दिशा में विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ का अनुभव करते हैं,जबकि ऋणात्मक आयन $-x$ दिशा में विद्युत बल का अनुभव करते हैं।
परिणामस्वरूप,धनात्मक आयन $+x$ दिशा में वेग $\vec{v}$ प्राप्त करते हैं और ऋणात्मक आयन $-x$ दिशा में वेग $\vec{v}$ प्राप्त करते हैं।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ $+z$ दिशा में है।
आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
धनात्मक आयनों के लिए: $\vec{F}_m = (+q)(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -qvB\hat{j}$,जो $-y$ दिशा में है।
ऋणात्मक आयनों के लिए: $\vec{F}_m = (-q)(-v\hat{i} \times B\hat{k}) = (-q)(-vB(-\hat{j})) = -qvB\hat{j}$,जो भी $-y$ दिशा में है।
इस प्रकार,दोनों प्रकार के आयन $-y$ दिशा में विक्षेपित होते हैं।

(B) यदि धारा कागज से बाहर की ओर बहती है,तो तार के दाईं ओर के बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर और बाईं ओर नीचे की ओर होगा। मान लीजिए कि तार $A$ और $B$ पर हैं,और मध्य बिंदु $C$ है। $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि $A$ और $B$ के क्षेत्र एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
$B$ के दाईं ओर के क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर $(+ve)$ है क्योंकि सभी बिंदु दोनों तारों के दाईं ओर हैं। इसी तरह,$A$ के बाईं ओर के क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र नीचे की ओर $(-ve)$ है।
$AC$ क्षेत्र में,बिंदु $B$ की तुलना में $A$ के करीब हैं,इसलिए $A$ के कारण क्षेत्र प्रभावी है और ऊपर की ओर $(+ve)$ है।
$BC$ क्षेत्र में,बिंदु $A$ की तुलना में $B$ के करीब हैं,इसलिए $B$ के कारण क्षेत्र प्रभावी है और नीचे की ओर $(-ve)$ है।
ग्राफ $(b)$ चुंबकीय क्षेत्र में इन परिवर्तनों को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) मान लीजिए कि दो चुंबकों को इस प्रकार रखा गया है कि बिंदु $P$ प्रत्येक चुंबक के केंद्र से $d$ दूरी पर है।
पहले चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। इस चुंबक के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ है।
दूसरे चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। इस चुंबक के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ है।
चूंकि अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}\right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{5}M}{d^3}$.

(B) वृत्ताकार क्षेत्र के बाहर $(r > a)$ बिंदु $P$ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम फैराडे के प्रेरण नियम का समाकल रूप में उपयोग करते हैं: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
बिंदु $P$ से गुजरने वाले $r$ त्रिज्या के एक संकेंद्रित वृत्ताकार पथ पर विचार करें। समरूपता के कारण,प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण इस पथ पर स्थिर रहता है और $\vec{E}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है।
अतः,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$.
इस वृत्ताकार पथ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$ केवल $a$ त्रिज्या वाले उस क्षेत्र तक सीमित है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है: $\phi_B = B(t) \cdot (\pi a^2)$.
फैराडे का नियम लागू करने पर:
$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right|$
$E(2\pi r) = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$
$E = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$
चूंकि $a$ और $\frac{dB}{dt}$ स्थिर हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{1}{r}$ के अनुसार घटता है।

(D) मान लीजिए $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ स्थिरांक हैं।
$RL$ परिपथ में धारा $I_1(t) = k_1(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है।
कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B(t)$ धारा $I_1(t)$ के समानुपाती होता है,इसलिए $B(t) = k_2 I_1(t) = k_2 k_1(1 - e^{-t/\tau})$।
वलय में प्रेरित धारा $I_2(t)$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के समानुपाती होती है,जो $dB(t)/dt$ के समानुपाती है। अतः,$I_2(t) = k_3 \frac{dB(t)}{dt} = k_4 e^{-t/\tau}$।
इसलिए,गुणनफल $I_2(t) B(t) = k_5 (1 - e^{-t/\tau}) e^{-t/\tau} = k_5 (e^{-t/\tau} - e^{-2t/\tau})$।
$t = 0$ पर,$I_2(t) B(t) = 0$ होता है। जैसे-जैसे $t \to \infty$,$I_2(t) B(t) \to 0$ होता है। चूंकि $t > 0$ के लिए यह गुणनफल धनात्मक है,इसलिए इसे एक अधिकतम मान से गुजरना ही होगा।

