सभी n in N के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है: $S_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n-1}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$.अंकगणितीय माध्य-गुणोत्त

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$n(3^{(n-1)/2})$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है: $S_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n-1}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$.अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,$n$ धनात्मक पदों $1, 3, 3^2, \dots, 3^{n-1}$ के लिए:$\frac{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}}{n} \geq \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot \dots \cdot 3^{n-1}}$.$\frac{S_n}{n} \geq \sqrt[n]{3^{0+1+2+\dots+(n-1)}} = \sqrt[n]{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$.$S_n \geq n \cdot 3^{\frac{n-1}{2}}$.अतः,सही विकल्प $D$ है.

सभी $n \in N$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है: $\frac{3^n-1}{2} \geq$ ?

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