मान लीजिए f:(-1, 1) to B एक फलन है जो f(x) = | vedclass

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Question

(B) $-1 < x < 1$ के लिए,हम $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जहाँ $	heta \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ है।तब,$\frac{2x}{1-x^2} =

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$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Vedclass · Answer

(B) $-1 तब,$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2	an 	heta}{1-	an^2 	heta} = 	an(2	heta)$ होता है।अतः,$f(x) = 	an^{-1}(	an(2	heta)) = 2	heta = 2	an^{-1}x$ प्राप्त होता है।चूँकि $x \in (-1, 1)$,इसलिए $	an^{-1}x \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ है।अतः,$f(x) \in (2 	imes -\frac{\pi}{4}, 2 	imes \frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ प्राप्त होता है।फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $B$ को फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।इसलिए,$B = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।

मान लीजिए $f:(-1, 1) \to B$ एक फलन है जो $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों होगा जब $B$ अंतराल है:

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