(D) निरंतर $X$-रे स्पेक्ट्रम की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min} = \frac{hc}{E}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए,$\lambda_{\min} = \frac{12375}{80 \times 10^3} \approx 0.155 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आपतित इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा $(80 \ keV)$,$K$-कोश के इलेक्ट्रॉनों की आयनन ऊर्जा $(72.5 \ keV)$ से अधिक है,इसलिए आपतित इलेक्ट्रॉनों के पास टंगस्टन परमाणुओं से $K$-कोश के इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है।
जब $K$-कोश से एक इलेक्ट्रॉन बाहर निकलता है,तो उच्च ऊर्जा स्तरों से इलेक्ट्रॉन उस रिक्ति को भरने के लिए संक्रमण करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप अभिलक्षणिक $X$-किरणों का उत्सर्जन होता है।
अतः,उत्सर्जित $X$-किरणों में निरंतर स्पेक्ट्रम (ब्रेमस्ट्रालुंग) और टंगस्टन का अभिलक्षणिक $X$-रे स्पेक्ट्रम दोनों शामिल होते हैं।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कुल ऊर्जा $E_n$,स्थितिज ऊर्जा $U_n$,और गतिज ऊर्जा $K_n$ इस प्रकार हैं:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$U_n = 2E_n = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K_n = |E_n| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $(n > 1)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में संक्रमण करता है,तो $n$ का मान घटता है।
जैसे-जैसे $n$ घटता है,$K_n$ बढ़ता है क्योंकि यह $1/n^2$ के समानुपाती है।
चूंकि $E_n$ और $U_n$ ऋणात्मक हैं और जैसे-जैसे $n$ घटता है,उनके परिमाण कम होते हैं,जिससे उनके मान अधिक ऋणात्मक हो जाते हैं,जिसका अर्थ है कि वे घटते हैं।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जबकि स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा घटती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में,$n$ वें स्तर की ऊर्जा $E_n = -\frac{Rhc}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊर्जा $E_n$ परिक्रमा करने वाले कण के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक है $(E_n \propto m)$,और नए कण का द्रव्यमान $m' = 2m_e$ है,इसलिए इस काल्पनिक परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर $E'_n = -\frac{2Rhc}{n^2}$ हो जाते हैं।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य वाला फोटॉन न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होता है,जो $n = 3$ से $n = 2$ के बीच होता है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E'_3 - E'_2 = -\frac{2Rhc}{3^2} - (-\frac{2Rhc}{2^2}) = 2Rhc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,$\Delta E = 2Rhc \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5Rhc}{18}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda} = \frac{5Rhc}{18}$ है।
अतः,$\lambda = \frac{18}{5R}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $t = 0$ पर दोनों तत्वों के लिए रेडियोधर्मी परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $X_1$ के लिए,जिसका क्षय नियतांक $\lambda_1 = 10\lambda$ है,परमाणुओं की संख्या $N_1 = N_0 e^{-10\lambda t}$ है।
तत्व $X_2$ के लिए,जिसका क्षय नियतांक $\lambda_2 = \lambda$ है,परमाणुओं की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
$N_1$ और $N_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9\lambda t} = e^{-1}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-9\lambda t = -1$
$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(B) माना हाइड्रोजन जैसे परमाणु की मूल अवस्था (ground state) ऊर्जा $E_0 = -13.6 Z^2 \ eV$ है। अवस्था $k$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_k = \frac{E_0}{k^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि परमाणु $2n$ अवस्था में है और मूल अवस्था $(k=1)$ में आने के लिए $204 \ eV$ का अधिकतम ऊर्जा वाला फोटॉन उत्सर्जित करता है:
$E_{2n} - E_1 = 204 \ eV$
$\frac{E_0}{(2n)^2} - E_0 = 204 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1}{4n^2} - 1 \right) = 204 \ eV$ --- $(i)$
दिया गया है कि परमाणु $2n$ अवस्था से $n$ अवस्था में संक्रमण करता है और $40.8 \ eV$ का फोटॉन उत्सर्जित होता है:
$E_{2n} - E_n = 40.8 \ eV$
$\frac{E_0}{4n^2} - \frac{E_0}{n^2} = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1 - 4}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_0 \left( \frac{1 - 4n^2}{4n^2} \right)}{E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right)} = \frac{204}{40.8}$
$\frac{1 - 4n^2}{-3} = 5$
$1 - 4n^2 = -15$
$4n^2 = 16$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(C) एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस (objective lens) वस्तु के फोकस बिंदु के ठीक बाहर रखी गई वस्तु का एक प्रतिबिंब बनाता है।
इस प्रतिबिंब को मध्यवर्ती प्रतिबिंब कहा जाता है।
चूंकि प्रकाश किरणें वास्तव में इस प्रतिबिंब को बनाने के लिए अभिसरित होती हैं,इसलिए यह वास्तविक होता है।
चूंकि वस्तु को अभिदृश्यक लेंस के फोकस बिंदु के बाहर रखा जाता है,इसलिए बनने वाला प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा और आवर्धित (बड़ा) होता है।
अतः,मध्यवर्ती प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और आवर्धित होता है।

