$a, b, c$ એ ત્રણ સદિશો છે જેથી $a + b + c = 0$,$|a| = 1, |b| = 2, |c| = 3$ થાય. તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ ની કિંમત શોધો.

$A, B, C, D$ કોઈપણ ચાર બિંદુઓ હોય,તો $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = $

સદિશો $\vec a, \vec b, \vec c$ ના માન અનુક્રમે $3, 4, 5$ છે. જો $\vec a$ અને $\vec b + \vec c$,$\vec b$ અને $\vec c + \vec a$,તથા $\vec c$ અને $\vec a + \vec b$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $|\vec a + \vec b + \vec c|$ નું માન શોધો.

જો $P=(0,1,2)$,$Q=(4,-2,1)$,અને $O=(0,0,0)$ હોય,તો $\angle POQ$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\alpha \hat{j}+\beta \hat{k}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in R$. ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{b}$ એવો છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે અને $|\vec{b}|^2=6$. જો $\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \sqrt{2}$ હોય,તો $(\alpha^2+\beta^2)|\vec{a} \times \vec{b}|^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ બે એકમ સદિશો છે. જો સદિશો $\vec{c} = \hat{a} + 2\hat{b}$ અને $\vec{d} = 5\hat{a} - 4\hat{b}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો: