मान लीजिए P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d इ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. तब $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$. यह दिया गया है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मू

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$P(-1)$,$P(x)$ का न्यूनतम नहीं है,लेकिन $P(1)$,$P(x)$ का अधिकतम है

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(A) दिया गया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. तब $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$. यह दिया गया है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है। चूंकि $P'(x)$ एक त्रिघात बहुपद है,इसका कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए। यदि $x = 0$ एकमात्र वास्तविक मूल है,तो $P'(x)$ को $k x^3$ के रूप में होना चाहिए। गुणांकों की तुलना करने पर,$4x^3 = k x^3 \implies k = 4$,और $3a = 0, 2b = 0, c = 0$. अतः,$a = 0, b = 0, c = 0$. इसलिए,$P(x) = x^4 + d$. $P'(x) = 4x^3$. $x \in [-1, 0)$ के लिए,$P'(x) $x \in (0, 1]$ के लिए,$P'(x) > 0$,इसलिए $P(x)$ बढ़ता हुआ फलन है। अतः,$P(x)$ का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है। अंतराल $[-1, 1]$ में,न्यूनतम मान $P(0) = d$ है। अधिकतम मान अंतिम बिंदुओं $x = -1$ या $x = 1$ पर प्राप्त होता है। $P(-1) < P(1)$ शर्त के अनुसार,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है और $P(1)$ अधिकतम है।

मान लीजिए $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ इस प्रकार है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है। यदि $P(-1) < P(1)$,तो अंतराल $[-1, 1]$ में:

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