(B) मान लीजिए कि दो दर्पणों के बीच की दूरी $h = 0.2 \ m$ है और दर्पणों की लंबाई $L = 2\sqrt{3} \ m$ है।
आपतन कोण $i = 30^\circ$ है।
जब किरण दो समानांतर दर्पणों के बीच परावर्तित होती है,तो दो क्रमिक परावर्तनों के बीच किरण द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = h \tan(i) = 0.2 \tan(30^\circ) = 0.2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \ m$.
बाहर निकलने से पहले किरण द्वारा तय की गई कुल क्षैतिज दूरी $L = 2\sqrt{3} \ m$ है।
परावर्तनों की संख्या $n$,कुल लंबाई और प्रति परावर्तन क्षैतिज दूरी के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{L}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{0.2 / \sqrt{3}} = \frac{2 \times 3}{0.2} = \frac{6}{0.2} = 30$.
अतः,परावर्तनों की अधिकतम संख्या $30$ है।

(A) किरण के केवल $CD$ सतह से बाहर निकलने के लिए,इसे सतह $AD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरना होगा।
सतह $AB$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_2 \sin \alpha_{max} = n_1 \sin r_1 \implies \alpha_{max} = \sin^{-1} \left( \frac{n_1}{n_2} \sin r_1 \right) \dots (i)$
सतह $AD$ पर,आपतन कोण $r_2$ है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$r_2$ का मान क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{n_2}{n_1}$ है।
चूंकि सतह $AD$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए $r_1 + r_2 = 90^\circ$,अतः $r_1 = 90^\circ - r_2$ है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि किरण $CD$ तक पहुँचे,हम $r_2 = C = \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$ लेते हैं।
अतः,$r_1 = 90^\circ - \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$ है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \sin \left( 90^\circ - \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$
सर्वसमिका $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \cos \left( \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$.

(B) जब प्रकाश की किरण समानांतर सतहों वाले कांच के स्लैब से गुजरती है,तो निर्गत किरण आपतित किरण के समानांतर होती है।
इस घटना को पार्श्व विस्थापन (lateral displacement) के रूप में जाना जाता है।
चूंकि आपतित किरणें $\alpha$ कोण पर अपसरित हो रही हैं,और प्रत्येक किरण अभिलंब के सापेक्ष अपनी दिशा बदले बिना समान पार्श्व विस्थापन का अनुभव करती है,इसलिए निर्गत किरणें भी उसी $\alpha$ कोण पर अपसरित होंगी।
अतः,निर्गत पुंज का अपसरण कोण $\alpha$ ही रहेगा।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ $n_L$ लेंस सामग्री का अपवर्तनांक है और $n_m$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
एक द्वि-अवतल लेंस के लिए,पद $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ ऋणात्मक होता है।
लेंस द्वारा प्रकाश को अपसरित करने के लिए,इसे अवतल लेंस के रूप में कार्य करना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसकी फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होनी चाहिए।
चूंकि $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) < 0$,इसलिए $f$ के ऋणात्मक होने के लिए पद $\left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right)$ का धनात्मक होना आवश्यक है।
इसका अर्थ है $\frac{n_L}{n_m} > 1$,या $n_L > n_m$।
विकल्प $(d)$ में,लेंस को तरल $L_2$ (अपवर्तनांक $n_2$) से भरा जाता है और तरल $L_1$ (अपवर्तनांक $n_1$) में डुबोया जाता है। चूंकि $n_2 > n_1$,इसलिए $n_L > n_m$ की शर्त पूरी होती है,और लेंस प्रकाश को अपसरित करेगा।

