बिंदु $P(\alpha, \beta)$ का बिंदुपथ,जो इस शर्त के तहत गति करता है कि रेखा $y = \alpha x + \beta$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा है,क्या है?

मान लीजिए $P(3,3)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर एक बिंदु है। यदि $P$ पर इसका अभिलंब $x$-अक्ष को $(9,0)$ पर काटता है और $e$ इसकी उत्केंद्रता है,तो क्रमित युग्म $(a^{2}, e^{2})$ किसके बराबर है?

अतिपरवलय $16x^2 - 9y^2 = 144$ के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($/3$ में)

$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$ पर खींची गई $y-x+5=0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण है

अतिपरवलय $x^2-3y^2=3$ के अनंतस्पर्शी (asymptotes) के बीच का कोण है

$(1, -1)$ पर नाभि,$x - y + 1 = 0$ रेखा पर नियता और $\sqrt{2}$ उत्केंद्रता वाले शांकव का समीकरण ज्ञात कीजिए।