$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = $

मान लीजिए $\bar{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,जहाँ $\alpha, \beta \in R$,तीन सदिश हैं। यदि $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\bar{b} \times \bar{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ है,तो $2 \alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec \alpha = 3\hat i + \hat j$ और $\vec \beta = 2\hat i - \hat j + 3\hat k.$ यदि $\vec \beta = \vec \beta _1 - \vec \beta _2,$ जहाँ $\vec \beta _1$ सदिश $\vec \alpha$ के समांतर है और $\vec \beta _2$ सदिश $\vec \alpha$ के लंबवत है,तो $\vec \beta _1 \times \vec \beta _2$ का मान क्या होगा?

एक ऐसे सदिश का परिमाण ज्ञात कीजिए जो सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है और सदिशों $\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ के साथ समतलीय है।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = -2 \hat{i} + \alpha \hat{j} + \hat{k}$,जहाँ $\alpha \in R$ है। यदि उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल,जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निरूपित हैं,$\sqrt{15(\alpha^{2} + 4)}$ है,तो $2|\vec{a}|^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})|\vec{b}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,$(2, 3, -1)$ और $(1, -1, 2)$ सदिशों वाले समतल के साथ $\cot^{-1} \sqrt{2}$ का न्यून कोण बनाता है। तो,