एक रेखा पर एक निश्चित बिंदु O से मापा गया कण | vedclass

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Question

(C) दिया गया विस्थापन फलन $S(t) = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ है। अधिकतम विस्थापन ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात क

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$\frac{8}{3}$

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(C) दिया गया विस्थापन फलन $S(t) = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ है। अधिकतम विस्थापन ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात करते हैं: $v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 32t + 64$. क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $v(t) = 0$ रखने पर: $3t^2 - 32t + 64 = 0$. द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: $t = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(3)(64)}}{2(3)} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 768}}{6} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{32 \pm 16}{6}$. इससे दो मान प्राप्त होते हैं: $t_1 = \frac{48}{6} = 8$ और $t_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$. अब,अधिकतम मान की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $a(t) = \frac{d^2S}{dt^2} = 6t - 32$. $t = 8$ के लिए: $a(8) = 6(8) - 32 = 48 - 32 = 16 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)। $t = \frac{8}{3}$ के लिए: $a(\frac{8}{3}) = 6(\frac{8}{3}) - 32 = 16 - 32 = -16 अतः,$t = \frac{8}{3}$ पर विस्थापन अधिकतम है।

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