(A) समान स्लिट चौड़ाई वाले मानक यंग डबल स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में, दोनों स्लिटों से आने वाली तरंगों के आयाम समान होते हैं, मान लीजिए $a$। अधिकतम तीव्रता $I_{max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} \propto (a - a)^2 = 0$ होती है।
जब एक स्लिट को दूसरी से दोगुना चौड़ा बनाया जाता है, तो उससे गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता बढ़ जाती है। चूंकि तीव्रता $I \propto \text{चौड़ाई}$, यदि पहली स्लिट की चौड़ाई $w$ है, तो दूसरी की चौड़ाई $2w$ होगी। आयामों का संबंध $A_2 = \sqrt{2} A_1$ है। यदि $A_1 = a$ है, तो $A_2 = a\sqrt{2}$ होगा।
नई अधिकतम तीव्रता $I'_{max} \propto (a + a\sqrt{2})^2 = a^2(1 + \sqrt{2})^2 \approx 5.83a^2$ होगी, जो $4a^2$ से अधिक है।
नई न्यूनतम तीव्रता $I'_{min} \propto (a\sqrt{2} - a)^2 = a^2(\sqrt{2} - 1)^2 \approx 0.17a^2$ होगी, जो $0$ से अधिक है।
अतः, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ दोनों की तीव्रताएँ बढ़ती हैं।

(B) व्यंजक $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ विद्युत क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1L^2T^{-2}]$ है।
आयतन का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ की विमा $[M^1L^{-1}T^{-2}]$ है।

(C) मान लीजिए कि दर्पण $y$-अक्ष पर $y = -d/2$ से $y = d/2$ तक रखा गया है। स्रोत $S$,$(L, 0)$ पर है। स्रोत $S$ का प्रतिबिंब $S'$,$(-L, 0)$ पर बनता है।
व्यक्ति $x = 2L$ रेखा पर चलता है। प्रतिबिंब $S'$ से आने वाली किरणें जो व्यक्ति तक पहुँचती हैं,उन्हें दर्पण के किनारों से गुजरना होगा।
दर्पण के ऊपरी किनारे $(0, d/2)$ और निचले किनारे $(0, -d/2)$ से गुजरने वाली $S'$ की किरणें दृष्टि क्षेत्र को परिभाषित करती हैं।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,दर्पण से $x = 2L$ की दूरी पर दृष्टि क्षेत्र की ऊँचाई $h$,दूरियों के अनुपात द्वारा दी जाती है।
प्रतिबिंब $S'$ से दर्पण तक की दूरी $L$ है,और प्रतिबिंब $S'$ से व्यक्ति तक की दूरी $L + 2L = 3L$ है।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,दृष्टि क्षेत्र की चौड़ाई $h$ का मान $\frac{h}{d} = \frac{3L}{L} = 3$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$h = 3d$।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के अलग-अलग युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग होती है।
दिए गए विन्यास के लिए,युग्म $(Q, +q)$,$(+q, +q)$ और $(Q, +q)$ हैं,जिनकी दूरियाँ क्रमशः $l$,$l$ और $\sqrt{2}l$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} + \frac{kQq}{\sqrt{2}l} = 0$
$k/l$ से भाग देने पर ($k \neq 0$ और $l \neq 0$ मानते हुए):
$Qq + q^2 + \frac{Qq}{\sqrt{2}} = 0$
$Qq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Qq(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Q = -q^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}+1)}$
$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$

(C) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान $q$ आवेश वाले कण का चुंबकीय आघूर्ण $M = IA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$.
अतः,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
कण का कोणीय संवेग $L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$.
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
इस अनुपात को गाइरोमैग्नेटिक अनुपात कहा जाता है और यह केवल कण के आवेश '$q$' और द्रव्यमान '$m$' पर निर्भर करता है।