मान लीजिए $f: R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। तो $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिभाषित एक वास्तविक मान वाला फलन है,जहाँ $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है और $f^{\prime}$ अंतराल $(0, \infty)$ पर सतत है,लेकिन $(0, \infty)$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ ऐसा $\alpha>1$ मौजूद है कि सभी $x \in(\alpha, \infty)$ के लिए $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ है
$(D)$ ऐसा $\beta>0$ मौजूद है कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ है

List-$I$ में दिए गए प्रत्येक फलन को List-$II$ में दिए गए उसके अवकलज (derivative) से सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ के लिए } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

सही मिलान है:

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन $f''(x)$ बाकी हर जगह ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | अपरिभाषित | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ का संभावित ग्राफ है:

मान लीजिए कि एक फलन $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है :
$f(x)=\begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$
जहाँ $b \in R$. यदि $f$ बिंदु $x=4$ पर सतत है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ और $f'(x)g(x) = \cos^2 x$ है। तो अंतराल $(0, 3\pi)$ में समीकरण $f(x) + g(x) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?